1、1,第八章 非线性控制系统,概述 非线性系统特点 数学模型 非线性微分方程 稳定性 与系统的输入信号和初始条件有关 系统的零输入响应 与系统初始状态有关 极限环（自激振荡） 频率响应 跳跃谐振、多值相应、倍频现象、分频震荡、频率捕捉（跟踪）现象,2,第八章 非线性控制系统,常用的非线性系统研究方法 相平面法 描述函数法 目前非线性控制系统的综合与设计的主要方法 基于李雅普诺夫方法的综合与设计方法 变结构控制 微分几何控制理论 混沌理论及混沌控制,3,第八章 非线性控制系统,典型非线性环节,饱和非线性,死区非线性,4,摩擦非线性（静摩擦力）,典型非线性环节,第八章 非线性控制系统,间隙非线性,5
2、,第八章 非线性控制系统,继电器型非线性,理想继电器,具有死区继电器,6,第八章 非线性控制系统,继电器型非线性,具有滞环继电器,具有死区与滞环继电器,7,第八章 非线性控制系统,相平面法,H. Poincare 提出的一种用图解法求解一阶、二阶常系数微分方程的方法,由于非线性系统状态方程的求解十分困难，运用相平面法，回避直接求解非线性状态方程，利用图解法找出系统状态变化的规律。,状态轨迹上的一个点表示状态变量的一组值，即对应于系统的运动状态，所以整条状态轨迹则形象和全面地描述了整个系统的运动状态。,利用相平面法可以明显地看到系统在任何可能的初始条件下的全部解。,8,第八章 非线性控制系统,相
3、平面、相轨迹和相平面图,设描述二阶自由系统的常系数微分方程为,该系统的时间解可用x(t)和t的关系图表示，也可以用时间t为参变量，然后用 的关系图表示。,以两个相变量 和 张成的二维状态空间（状态平面）称为相平面,（1）,9,第八章 非线性控制系统,在相平面上，系统的每一个状态相应于该平面上的一个点。,当时间t变化时，该点在相平面上描绘出的曲线，即状态的变化轨线，称为相轨迹。,在相轨迹上用箭头表示时间增大的方向。,如果以各种可能的初始状态为初始点，则可得到一族相轨迹，这种相轨迹曲线称之为相平面图。,10,第八章 非线性控制系统,相轨迹性质,相轨迹的斜率,由于,即,故,所以,相轨迹的斜率,11,
4、第八章 非线性控制系统,相平面图的奇点（平衡点）,如果某一状态点 ，使上述相轨迹的斜率方程为,斜率不定,有无数条相轨迹在该点相交,凡是使上述方程成立的状态点称为奇点，即平衡点或平衡状态,12,第八章 非线性控制系统,相平面图的对称性,相轨迹的运动方向,在相平面的上半平面，由于 即x随时间t的增加而增大，状态点沿相轨迹朝x轴的正方向运动,在相平面的下半平面，由于 即x 随时间t的增加而减少，状态点沿相轨迹朝x轴的负方向运动,相轨迹垂直穿过x轴,奇点就是多条或无数条相轨迹的起点或终点,二阶系统的每一条相轨迹表示系统在给定初始状态下系统运动的动态特性,13,第八章 非线性控制系统,起点,起点,终点,
5、14,第八章 非线性控制系统,相平面图的作图方法,解析法 图解法,等倾线法 法（圆弧近似法）,15,第八章 非线性控制系统,相平面图的分析,由相平面图求时间解,按平均速度求时间信息t,平均速度,时间增量,16,第八章 非线性控制系统,解析法求时间信息,因为,所以,故有,17,第八章 非线性控制系统,奇点与极限环,奇点概念,如果在某一状态点处，存在,则此系统不存在唯一解，称该状态为奇点。,研究奇点的定义及奇点坐标的求法，进一步研究系统在奇点附近的运动规律以及相轨迹的形状，并按奇点附近相轨迹的特征对它进行分类。再引入“特殊的奇点”奇线和极限环的概念。,18,第八章 非线性控制系统,对一个非线性二阶
6、系统而言，搞清楚系统在奇点附近相轨迹的形状，将有利于估计整个相平面的相轨迹的大致形状，可定性地把握有关二阶系统自由运动规律的全部信息。,一般讲来，可把相变量 视为位移，则 和 可理解为速度和加速度，则奇点可理解为系统的速度和加速度均为零，故奇点就是系统的平衡点。,在相平面内，凡使系统的两个相变量的导数都为零的状态点，即为平衡点，即对所有的时间 t，均有：,则对应的状态点 称为系统的平衡点或系统的平衡状态,19,第八章 非线性控制系统,平衡点坐标的确定,由系统平衡点的定义，知,所以二阶系统 的平衡点在相平面的纵坐标为,故对于二阶系统 ，令其中的,解出的 值就是系统平衡点 在相平面 内的横坐标,2
7、0,第八章 非线性控制系统,平衡点的分类,非线性系统的线性化模型,因为,则系统的平衡点为,当 是非线性函数时，若它满足线性化的条件，应用泰勒级数，并略去高阶无穷小，则可得线性化增量函数为,所以,21,第八章 非线性控制系统,令,则线性化方程为,若令上述方程中 则线性化模型的平衡点为,注意：,非线性系统的平衡状态，在非线性方程的坐标系中坐标为 而在线性增量模型的新坐标系中坐标为 。,22,第八章 非线性控制系统,分类,讨论系统平衡点的分类，并在相平面上画出平衡点附近的相轨迹，可以估计整个相平面的相轨迹的大致信息。,线性化处理后的二阶线性微分方程,其特征方程为,特征方程的两个根 和 在复平面内的分
8、布位置不同，确定了平衡点的类型和二阶线性微分方程解的性质。,23,第八章 非线性控制系统,和 均为负实数,系统的平衡点为稳定节点,24,第八章 非线性控制系统,和 均为正实数,系统的平衡点为不稳定节点,25,第八章 非线性控制系统,和 为实部为负的共轭复数,系统的平衡点为稳定焦点,26,第八章 非线性控制系统,和 为实部为零的共轭复数,系统的平衡点为中心点,27,第八章 非线性控制系统,和 为实部为正数的共轭复数,系统的平衡点为不稳定焦点,28,第八章 非线性控制系统,和 为一正、一负的实数,系统的平衡点为鞍点,29,例：二阶非线性系统的微分方程为,试：,、确定系统的平衡点； 、求非线性方程在
9、平衡点处的线性化模型； 、确定平衡点的类型； 4、指出渐进线的斜率。,30,非线性系统的相平面分析,解：二阶非线性系统,其平衡点有两个：,31,特殊二阶线性系统的相轨迹,32,特殊二阶线性系统的相轨迹,33,一阶线性系统的相轨迹,34,一阶线性系统的相轨迹,35,极限环,第八章 非线性控制系统,极限环是相平面上一条孤立的封闭相轨迹，且它附近的其它相轨迹都无限地趋向或离开这条封闭的相轨迹,非线性系统中，极限环描述了系统自激振荡的振幅和周期,极限环将相平面分割成内部和外部平面两部分，内部（外部）的相轨迹不可能穿过极限环而进入它的外部（内部）,36,第八章 非线性控制系统,稳定极限环,37,第八章
10、非线性控制系统,不稳定极限环,38,第八章 非线性控制系统,半稳定极限环,39,第八章 非线性控制系统,描述函数法,描述函数法是分析非线性控制系统的一种近似方法，在非线性系统满足一定的假设条件下，可以忽略系统中的高次谐波，对系统中非线性特性进行谐波线性化，然后利用线性系统理论中的频率响应法研究非线性系统零平衡状态的稳定性和自激振荡。,40,假设条件：,线性部分G(s)和非线性部分N是分离的 非线性元件N非线性程度较低，其特性是奇对称的且不包含储能元件 线性部分G(s)具有较好的低通滤波特性 系统的参考输入r(t)=0,且系统开始处于静止状态,第八章 非线性控制系统,41,第八章 非线性控制系统
11、,设非线性元件N的输入为,则非线性元件N的输出为非正弦周期函数，即,所以线性部分的输出c(t)也包含相应的谐波分量,根据前述假设条件,非线性特性是奇对称的，故,线性部分具有较好的低通滤波特性，故可忽略高次谐波分量,故,42,第八章 非线性控制系统,定义,非线性元件输出信号y(t)的一次谐波分量y1(t)和正弦输入信号x(t)的复数向量之比，定义为非线性元件的描述函数，即,注意：,谐波线性化与小偏差线性化(泰勒级数)的区别 描述函数更像该元件对一次谐波的“复放大系数”或“复增益” 与线性元件的频率特性函数的相似之处和不同之处 沿用线性系统理论中的频率响应法来研究非线性控制系统,43,第八章 非线
12、性控制系统,典型非线性元件的N(X)及-1/N(X)曲线,步骤：,将y(t)展开成傅立叶级数,44,第八章 非线性控制系统,饱和非线性,45,第八章 非线性控制系统,46,第八章 非线性控制系统,描述函数负倒数：,即：,0,47,第八章 非线性控制系统,死区非线性,48,第八章 非线性控制系统,49,第八章 非线性控制系统,描述函数负倒数：,0,即：,50,第八章 非线性控制系统,继电器型非线性,51,第八章 非线性控制系统,52,第八章 非线性控制系统,53,第八章 非线性控制系统,描述函数负倒数：,即：,54,第八章 非线性控制系统,非线性系统的描述函数分析,对非线性元件进行谐波线性化，得
13、到描述函数N(X)为X的实值或复值函数，可将其看成是系统的一个实数或复数增益，故可利用线性系统的频率响应法分析非线性系统,渐进稳定性,自激振荡存在条件，确定自激振荡的振幅和频率,55,非线性系统的渐进稳定性,第八章 非线性控制系统,系统方程为,即,由于,故,即,将Nyquist判据推广应用于用描述函数法所描述的非线性系统，需要修改的仅仅是将复平面内的临界点（-1，j1) 扩展为临界曲线,56,第八章 非线性控制系统,如果系统的线性部分是渐进稳定的，则Nquist判据为,假设非线性系统的线性部分传递函数G(s)为开环稳定，在同一平面上画出G(j)曲线和-1/N（X）曲线,若-1/N（X）曲线没有
14、被G(j)曲线包围，则系统是稳定的,57,若-1/N（X）曲线被G(j)曲线包围，则系统是不稳定的,第八章 非线性控制系统,58,若-1/N（X）曲线与G(j)曲线相交，则系统中可能会产生自激振荡，即系统中有极限环存在。,第八章 非线性控制系统,59,第八章 非线性控制系统,非线性系统自激振荡的分析,非线性系统自激振荡的稳定性可根据交点处-1/N(X)曲线和G(j)曲线的相对走向确定,如果在交点处，-1/N(X)曲线当幅值X增大时，向G(j)曲线包围区域内移动，则该点的自激振荡是不稳定的；反之，若当X增大时，-1/N(X)曲线向G(j)曲线包围区域以外运动，则该点的自激振荡是稳定的。,自激振荡
15、的参数（振幅与频率）由两曲线的交点确定,60,PID自校正,PM算法,61,-1/N(A)和Nyquist曲线,分别改变Kp，Ki，Kd值使Q点在G(jw)，jwG(jw),(1/jw)G(jw)方向上移动的情形,PID自校正,PM算法,62,PID自校正,SPAM算法,63,PID自校正,SPAM算法 滞环继电特性与被控对象Nyquist曲线的交点在单位圆外,点Q在单位圆外时的自整定公式推导关系图,64,李亚普诺夫稳定性分析,稳定性定义,系统受到外界干扰偏离原有的平衡状态时，当外界干扰去掉后，系统能在新平衡状态下继续工作的能力。,系统稳定性判据,SISO线性定常系统,劳斯判据,奈奎斯特判据,
16、非线性系统、时变系统,李亚普诺夫稳定性判据,65,李亚普诺夫稳定性分析,李亚普诺夫方法,第一方法（间接法）,第二方法（直接法）,通过解系统的微分方程判断稳定性。,对非线性系统，则用平衡点附近一定范围内的线性化方程来近似描述。,不必求解微分方程即可判断,特别适用于以状态空间描述的系统,66,李亚普诺夫稳定性分析,基本概念,设系统,n维状态向量,n维函数向量（包含线性和非线性，时变和非时变）,平衡状态,线性,非线性,67,李亚普诺夫稳定性分析,稳定性,就一定有,68,李亚普诺夫稳定性分析,渐进稳定性,大范围渐近稳定性,如果从平衡状态周围所有状态出发的状态转移轨线都满足渐近稳定性，则称该平衡状态是大
17、范围渐近稳定的。,69,李亚普诺夫稳定性分析,不稳定性,标量函数的正定性,70,李亚普诺夫稳定性分析,李亚普诺夫第二方法,从能量观点出发，得出的一个判别系统稳定性的理论。,设法用一个辅助函数来衡量系统的储能，判别系统平衡点附近的稳定性问题转化为判别储能辅助函数及其变化规律。,71,李亚普诺夫稳定性分析,大范围渐近稳定,不稳定,大范围稳定,局部渐近稳定,局部不稳定,基于能量观点，得出李亚普诺夫稳定性定理,72,李亚普诺夫稳定性分析,定理一,则该平衡状态是大范围内一致渐近稳定的。,定理二,发的状态轨迹。,73,定理三,李亚普诺夫稳定性分析,定理四,74,李亚普诺夫稳定性分析,例：已知某线性系统的状
18、态方程如下,试用李亚普诺夫稳定性定理判定其稳定性。,解：,但,是不定的，因而不能用其来确定系统在原点处的稳定性。,75,李亚普诺夫稳定性分析,若另取一个正定标量函数,则,不恒等于零。故根据定理二可知，原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。,对于一个特定的系统，其李亚普诺夫函数并不是唯一的。,76,李亚普诺夫稳定性分析,还可选取,其导函数为,根据定理一可知，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,77,李亚普诺夫稳定性分析,非线性系统,学者找出一种构造李亚普诺夫函数方法,其中,78,李亚普诺夫稳定性分析,其行列式也是非零的，因而有,79,李亚普诺夫稳定性分析,定理,，则平衡状态时大范围内渐近稳定的。,80,李亚普诺夫稳定性分析,例：试分析下列非线性系统的稳定性,李亚普诺夫函数为,81,李亚普诺夫稳定性分析,平衡状态是大范围渐近稳定的。,
