1、1选修 双曲线 一双曲线的概念名 称 椭 圆 双 曲 线图 象xOy xOy定 义平面内到两定点 的距离的和为常21,F数（大于 ）的动点的轨迹叫椭圆。即21aMF当 2 2 时 ，轨迹是椭圆，c当 2 =2 时，轨迹是一条线段 21F当 2 2 时 ，轨迹不存在ac 平面内到两定点 的距离的差的绝对21,F值为常数（小于 ）的动点的轨迹叫双曲线。即 aMF21当 2 2 时，轨迹是双曲线ac当 2 =2 时，轨迹是两条射线当 2 2 时，轨迹不存在标准方 程焦点在 轴上时： x12bya焦点在 轴上时： y2x注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在 轴上时： x12bya焦点在
2、轴上时：y2x注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数 cba,的关 系 （符合勾股定理的结构）22bc，0最大， bc, （符合勾股定理的结构）22bac0最大，可以 ba,2二.双曲线的标准方程及几何性质标准方程 )0,(12bayx )0,(12baxy图形焦点 F1（- ，F2（)0,c), F1（ ，F2（),0c),o焦距 | F1F2|=2c 22ba范围 x-a 与 xa y-a 与 ya对称性 关于 x 轴， y 轴和原点对称顶点 （-a，0）。（a，0） （0，-a）（0，a）轴 实轴 A1A2长 2a，虚轴 B1B2长 2b准线 cx2 cy2渐近线 .aby axb性
3、质共渐近线的双曲线系方程（ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上）.2x00双曲线上的点到焦点距离的最值 双曲线上的点到同侧焦点的最近距离 min,PFca双曲线上的点到异侧焦点的最近距离 ax平面几何性质离心率 双曲线焦距与实轴长的比 ，2(1)ceea如：x 型双曲线形状与 e 的关系： 2221aba双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。3三直线 与圆锥曲线相交，设两交点分别为 ，则直线被椭圆截得的弦长ykxb12(,)(,)AxyB。22211()4ABkx四双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12byax20xyabxab(2)若渐近线方程为 双曲线
4、可 设为0x 2y（ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上）.0(3)若某双曲线与已知的双曲线 有公共渐近线，双曲线可设为12byax 2bax（ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上）.00五等轴双曲线 比如 x 型： 中，当 a=b,那么双曲线的方程为 x-y=a,21yab（ ）未知型的等轴双曲线常设为 x-y= （ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上）.00它的实轴和虚轴的长都等于 2a。这时，特征矩形 为：四条直 线 x=a,y=a 围成正方形。等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 。一一 定义：1.若 ，方程 ，表示什么曲线？R
5、a22556xyxy若改成： ？22准线间距= 焦渐距= 。,2cab42已知 的顶点 、 ，且 ，ABC4,0,B4sin3sinBAC则顶点 的轨迹方程是 3双曲线 上一点 到左焦点的距离为 ，2169xyP15那么该点到右焦点的距离为 变式：设 是双曲线 的焦点，点 是双曲线上的点，12,F2160xyP点 到焦点 的距离等于 ，求点 到 的距离。P192F一一 利用标准方程确定参数1. 求双曲线 的实半轴长 25410xy虚半轴长 焦点坐标 , 焦距 离心率 2若方程215xyk表示 x 型双曲线，则 的取值范围是 ；k表示 y 型双曲线，则 的取值范围是 ；表示双曲线，则 的取值范围
6、是 k3.已知双曲线 的一个焦点为 ， 为 28yx3,0k4椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则 a 的值是 12a12yax5已知双曲线的焦点分别为 、 ，(0,)(,且经过点 ，则双曲 线的标准方程是 ；(3,2)P变式：与椭圆 有相同焦点，496xy且过点 的双曲线方程 ,56等轴双曲线的一个焦点是 ，则它的标准方程是 16,0F三焦点三角形1设椭圆 和双曲线 的公共焦点为 、 ，126yx132yx1F2是两曲线的一个公共点，则 等于 P2cosPF2： 是双曲线 的焦点，PQ 是过焦点 的弦，1,F1962yx 1那么 的值为PQ2_变式：设 、 是双曲 线的两个焦点，且 ，1F2 1
7、82F过 的直线交双曲线的同一支于 、 两点，若 ，MN0的周长为 则满 足条件中的双曲线的标准方程是NM2483设 为双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上且12,F214xyP满足 ，则 的面积是（ ） 0129P12FP变式：设 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，12, 1692yxP且 ，求 的面积。0126FP12FP四渐近线方程1双曲线 的渐近线方程是 23xy2双曲线 的渐近线的方程是 691463双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，20xy10这双曲线的方程为_。4如果双曲线经过点 ，渐近线的方程为 ，(6,3)P3yx则此双曲线的方程为 变式：过点（ ），且与双曲线 有相同的渐
8、近线23,2x169y的双曲线方程是 五离心率问题1.已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 ，12,F2且过点 ，求此双曲线的方程；(4,10)2.已知双曲线 的离心率 ，虚半轴长为 ，2(0,)xyab54e2求双曲线的方程。3.若双曲线 )0,(12bayx的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 4双曲线的渐近线方程为 ，则其离心率为 。32yx5双曲线 （ ， ）的左、右焦点分 别是 ，21xyab0b12F，过 作倾斜角为 的直 线交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，1F3 M2x则双曲线的离心率为_6.已知 是双曲线的两个焦点， 是过点 且垂直于实轴所在直线的双曲线12, PQ1F的弦， ，则双曲线的离心率为 09PFQ变式：已知 F1，F2 分别是双曲线 )0,(12bayx的7左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 六直线与双曲线1. 若直线 与双曲线 始终有公共点，则 的取值范围是1kxy42yxk_
