1、1线段的垂直平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等 . 定理的数学表示：如图 1，已知直线 m 与线段 AB 垂直相交于点 D，且ADBD，若点 C 在直线 m 上，则 ACBC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 . 定理的数学表示：如图 2，已知直线 m 与线段 AB 垂直相交于点 D，且ADBD，若 ACBC，则点 C 在直线 m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的
2、垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 .定理的数学表示：如图 3，若直线 分别是ABC 三边 AB、BC、CA,ijk的垂直平分线，则直线 相交于一点 O，且 OAOBOC.,ijk定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交
3、点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例 1 如图 1，在ABC 中，BC8cm，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于m图 1DA BCm图 2DA BCji k图 3OB CA2点 E，BCE 的周长等于 18cm，则 AC 的长等于（ ）A6cm B8cm C10cm D12cm针对性练习：已知：1) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 AE，如果EBC 的周长是 24cm，那么 BC=
4、2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点E，如果 BC=8cm，那么EBC 的周长是 3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB于点 D，交 AC 于点 E，如果A=28 度，那么EBC 是 例 2. 已知：如图所示，AB=AC，DB=DC ，E 是 AD 上一点，求证：BE=CE 。针对性练习：已知：在ABC 中，ON 是 AB 的垂直平分线,OA=OC求证：点 O 在 BC 的垂直平分线例 3. 在 ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与边 AC 所在的直线相交所成锐角为 50，ABC的底角B 的大小为_ 。针对性练习：1. 在A
5、BC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 40，则底角 B 的大小为_。A E B C D B CD EBBBACONB3例 4、如图 8，已知 AD 是ABC 的 BC 边上的高，且C2B，求证：BDACCD.证明：课堂练习：1.如图， AC=AD， BC=BD，则（ ）A.CD 垂直平分 AD B.AB 垂直平分 CD C.CD 平分 ACB D.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两
6、端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点 P 在线段 AB 外且 PA=PB，过 P 作直线 MN，则 MN 是线段 AB 的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4.如图， ABC 中， AB 的垂直平分线交 AC 于 D，如果 AC=5 cm， BC=4cm，那么 DBC 的周长是（ ）A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm5.已知如图，在 ABC 中， AB=AC， O 是 ABC 内一点，且 OB=OC，求证： AO BC.6.如图，在 ABC 中， AB=AC， A=12
7、0， AB 的垂直平分线MN 分别交 BC、 AB 于点 M、 N. 求证：CM=2BM . 图 8B CDA4角平分线知识要点详解4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 . 定理的数学表示：如图 4，已知 OE 是AOB 的平分线，F 是 OE 上一点，若 CFOA 于点 C，DFOB 于点 D，则 CFDF. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理： 在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 . 定理的数学表示：如
8、图 5，已知点 P 在AOB 的内部，且 PCOA 于C，PDOB 于 D，若 PCPD，则点 P 在AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等 .定理的数学表示：如图 6，如果 AP、BQ、CR 分别是ABC 的内角BAC、ABC、ACB 的平分线，那么： AP、BQ、CR 相交于一点 I； 若 ID、IE、IF 分别垂直于 BC、CA、AB 于点 D、E、F，则DIEIFI.
9、 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：图 4 CDO ABF E 图 5 CDO ABP 图 6EFDIPR QB CA5APBFEC（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.经典例题：例 1、 已知：如图，点 B、C 在A 的两边上，且 AB=AC，P 为A 内一点，PB=PC， PEAB，PFAC，垂足分别是 E、F。求证：PE=PF针对
10、性练习：已知：如图所示 PA、PC 分别是ABC 外角MAC 和 NCA 平分线，它们交于P，PD BM 于 D，PFBN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线。例 2、如图 10，已知在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，E 为 BC 中点，连接 AE、DE，DE 平分ADC，求证：AE 平分BAD.图 10F CDBAEB M D A P B C F N E B D A C F 6例 3、如图 11-1，已知在四边形 ABCD 中，对角线 BD 平分ABC，且BAD 与BCD 互补，求证：ADCD.课堂练习：1. ABC 中， AB=AC，AC 的中垂线交 AB 于 E，EBC 的周长为 20cm，AB=2BC，则腰长为_。2. 如图所示，AB/CD ，O 为A、C 的平分线的交点，OEAC 于 E，且 OE=2，则AB 与 CD 之间的距离等于_。 A B O E C D 已知：如图，B= C=90 0，DM 平分ADC， AM 平分DAB 。求证： M B=MC图 11-1图 11-3图 11-2AEA FEAB CCBCBDDDEMCBDA7
