1、第二节 向量及其线性运算,一、向量及其几何表示,二、向量的坐标表示,三、向量的模与方向角,四、向量的线性运算,五、向量的分向量表示式,六、小结 思考题,向量(vector):,既有大小又有方向的量.,向量表示:,一、向量及其几何表示,或,向径:,自由向量:,不考虑起点、终点位置的向量.,相等向量:,大小相等且方向相同的向量.,负向量:,大小相等但方向相反的向量,记为 .,空间两向量的夹角的概念:,类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,二、向量的坐标表示,向量在x轴上的投影,向量在y轴上的投影,向量在z轴上的投影,
2、由图分析可知,通常用来表示向量的方向.,表示向量的长度,向量的坐标表达式:,三、向量的模(modulus)与方向角,模长为1的向量,记为,向量的模(大小):,单位向量(unit vector) :,或,非零向量 的方向角(direction angle):,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角.,当 时,,向量的方向余弦,方向余弦的特征,特殊地 单位向量与方向余弦的关系为:,解,四、向量的线性运算,1. 向量的加法,(平行四边形法则),特殊地:若,分为同向和反向,(平行四边形法则有时也称为三角形法则),向量的加法符合下列运算规律:,(1)交换律:,(2)结合律:,(3),(commutativit
3、y),(associativity),注:向量的减法,平行四边形法则,三角形法则,向量加减法的坐标表达式,二、向量与数的乘法(数乘),数与向量的乘积符合下列运算规律:,(1)结合律:,(2)分配律:,向量与数的乘法的坐标表达式,特殊地,一向量与其单位向量的关系为,两个向量的平行关系,定理,证明,充分性显然;,必要性,两式相减,得,解,由题意知:,五、向量的分向量表示式,表示向量在x、y、z轴上的投影.,解,所求向量有两个,一个与 同向,一个反向,或,解,六、小结,向量的坐标,向量的模与方向角,(注意分向量与向量的坐标的区别),向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,(注意与标量的区别),(三角形法则),(注意数乘后的方向),向量的分向量表示式,思考题,思考题1解答,对角线的长为,思考题,2. 已知平行四边形ABCD的对角线,试用 表示平行四边形四边上对应的向量.,思考题2解答,练 习 题,练习题答案,14.,15.,16. 2.,13.,四、 (-2,3,0);,五、,三、,