1、2.5 高斯光束的基本性质及特征参数,沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示,其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，,0为基模高斯光束的腰斑半径，f 称为高斯光束的共焦参数,高斯光束在自由空间的传输规律,振幅因子光斑半径(z) 基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半径为(z) 远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角）,far-field beam angle,相位因子等相位面的曲率半径R(z) 因子kr2/2R表示与横向坐标（x,y）有关的相位移动，表明高斯光束的等相位面是以R为半径的
2、球面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随z不同而不同；当z=f时，R(z) =2f；当z =0时， R(z)； z 时， R(z) 。 曲率中心的位置= z-R(z) ，说明球心在共焦腔腔外，说明球心在共焦腔腔内,Wavefront radius of curvature R(z),The radius of curvature R(z) has a variation with distance given analytically byThe wavefront is flat or planar right at the waist, corresponding to an infi
3、nite radius of curvature or R(0)=. As the beam propagate toward, however, the wavefront gradually becomes curved, and the radius of curvature R(z) drops rather rapidly down to finite values.,For distance well beyond the Rayleigh range f the radius then increases again as R(z)z, i.e., the gaussian be
4、am becomes essentially like a spherical wave centered at the beam waist. What this means in physical terms is that the center of curvature of the wavefront starts out at for a wavefront right at the beam waist, and then moves monotonicaly inward toward the waist, as the wavefront itself moves outwar
5、d toward z .,高斯光束在其传输轴线附近可近似看作是一种非均匀球面波，其曲率中心随着传输过程而不断改变，但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性，且其等相位面始终保持为球面。,用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束 用参数(z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决定高斯光束腰斑的大小0和位置z 高斯光束的q参数,基模高斯光束的特征参数,引入一个新的参数q(z)，定义为,参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下式求出该位置处(z)和R(z)的数值,用q0=q(0)表示z=0处的参数值（purely im
6、aginary），得出,高阶高斯光束 (Higher-order Gaussian modes),厄米特-高斯光束 其横向场分布由高斯函数和厄米特多项式(Hermite polynomial)的乘积决定，沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线,The Hermite-gaussian beam functions alternate between even and odd symmetry alternating index n. The n-th order function has n nulls and n+1 peaks.,附加相移 x方向和y方向的光腰尺寸在z处的光斑尺寸,在x方向
7、和y方向的远场发散角,拉盖尔-高斯光束 柱对称系统中的高阶高斯光束的横向场分布由函数描述，沿半径r方向有n个节线圆，沿辐角方向有m根节线,The higher-order Laguerre-gaussian mode patterns are characterized by azimuthal and radial symmetry.,附加相移为光斑半径发散角,2.6 高斯光束q参数的变换规律,普通球面波的传播规律 高斯光束q参数的变换规律 用q参数分析高斯光束的传输问题,普通球面波的传播规律,研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 在自由空间的传播规律R2=R1+(
8、z2-z1)=R1+L 傍轴球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足(应用牛顿公式)球面波的传播规律可以统一写成 结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径R来描述，传播规律由变换矩阵确定。,高斯光束q参数的变换规律ABCD公式,研究对象：高斯球面波非均匀的、曲率中心不断改变的球面波 q参数在自由空间的传输规律q(z)=q0+z 通过薄透镜的变换q参数的变换规律可统一表示为 结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式，由光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值 (the complex radius of curva
9、ture),Transformation for the Gaussian beam-the ABCD law The great power of the ABCD law is that it enables us to trace the Gaussian beam parameter q(z) through a complicated sequence of lenslike elements. The beam radius R(z) and spot size (z) at any plane z can be recovered through the use of the f
10、ollowing expression,用q参数分析高斯光束的传输问题,已知：入射高斯光束腰斑半径为0 ，束腰与透镜的距离为l，透镜的焦距为F。 求：通过透镜L后在与透镜相距lC处的高斯光束参数C和RC。 思路1：思路2？ 在z=0处 q(0)=i 02 / 在A处（紧靠透镜的左方）qA=q(0)+l 在B处（紧靠透镜的右方）1/qB=1/qA-1/F 在C处 qC=qB+lC qC C、RC,高斯光束腰斑的变换规律,若将C点取在像方束腰处，则有RC、Re1/qC=0，可以求出像方束腰到透镜的距离l和像方腰斑的大小0 。,当满足,腰斑放大率,几何光学之物和像,特殊情况：当,2.7 高斯光束的聚
11、焦和准直,目的：单透镜对高斯光束的聚焦，使0 0 F一定时， 0随l变化的情况 lF， 0随l的减小而减小；当l=0时， 0达到最小值，,如果，Ff，,lF， 0随l的增大而减小；当 ，当lF，如果lf，l=F， 0达到极大值， ，且 ，仅当Ff时，透镜才有聚焦作用。,不论l的值为多大，只要Ff满足，就能实现一定的聚焦作用。,l 确定， 0随F变化情况,当 ，透镜才能对高斯光束起聚焦作用。F愈小，聚集效果愈好,结论：为获得良好聚集，采用 用短焦距透镜；使高斯光束远离透镜焦点，从而满足lf、lF；取l=0，并使fF。,单透镜对高斯光束发散角的影响 对0为有限大小的高斯光束，无论F、l取什么值，都
12、不可能使0 ，也就不可能使0 0。 结论：用单个透镜将高斯光束转换成平面波，从原则上说是不可能的。 l=F时， 0 达到极大值， 0 达到极小值， 0/ 0=f/F，此时，F愈大， 0 愈小。当f/F=02/F1时，有较好的准直效果。,高斯光束的准直,利用望远镜将高斯光束准直,预先用一个短焦距透镜将高斯光束聚焦，以得到极小的腰斑，然后再用一个长焦距透镜来改善其方向性，可得到很好的准直效果。 聚焦后的腰斑恰好落在长焦距透镜的焦面上 系统的准直倍率,F1为短焦距透镜（副镜）的焦距， F2为长焦距透镜（主镜）的焦距，M就是通常所说的望远镜的准直倍率（几何压缩比）。,一个给定的望远镜对高斯光束的准直倍
13、率不仅与望远镜本身的结构参数有关，而且还与高斯光束的结构参数f以及腰斑与副镜的距离l有关。 假设透镜孔面上的光斑远小于透镜本身的孔径，因而无须考虑由透镜的有限孔径引起的衍射效应。当光斑等于或大于透镜的孔径时，要想通过提高准直倍率来无限制地压缩高斯光束的发散角是不可能的。这时的0的大小及出射光束的最小发散角应由透镜的孔径所决定。,2.8 高斯光束的自再现变换,自再现变换：如果一个高斯光束通过透镜后其结构不发生变化，即参数0或f不变，或同时满足0 = 0、 l=l。 利用透镜实现自再现变换：当透镜的焦距等于高斯光束入射在透镜表面 上的波面曲率半径的一半时，透镜对该高斯光束作自再现变换。,令,球面反
14、射镜对高斯光束的自再现变换：当入射在球面镜上的高斯光束波面曲率半径正好等于球面镜的曲率半径时，在反射时高斯光束的参数将不发生变化，即像高斯光束与物高斯光束完全重合。通常将这种情况称为反射镜与高斯光束的波前相匹配。,将某高斯光束的两个等相位面用相应曲率半径的球面反射镜来代替，将构成一个稳定腔，该高斯光束被腔的两个反射镜作自再现变换，成为腔中的自再现模。 对任意稳定腔，只要适当选择高斯光束的束腰位置及腰斑大小，就可使它成为该腔的本征模。,设某一高斯光束从腔内某一参考平面出发时的q参数值为qM，在腔内往返一周后其参数值记为qM ，则二者满足该高斯光束能成为谐振腔的自再现模的条件为qM=qM 对腔的高
15、斯模应有Self-consistency condition: a stable eigenmode of the resonator is one that reproduces itself after one round trip.,A, B, C, D are the ray matrix elements for one complete round trip-starting and ending at the chosen reference plane.,The complex beam parameter q, and hence and R, at any other pl
16、ane can be obtained by applying the ABCD law to qM.,腔内存在着真实的高斯模的条件应该是可求解出实的值(the condition for a confined Gaussian beam is that the square of the beam spot size 2 be a finite positive number)，从而可得到结论：在稳定光学开腔中不存在傍轴光线的几何逸出损耗与腔内存在着高斯光束型的本征模这一断言是等价的。,2.9 光束衍射倍率因子M2,问题：如何评价激光器产生的激光光束空域质量？ 经过理想光学系统的无像差的光学
17、系统后光腰尺寸和远场发散角的乘积不变。对基模高斯光束， 0 0=2/。 M2定义为实际光束的腰斑半径与远场发散角的乘积与基模高斯光束的腰斑半径与远场发散角的乘积之比 基模高斯光束具有最小的M2值( M2=1)，其光腰半径和发散角也最小，达到衍射极限。M2值可以表征实际光束偏离衍射极限的程度，称为衍射倍率因子,对于高阶厄米特-高斯光束：对于高阶拉盖尔-高斯光束另外，得到光源的单色亮度 ，M2因子也是表征激光束空间相干性好坏的本质参量。,2.10 非稳腔的几何自再现波型,Operation in the stable regime has been shown to lead to narrow
18、Gaussian beams. This situation is not compatible with the need for high-power output that requires large lasing volumes. The nature of the coupling results in an output beam with a large aperture that is consequently well collimated without the use of telescoping optics.,非稳腔(unstable optical resonat
19、ors)的构成 双凸腔： 平凸腔： 平凹非稳腔 LR,双凹非稳腔 特例：非对称实共焦腔两个凹面镜在腔内有一个公共实焦点，构成一个望远镜系统 凹凸非稳腔 特例：虚共焦型非稳腔凹面镜的实焦点与凸面镜的虚焦点相重合，公共焦点在腔外，构成一个虚共焦望远镜系统,The advantages of the unstable resonator concept, when the necessary conditions are met, then include:,Large, and controllable, mode volume Controllable diffractive output co
20、upling Good transverse mode discrimination Automatically collimated output beams Ease of alignment and adjustment Efficient power extraction Good far-field beam patterns,本章总结,主要讨论了光腔模式问题。它是理解激光的相干性、方向性、单色性等一系列重要特性、进行激光器件的设计和装调的基础，也是研究和掌握激光基本技术和应用的基础。 开放式光腔根据几何偏折损耗的高低，可以分为稳定腔、非稳腔和临界腔。稳定腔的几何偏折损耗很低，绝大多
21、数中、小功率器件都采用稳定腔。其模式理论是腔模理论中比较成熟的部分。由于稳定腔应用广泛，其模式理论具有最广泛、最重要的实践意义。,稳定腔模式理论是以共焦腔模的解析理论为基础的。对方形镜共焦腔，镜面上场的分布可用厄米特-高斯函数表示，对圆形镜共焦腔，镜面上场的分布可用拉盖尔-高斯函数描述，并且整个腔内（以及腔外）空间中的场都可以表示为厄米特-高斯光束或拉盖尔-高斯光束的形式。共焦腔振荡模的一系列基本特征都可以解析地表示出来。在高斯光束传输规律的基础上，建立了一般（非共焦的）稳定球面腔与共焦腔之间的等价性，从而将共焦腔解析理论的结果推广到一般稳定球面腔，解决了应用最广的这一大类谐振腔的模式问题。,采用稳定球面腔的激光器所发出的激光，以高斯光束的形式在空间传播。研究高斯光束在空间的传输规律，以及光学系统对高斯光束的变换规律，成为激光的理论和实际应用中的重要问题。讨论了最简单和最基本的情形，即高斯光束在自由空间中的传输和简单透镜（或球面反射镜）系统对高斯光束的变换，以及它的聚焦和准直问题。,
