1、2.3 连续型随机变量及其概率密度,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数,2.3. 常见的连续型随机变量,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数,定义：设 X 是一随机变量，若存在一个非负可积函数 f(x) 使得,其中 F(x) 是它的分布函数,则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率 密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密 度,分布函数 F(x)与密度函数 f(x)的几何意义,概率密度函数f(x)的性质,3、,在 f(x) 的连续点处，,f(x) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率.,1,2,这两条性质
2、是判定一个 函数 f(x)是否为某r.v X 的 概率密度函数的充要条件.,注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0,这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的 取值.,命题: 连续型随机变量取任一常数的概率为零.,事实上,对于连续型随机变量X,例2.3.1 设随机变量 具有概率密度函数试确定常数A，以及 的分布函数.,解:由,知A=3，即,而 的分布函数为,解 Step1: 利用密度函数的性质求出 a,例：已知密度函数求概率,Step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率,例：已知分布函数求密度函数,（2)X 的密度函数,（2）密度函数为,解,解,当 x 1 时,当
3、1 x 5 时,例：已知密度函数求分布函数,已知连续型随机变量X的概率密度为,求 X 的分布函数,当 x 5 时,所以,2.3.2.1 均匀分布,(a ,b)上的均匀分布,记作,2.3.2 常见的连续型随机变量,若 X 的密度函数为 ，则称 X 服从区间,其中,X 的分布函数为,即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d c 的小区间 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.,在进行大量数值计算时，如果在小数点后第k位进行四舍五入，则产生的误差可以看作服从,应用场合:,例,设在-1，5上服从均匀分布，求方程,有实根的概率。,解 方程有实数根,即,而 的密度函数为,所求
4、概率为,2.3.2.2 指数分布,若X 的密度函数为,则称X 服从参数为的指数分布,记作,X 的分布函数为, 0 为常数,对于任意的 0 a b,应用场合:,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似,例2.3.2,令：B= 等待时间为10-20分钟 ,2.3.2.3 正态分布,若X 的密度函数为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 X N ( , 2 ),为常数，,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛最
5、早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,正态分布的密度函数的性质与图形,关于 x = 对称,（- ，）升，（，+ ）降,单调性,对称性,拐点,中间高 两边低,，对密度曲线的影响,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右对称”。,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度。,应用场合:,若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的 影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加, 则 X 服从正态分布.,可用正态变量描述的实例非常之多：,各种测量的误差； 人的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的
6、高度； 金属线的抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：, 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布, 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的, 正态分布可以作为许多分布的近似分布,正态分布的重要性:,正态分布的分布函数,标准正态分布,定义,X N（0，1）分布称为标准正态分布,密度函数,分布函数,Standard Normal distr
7、ibution,偶函数,标准正态分布的概率计算,分布函数,X,-x,标准正态分布的概率计算,公式,查表,例 X N（0，1）,一般正态分布的标准化,定理,查标准正态分布表,概率计算,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,一般正态分布的区间概率,。,。,。,设XN（1，4），求 P(0X1.6),解,例,正态分布的实际应用,分析,然后根据录取率或者分数线确定能否录取,解 成绩X服从,录取率为,可得,得,查表得,解,查表得,解得,故,设录取的最低分为,则应有,某人78分，可 被录取。,3准则,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎
8、全部集中在-3,3区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,这在统计学上称作“3 准则”（三倍标准差原则）.,例 公共汽车车门的高度是按男子与车门 顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子 身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,解: 设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h) 0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我们来求满足上式的最小的 h.,再看一个应用正态分布的例子:,因为XN(170,62),查表得 (2.33)=0.99010.99,所以 =2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.,这一讲，我们介绍了正态分布，它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道.,后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布 .,
