1、内容提要: 6.1 多项式环 6.2 一元多项式环 6.3 未定元的存在性 6.4 多元多项式环,6 多项式环,我们已经有了一般环的定义,现在要认识一种特殊的环多项式环,这种环在数学里占一个重要的地位。本节假定 是一个有单位的交换环， 是 的子环，并且包含 的单位元。比如, 为复数环(域), 为整数环.,6.1 多项式环,的多项式,在 里取出一个元 来，那么有意义，是 的一个元。,定义1 一个可以写成形式 的元叫做R上 的一个多项式。 叫做多项式的系数。,注1：多项式常用 表示. 注2： 的多项式的表示形式不唯一(举例),因此不定义次数. 原因在什么地方?,多项式环,记 =所有R上的 的多项式
2、.,我们要注意，对于 ， 所以当我们只考虑 的有限个多项式的时候，可以假定这些多项式的项数(注:没有说次数),都是一样的。因此， 的两个元相加相乘适合以下公式：,这两个式子告诉我们， 对于加法和乘法来说都 是闭的。进一步,所以 是一个(子)环。,定义2 叫做R上 的多项式环.,注3： 是包括R和 的最小子环。 注4：上面的 的计算法正是初等代数里的多项 式的计算法。,6.2 一元多项式环,的多项式的表示形式不唯一的原因在于:当系数不都等于零的时候，很可能 的多项式比方说，当 的时候，取， ， 那么多项式,未定元,定义3 的一个元 叫做R的一个未定元，假如 在R里找不到不都等于零的元 来，使得,
3、在这一节里，我们重要讨论未定元的多项式。,注5：根据上述定义，R 上的一个未定元 的多项式（简称一元多项式）,只能用一种方法写成的形式（不计系数是零的项）。,定义4 令是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个 多项式的次数,表示为 。,注6：多项式0不定义次数。 注7： ,例1 R是整数环， 是复数域, 在 上发现一些R的未定元.,例2 ( 上可能没有R的未定元) R是整数环， 是包含所有 的整环， 这时对 的每一个元 来说，都有,6.3 未定元的存在性,定理 1 给了一个有单位元的交换环R，存在一个 包含R的环P, 使得在P上一定有R上的未定元 存在.,证明(省略) 我们非三步来证明这
4、个定理。 1.首先我们利用R来作一个环 。我们让 刚好包含所有无穷序列，这里 ，但只有有限个我们限定： 只在 时，,我们规定一个加法：显然这是一个 的代数运算，而且 对于这个加法来说作成一个加群。这个加群的零元是 。 我们再规定一种乘法：这里 显然这也是一个 的代数运算，并且这个乘法适合交换律。,这个乘法也适合结合律：叫那么，照乘法的定义，把 计算一下，可以得到同样的结果。,这两个代数运算也适合分配律：叫那么，由加法和乘法的定义，把 算出来，显 然会得到同样的结果。这样 作成一个交换环。在 里我们有等式,（1） 由这个式子我们可以得到这就是说 有单位元 。,2. 第二步我们利用 来得到一个包含
5、R的环P。由等式（1），我们可以得到 （2）,由加法的定义，我们有 （3） （2）和（3）告诉我们，全体 形式的 的元作成一个子环 ，并且是 与R间的一个同构映射。因为R同 根本没有同元，由 ，5，定理4，我们可以用R来代替 ，而得到一个包含R的环P；P也是有单位元的交换环，并且P的单位就是R的1。,3. 最后我们证明P包含R上的未定元。令 我们说， （4） 当 时，这个式子显然是对的。假定对于 ， 式子是对的。那么，,但这里只有 和 等于1，其余 都等于零， 所以除了在 这个和里有一项 以为，其余到处都是零，因此现在假定在P里。,那么在 里这样，由（4）和（1），因而 这正是说， 是R上的未
6、定元。证完。,6.4 多元多项式环,多项式概念的推广,方法1. 递推法. 我们从 里的任意取出 个元 来，那么 我们可以作R上的 的多项式环 ，然后作 上的 的多项式环 。这样下去，可以 得到 。这个环包括所有可以写成(*),方法2. 直接法,定义5 一个有（*）的形式的元叫做R上的 的一个多项式。 叫做多项式的系数。,表示R上的所有 的多项式, 它构成环.,无关未定元及多元多项式环,定义5 的 个元 叫做R上的无关未定 元，假如任何一个R上的 的多项式都不 会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。,定理2 给了一个有单位元的交换环R同一个正整 数 ，一定有R上的无关未定元 存在，因 此也
7、就有R上的多项式环 存在。,同态与代入法,定理3 假定 和 都是有 单位元的交换R上的多项式环， 是R上的 无关未定元， 是R上的任意元。那么与 同态。,证明 我们用 来表示 的元用 来表示 的元,那么,(1) 是 到 的一个满射。 因为：给了一个 的元y由于 是无关未定元，只有一种方法可以把y写成多项式。这样，依照我们的规定，y只有一 个象，就是 。另一方面，显然这个映 射是一个满射。,(2) 保持运算.由于在 或 里两个多项式 的相加或相乘是适合同一规律的，以上映射是同态映 射。证完。,定理3告诉我们一个重要的事实，若 的若干个元 ， 之间有一个由加法和乘法计算得来的关系存在，那么 用任意n个元 去代替 这个关系仍 然成立。这正是说代入的可能正是普通多项式的一个 重要性质。,作业: 1,2 4 (i) 设 和 都是R的未定元. 那么,
