1、泛函分析及其在自动控制中的应用8.2 逼近理论,学号：10805001姓名：董守龙,函数逼近问题,函数逼近是数值分析的基础，同时在求取微分方程数值解等方面有重要应用。 具体说来，函数逼近问题是指：在某一区间上，如何用简单函数逼近已知复杂函数。 通常这些简单函数包括：(1)多项式函数；(2)分段多项式函数；(3)有理分式函数。,赋范线性空间上最优逼近的定义,设X是赋范线性空间， 是其子空间；，如果 使得则称y0是对x按Y的最优逼近。,逼近理论之定理1,定理8.2.1：设Y是赋范线性空间X中的有限维子空间，则对任意xX ，存在对x按Y的最优逼近。 证明：设xX给定，定义B=yY:x-yx，则B是Y
2、中的闭球，于是：当 时， ，即：说明若对x按Y的最优逼近存在，则必存在于B中。B是有限维子空间Y中的有界闭集，故B为紧集；根据范数的连续性，则x-y在B中有下确界，即对x按Y的最优逼近存在。,逼近理论之定理2,定理8.2.2：设Y是赋范线性空间X的子空间， ，则对x按Y的最优逼近构成凸集M。 证明：设 ，若M是空集或单点集，则M是凸集。若M有不止一个点，任取y,zM，则有任取0,1，且令 。因为wY，则必有 ，又因为：故 ，可知wM，M为凸集。,？,一致逼近问题及相关定义,一致逼近问题（切比雪夫逼近问题）：，采用一致（无穷）范数。 设 ，如果 ，则t0称为x的一个极值点。 Haar条件：设Y是
3、Ca,b的有限维子空间，对任意 ，它在a,b区间上至多有n-1个零点，其中n=dimY。,逼近理论之定理3,定理8.2.3：设Y是实Banach空间Ca,b的有限维子空间，且y1, y2, , yn是Y的任意一组基，对于a,b中任意不同的点t1, t2, , tn，定义矩阵K=kij=yi(tj)i,j=1,2,n ，则Y满足Haar条件等价于detK0。 证明：对于任意yY，则若Y满足Haar条件则Y在a,b至多有n-1个零点如t1, t2, , tn-1若方程有解，则y(tj)=0，当且仅当j=0，即上式只有零解。根据Gramer法则，detK0。,逼近理论之定理4,引理：设Y是实Bana
4、ch空间Ca,b的n维子空间，满足Haar条件，对于任意给定的xCa,b，yY，如果函数x-y在a,b区间的极值点少于n+1个，则y不是对x按Y的最优逼近。定理8.2.4：设Y是实Banach空间Ca,b的n维子空间，对于任意的xCa,b，唯一存在y0Y是对x按Y的最优逼近的充要条件是：Y满足Haar条件。,逼近理论之定理5,定理8.2.4指出了最优逼近唯一存在的条件，下面需要解决最优逼近函数如何确定的问题。 交错集定义：设Y是实Banach空间Ca,b的n维子空间，xCa,b，yY，称点集t0, t1, , tka,b，且t0 t1 tk为函数x-y的交错集，如果x(tj)-y(tj)在两相
5、邻点交错地取值+x-y和-x-y。 交错集中的点是极值点；n+1个点的交错集至少有n个零点。 定理8.2.5：设Y是实Banach空间Ca,b的n维子空间，满足Haar条件，给定xCa,b，设yY使得x-y在a,b有n+1个点的交错集，则y是对x按Y的最优一致逼近。,定理8.2.5的证明,证明：由定理8.2.4知对x按Y的最优一致逼近唯一存在。现设最优一致逼近是y0Y，y0y，则交错集中的n+1个点为极值点，即在这些点上：x-y=x-y在极值点上考察函数y0-y=(x-y)-(x-y0)，与x-y符号相同。表明y0-y也是有n+1个点的交错集，故其在a,b上至少 有n个零点。但因y0-yY，Y
6、满足Haar条件，故y0-y在a,b至多有n-1个零点，矛盾。,第一类切比雪夫多项式,X=C-1,1，x(t)=tn，nN固定。Y=spany0,y1, yn-1，yi(t)=ti，i=0,1, ,n-1；问题：选择 ，使得 是对x按Y的最优一致逼近。 令t=cos,0,，有下式成立，其中nj为常数：而cosn在0,有n+1个极值点，且交错地取值为1。定义称其为第一类n阶切比雪夫()多项式。,x,-y,余项,逼近理论之定理6,定理8.2.6：由下式定义的多项式：对固定的nN，是-1,1上所有n次实系数且tn系数为1的多项式中，距0最大偏差为最小的一个多项式。 证明：由第一类切比雪夫多项式的定义可知， 是tn系数为1的多项式。令 ，则显然有，其中令x(t)=tn，则有 ，在-1,1区间上有n+1个点的交错集，由定理8.2.5可知y是对x按Y的最优一致逼近。其中 任意，所以 是任意tn系数为1的多项式。,谢谢！,
