1、离散数学 Discrete Mathematics,7-8 根树及其应用,上节重点讨论无向树。本节将简单地讨论有向图中的树。,要求： 掌握6个定理 重点掌握最优二叉树的构造方法。,学习本节要熟悉如下术语（18个）：,有向树、,根树、,有序树、,结点的层次、,子根树、,m叉树、,完全m叉树、,分枝点、,根、,叶、,正则m叉树、,二叉树、,内部通路长度、,外部通路长度、,通路长度、,加权二叉树、,最优树、,前缀码,一、根树的基本概念 1、有向树 定义7-8.1 如果一个有向图在不考虑边的方向时是一棵树，那么该有向图称为 有向树。,2、根树 定义7-8.2 一棵有向树，如果恰有一个结点的入度为0，其
2、余所有结点的入度都为1，则称为根树(rooted tree)。入度为0的结点称为T的树根。出度为0的结点称为树叶，出度不为0的结点称为分枝点或内点。,根树的画法有：树根在下，向上生长；树根在上，向下生长。,习惯把有向树的根画在最上方，边的箭头全指向下，则可以省略全部箭头。树根到一个结点的有向通路的长度称为该结点的层数。所有结点的最大层数称为树高。,3、子树 定义7-8.3 任一结点v及其后代导出的子图称为根树的子树。,定义7-8.3 根树包含一个或多个结点，这些结点中的某一个称为根，其他所有结点被分成有限个子根树。,在有向树中，结点的出现次序是没有意义的。但实际应用中，有时要给出同一级中结点的
3、相对次序，这便导出有序树的概念。 4、有序树 在根树中规定了每一层上结点的次序，称为有序树。,为表示结点间的关系，有时借用家族中的术语。 定义 在以v0为根的树中，（1）若从a到b有一条边，则结点b称为a的“儿子”，或称a为b的“父亲”。例：v1，v2称为v0的 儿子，v0称为它们的父亲。vi，vj 同为一顶点v的儿子时，称它们为兄弟。,（2）当vi为vi+1 (i = 1, 2, k-1) 的父亲时，v1是vk的祖先，vk为v1的子孙。 （3）根树T自身及以它的树根的子孙为根的根树（T的子图），均称为T的子树（subtree），后者又 称为T的真子树。,1、m叉树 定义7-8.4 在根树中若
4、每个结点的出度均m，则称T为m叉树(m元树)。若每个分枝点的出度恰好等于m或零，则称T为完全m叉树，若T的所有树叶的层数均相同，则称T为正则m叉树。,二、二叉树,若m叉树是有序的，则称T为m叉有序树。若完全m叉树是有序的，则称T为完全m叉有序树。若正则m叉树是有序的，则称T为正则m叉有序树。,2、二叉树当m=2时，称为二叉树，二叉有序树的每个结点v至多有两个儿子，其序按左右分，分别为左儿子，右儿子，任一分枝点最多有两棵子树，称为左子树和右子树。,若v只有一个子树，则称它为左子树或右子树均可。在二叉树的图形表示中，v的左子树画在v的左下方，v的右子树画在v的右下方。,例,2叉有序树,2叉有序完全
5、树,2叉有序完全正则树,3、m叉树改为二叉树的方法(1) 除最左边的分枝结点外，删去所有从每一个结点长出的分枝。在同一级中，兄弟结点之间用从左到右的弧连接。(2) 选取直接位于给定结点下面的结点作为左儿子，与给定结点位于同一水平线上且紧靠它的右边结点作为右儿子，如此类推。上述算法能够推广到有序森林上去。,4、定理7-8.1 设有完全m叉树，其树叶的数目为t，分枝点数为i，则(m-1)i=t-1。, 证明思路：每局有m位选手参加比赛，单淘汰赛，每局淘汰(m-1)位,共比赛i局,最后剩1位选手。树叶的数目t表示参加比赛的选手数。因此有：(m-1)i+1=t ,例题1 设有28盏电灯，拟公用一个电源
6、插座，问需要多少块具有四插座的接线板。 解：将四叉树的每个分枝点看做是具有四插座的接线板，树叶看做电灯，则有 （4-1）i = 28-1，i=9 所以需要九块具有四插座的接线板。,应用示例：,5、定义7-8.5 在根树中，一个结点的通路长度，就是从树根到该结点的通路中的边数。分枝点的通路长度称为内部通路长度，树叶的通路长度称为外部通路长度。,6、定理7-8.2 设有完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度的总和为I ，外部通路长度总和为E ，则E=I+2n。,证明思路：对分枝点n采用数学归纳法。 ,三、最优树二叉树的一个重要应用就是最优树问题。给定一组数w1，w2，wn。令一棵二叉树有n个叶结点
7、，并对它们分别指派w1，w2，wn作为权，则该二叉树称为加权二叉树。,1、定义7-8.6 在带权二叉树T中，若带权为wi的树叶，其通路长度为L(wi) ，把t w(T) = wi L(wi) i=1 称为该带权二叉树的权，所有带权w1, w2, wt的二叉树中， w(T)最小的那棵树，称为最优树（Huffman树）。,例1,：下图中,都是带权1，3，4，5，6,的2叉树，求,，,。,解：,但不能判定,是最优,2叉树。,2、定理7-8.3 设T为带权w1w2wt的最优树，则1) 带权w1,w2的树叶vw1, vw2是兄弟。2) 以树叶vw1, vw2为儿子的分枝点，其通路长度最长。, 证明思路：
8、设在带权w1, w2, wt的最优树中, v是通路最长的分枝点, v的儿子分别带权wx和wy,故有L(wx) L(w1) L(wy) L(w2) 若L(wx) L(w1),将wx与w1对调,得到新树T,则w(T)-w(T)=w1L(wx)+wxL(w1)-wxL(wx)+ w1L(w1)= L(wx)(w1 - wx)+ L(w1)(wx - w1)= (wx - w1)L(w1) - L(wx) 0 即w(T)w(T),与是最优树假设矛盾。故L(wx)=L(w1)。 同理可证L(wy)=L(w2)。因此L(wx)=L(wy)=L(w1)=L(w2)。 分别将w1, w2与wx, wy对调得一
9、最优树,vw1, vw2是兄弟。,3、定理7-8.4 设T为带权w1w2wt的最优树，若将以带权w1和w2的树叶为儿子的分枝点改为带权w1+w2的树叶，得到一棵新树T，则T也是最优树。, 证明思路：根据假设，有w(T)= w(T) +w1+ w2若T不是最优树, 则必有另一棵带权w1+w2, w3, wt的最优树T。对T中带权w1+w2的树叶vw1+w2生成两个儿子，得到新树T* ，则w(T*)= w(T) +w1+ w2 因为T是带权w1+w2, w3, wt的最优树，故w(T) w(T) 若w(T)w(T),则w(T*)w(T),与T是带权w1, w2, wt的最优树矛盾，因此w(T) =
10、 w(T) T是带权w1+w2, w3, wt的最优树。 ,根据上述两个定理，求一棵有n个权的最优树，可简化为求一棵有n-1个权的最优树，而这又可简化为求一棵有n-2个权的最优树，依此类推。具体作法是：首先找出两个最小的权值，设w1和w2。然后对n-1个权w1+w2，w3，wn求作一棵最优树，并且将这棵树中的结点 w1+w2 代之以 ，依此类推。,4、构造最优树Huffman算法,以二叉树为例：,例2: 已知权值 W= 5, 6, 2, 9, 7 ,7,9,2,6,5,7,9,6,7,2,5,7,2,5,9,13,7,6,0,0,0,0,1,1,1,1,00,01,10,110,111,W(T
11、)= 62+72+92+53+23 =65,7,2,5,9,13,7,6,6,7,13,2,5,7,9,16,29,组合过程可以综合为：先对5 6 2 9 7按由小到大排序2 5 6 7 97 6 7 97 13 913 16 29,组合过程也可以综合为：2 5 6 7 97 6 7 913 7 913 16 29,7,9,16,5,2,7,6,13,29,W(T)= 72+92+62+23+53 =65,5、前缀码 定义7-8.7 给定一个序列的集合，若没有一个序列是另一个序列的前缀，该序列集合称为前缀码。,定理7-8.5 任意一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。, 证明思路：给定一棵二叉树，
12、从每一个分枝点引出两条边，对左侧边标以0，对右侧边标以1，则每片树叶将可标定一个0和1的序列，它是由树根到这片树叶的通路上各边标号所组成的序列，显然，没有一片树叶的标定序列是另一片树叶标定序列的前缀，因此，任何一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。 , 证明思路：给定一个前缀码，h表示前缀码中最长序列的长度。构造一棵高度为h的正则二叉树，并从每一个分枝点引出两条边，对左侧边标以0，对右侧边标以1，则每片树叶将可标定一个0和1的序列，它是由树根到这片树叶的通路上各边标号所组成的序列，因此，对于长度不超过h的每一二进制序列必对应一个结点。对应于前缀码中的每一序列的结点，给予一个标记，并将标记结点的所有后裔和射出的边全部删去，这样得到一棵二叉树，再删去其中未加标记的树叶，得到一棵新的二叉树，它的树叶就对应给定的前缀码。 ,定理7-8.6 任意一个前缀码都对应一棵二叉树。,参见P336 图7-8.8的前缀码对应的二叉树。 可知：若给定前缀码对应的二叉树是完全二叉树，则此前缀码可进行译码。,作业 337页(2)(5)-a, (6) 选做：（3）,本节内容到此结束,谢谢大家！,
