1、1知识与技能 了解双曲线的几何性质，并会应用于实际问题之中会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质及图形四者之间的内在联系，分析和解决实际问题 2过程与方法 在与椭圆的性质类比中获得双曲线的几何性质，进一步体会数形结合的思想掌握利用方程研究曲线的性质的基本方法,3情感态度与价值观 使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决问题中的作用，从而培养学生分析、归纳、类比、推理等能力,重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质 难点：有关双曲线的离心率、渐近线的问题，数形结合思想、方程思想、等价转化思想的运用,对圆锥曲线来说，渐近线是双曲
2、线的特有性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形,双曲线的几何性质见下表,例1 双曲线9x2y281的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程,求双曲线9y216x2144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程，离心率,已知双曲线的渐近线方程为y x，焦距为10，求双曲线方程,例3 已知双曲线的渐近线方程为y x，求此双曲线的离心率,说明 本题的主线是渐近线与离心率的关系，注意对焦点在x轴或y轴上两种进行分类讨论,答案 A,说明 双曲线的综合应用是双曲线考查的重点内容，平时练习时多总结，多思考,
3、中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1、F2，且|F1F2|2 ，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为37. (1)求这两条曲线的方程； (2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值,(2)设F1PF2，由余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos|F1F2|252 由椭圆的定义，得 |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|196 由双曲线的定义，得 |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36 ，得 |PF1|PF2|(1cos)72. ，得 |PF1|PF2|(1cos)8.,例6 若一动点P(x，y)到两定点F1
4、(1,0)，F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(0a2)，求点P的轨迹方程 误解 由双曲线定义知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，辨析 利用双曲线的定义求轨迹方程时，一定要注意02a|F1F2|这一条件，若2a与|F1F2|大小不确定，必须讨论,正解 由已知条件，得|F1F2|2. 当a2时，轨迹为两条射线y0(x1)或y0(x1) 当0a2时，轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，当a0时，轨迹是线段F1F2的垂直平分线，方程为x0.,答案 D 解析 由已知有c2a2b212.,答案 C,3(2008辽宁)已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则m
5、 ( ) A1 B2 C3 D4 答案 D,二、填空题 4若双曲线的渐近线方程为y3x，它的一个焦点是( ，0)则双曲线的方程是_,5(2009湖南)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为_,三、解答题 6已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2y210相交于点P(3，1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程,解析 解法1：切点为P(3，1)的圆的切线方程为3xy10. 双曲线的一条渐近线与切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称， 两渐近线方程为3xy0. 设所求的双曲线方程为9x2y2(0)， 点P(3，1)在所求的双曲线上，80.,
