1、第一章 绪论：几何学时间与空间的数学起源及论证几何,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,衡阳师范学院数学系 唐祥德,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,一、几何学的进步概说,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,1、时间的几何模型是一维的直线没有开端，也没有终结 2、现实空间的直观描述是三维的；古希腊数学家研究点、线、面的关系，更建立起公理体系被称“欧氏空间”，其上的何学，即“欧氏几何学”这种研究方法，常称为综合几何学的方法 3、笛卡儿发明了坐标系，把欧氏空间的点变成有序的三元数组（x,y,z）, 曲线是用只有一个参数的方程表示曲面则用含有两个参数的方程表示用代数方法进行演算，使得几
2、何学插上了翅膀解析几何学由此诞生 4、欧氏几何中平行公理的研究，导致非欧几何学的产生其实，现实世界中并非只有一种几何一一欧氏几何学例如球面上的几何学(以大团作“直线”看)，就不满足欧氏平面几何的公理体系19世纪发现的非欧几何学，打开了新的天地 5、几何图形可以搬来报去，不改变图形的面积、体积中国有所谓“出入相补”原理即基于此种想法但是相似变换，可以把图形放大缩小，面积体积随之而变化把物体投影在墙上，形状有变化的成分、也有不变的成分这种变和不变，成了几何学的研究对象射影几何学成了一门学问,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,射影几何把线段的长短以及角度的大小都改变了，但是还是有一些东西没有变
3、：相交、共线、共点等等都是深入的研究发现，射影变换不改变四点的“交比”德国数学家F克莱因进一步得出结论：几何学原来是研究不同变换群下几何不变量的学科这一被称为“爱尔兰根”纲领的数学成就，影响了整个几何学的发展方向 6、欧氏几何学所使用的工具很简单，所以只能研究直线、平面、直方体的变化由“直”向“曲”的进化，来自微积分的推动高斯一般地研究曲面上的几何学，即经典的微分几何学 7、从平直的欧氏空间进到弯曲的一般空间，不仅仅是弯曲程度一个变化，更重要的是整体结构有改变我们知道球面、环面具有很不相同的结构可是，人们注意到，球面和环面，以及许多曲面，从局部看都差不多，环面上一点周围的一小片，和球面上一点周
4、围的一小片，没有什么大的不同区别的关键在于整体这种把曲面看成许多小块圆片堆积而成(堆成不同的结构)的观点，就是近代几何学家所说的流形流形的整体结构就是拓扑学的研究对象 8、20世纪韧，爱因斯坦创立”狭义相对论”他把一维的时间和三维的欧氏空间放在一起考察引起了物理学的革命数学上的四维空间，成为现实的对象1915年，爱因斯坦又创立“广义相对论”，把宇宙看成是弯曲的四维空间这样，微分几何学和高维几何学结合起来,初等几何的三个要素,形状、度量（测量）、结构。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,几何从哪儿来？,1、几何的起源无意识几何阶段,“形”的萌芽 “形”的意识来自二个方面：一方面，同“数感”
5、一样，人在初始状态（幼儿时或远古时）对物体的“形状”就有感觉。人们反复感受到自然界中某些物体的较为稳定的形状(如太阳、月亮的圆形)之后，便慢慢地把这些“形”留在了他们的记忆之中，并在劳动中加以运用。（中国古代：天圆地方）;另一方面,形的意识还来自于人们的实践活动。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,“形”的萌芽,与“数”的历史一样古老，“形”的历史可以追溯到公元前3000年左右甚至更远。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,“形”的萌芽,在中国甘肃省景泰县张家台(新石器时代，约公元前2000年左右)出土的彩陶罐,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,“形”的萌芽,我国龙山文化遗址(
6、新石器时代)的考古过程中发现一些陶片,距今约为4000年4500年。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,“形”的萌芽,人们在无数次的奔波往来之中，为了发现最短的道路，渐渐地产生了“直线”的概念。又如“点”的概念在拉丁文Pungo中就是一个实践性概念，意为“刺”、“触”。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,度量的意识,在人们对“形”的意识逐渐稳定下来后，会产生度量的意识 形成“数”的概念时借助人体肢节作为“匹配工具”一样，人们起初很可能也是借助于人的身体的各个部位，作一些简单的测量。 例如，为了测量长度，成人男子的步子被当作通行的测量单位，面且这种做法保留至今。除此之外，手指的宽度、
7、关节的长度等都曾用作测量单位，中国古代中医寻找穴位使用指宽定位。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,度量的意识,古希腊数学家Herdotus认为几何是埃及人发现的，因为尼罗河每年遭受洪水泛滥而冲毁土地的界限。这样，人们为了重新界定土地，不得不进行反复的测量活动，从而产生了几何学，拉丁文Geometry的原意即为“测地术”。中国古代使用的词语“几何”意为“多少”，与测量活动也是密切相关的。 古埃及在齐阿普斯王朝(公元前2900年左右)时代建造起来的金字塔便是一个典型的例证，其塔基是一个“标推”的正方形，各边的误差不超过万分之六。 古巴比伦的一块泥板(约公元前2200年)就载有一幅表示15片
8、土地的平面图，其中7块为直角三角形，4块是矩形，另外4块则为直角梯形。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系, “结构”意识,在人类活动的初期，其表现的特征是简单的模仿和比较。如太阳从地平线线上升起，也许是圆与直线位置关系的自然原形。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,总之，“形”的意识、“度量”意识和“结构”意识来自于人们对自然界的感受和体验，来自于适应大自然、改造大自然的实践活动。这是人类在几何领域中最原始、最基本的抽象活动，是对几何的粗浅而简单、直接而形象的认识。我们把这一阶段的几何称作无意识几何(阶段)。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,2、几何的发展经验几何阶段,当人
9、们经历了无意识几何的漫长酝酿之后，初步形成了“形”的意识，进而尝试着做一些简单的“度量”工作，同时对几何“结构”关系的探索活动也慢慢地开始了。这样几何就从无意识几何阶段步人了经验几何阶段。所谓经验几何，就是人们通过对大量的具体几何素材进行反复的感受和体验，归纳、概括出较为一般的几何关系，在实践中对之加以验证和检验.,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,经验几何思想方法“特例研究发现法”,据说，法国数学家帕斯卡在孩提时期，曾经通过把一个三角形纸板经裁剪拼凑的方法得出了三角形的内角和等于180。的结论。这也许是现在教科书中拼凑实验法的最初来源。 所谓“特例研究发现法”，就是对具体事例进行分析、
10、研究和实验，采用归纳、类比、联想等思维方法，发现几何关系的本质特征，揭示事物的内在规律，寻找解决问题的办法，从而达到解决问题的目的。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,经验几何的思想方法“实验研究发现法”,对一些难度较大的问题的进一步探索，被迫转而采用实验的方法对问题进行粗略的、近似的处理。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古埃及人对圆面积的计算公式 这就相当于取为316057l。 那么埃及人的这个“公式是如何得到的呢? 按照一般的推测，很可能是通过“比较”法得出的：作一个直径为d的圆，与边长小于d的正方形的面积进行反复比较，从面找到一个合适的正方形边长为 的正方形。,2019/
11、4/24,衡阳师范学院数学系,中国古代曾经采用类似的方法得出球体体积的近似值用黄金分别做成直径、边长均为一寸的球体和正方体，称得球体重9两，正方体重16两，比较、归纳之，得球体体积为。经折算,圆周率相当于3375，很明显，误差较大。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,一点引申：经验几何中所包含的主要思想方法便为“不完全归纳法”，而这一方法在发展学生的“策略创造”思维方面具有独特的效能，因为“任何一种新的数学理论，只靠严谨的逻辑演绎是推不出来的，必须加上生动的思维创造，一旦有了新的想法，采取了新的策略，掌握了新的技巧，数学思维就前进一步。”,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,3、论证
12、几何阶段,然而，在历史上人们并不满足于这种“粗糙”的几何，同时出于对精确和完美的一种强烈的渴望，而且渐渐感觉到，仅通过试验，单凭经验和直观所得的结论，其实并不可靠，往往与实际情况相差较大。为此人们努力寻找新的出路，这样就导致了初等几何的第三个阶段论证几何的产生。 数学史上论证几何首先主要出现在两个地方，一是希腊，二是中国。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,泰勒斯 (约公元前625-前547年),爱奥尼亚学派(米利都学派),创数学命题逻辑证明之先河,泰勒斯定理圆的直径将圆分为两个相等的部分.等腰三角形两底角相等.两相交直线形成的
13、对顶角相等.如果一个三角形有两角、一边分别与另一个三角形的对应角、边相等, 那么这两个三角形全等.半圆上的圆周角是直角.,哲学：万物源于水,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,毕达哥拉斯 (约公元前560-前480年),毕达哥拉斯学派,万物皆为数,抽象对象,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,毕达哥拉斯定理 （希腊，1955）,毕达哥拉斯学派,完全数,亲和数,不可公度量,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,毕达哥拉斯学派,(5-1)/2 0.618,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,帕提农神庙(前447前432年）,
14、雅典时期：开创演绎数学,古典时期的希腊数学,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,帕提农神庙(前447前432年）,古典时期的希腊数学,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,掷铁饼者(米隆, 约前450年),2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,伊利亚学派,芝诺 (约公元前490-前430年),芝诺悖论：运动不存在位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处，即不可能在有限的时间内通过无限多个点。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,芝诺悖论: 阿基里斯,伊利亚学派,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,伊
15、利亚学派,芝诺悖论: 飞矢不动,名家主要是辩论哲学概念，但庄子中记载他们的多条名辩可以从数学的意义上去理解，其中最有名的如：矩不方，规不可以为圆；飞鸟之影未尝动也；箭矢之疾，而有不行不止之时；一尺之捶日取其半，万世不竭. 等等，可以说与希腊芝诺学派的悖论遥相呼应,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,诡辩学派(智人学派),三等分任意角,古典几何三大作图问题,化圆为方,倍立方,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,安蒂丰(约公元前480前411年)的穷竭法,诡辩学派(智人学派),林德曼（德，18521939年）,
16、2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,柏拉图 (约公元前427-前347年),柏拉图学派,打开宇宙之迷的钥匙是数与几何图形,公理化演绎体系的倡导者,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,雅典学院(公元前387公元529年),柏拉图学派,雅典学院简介,雅典学院（作者：拉斐尔）是一幅古希腊哲学家、科学家和其他各种人物的群像。 在这幅构图宏伟的作品中，杰出的拉斐尔把希腊、罗马、斯巴达以及意大利的著名哲学家和思想家聚于一堂,巧妙地组织在宏伟的三层拱门大厅内。 上层的人物以古希腊哲学家柏拉图（左）及其弟子亚里士多德（右）为中心。一个以指头指着上天，一个则伸着右
17、指指着他前面的世界，以此表示着他们不同的哲学观点：柏拉图的唯心主义和亚里士多德的唯物主义。以他二人为中心，激动人心的辩论场面向两翼和前景展开，构成了宽广的空间。 在这两个中心人物的两侧有许多重要历史人物：左边穿白衣、两臂交叉的青年是希腊马其顿王亚里山大，穿绿袍转身向左扳手指的是唯心主义哲学家苏格拉底，斜躺在台阶上的半裸着衣服的老人是古希腊犬儒学派哲学家狄奥吉尼。 下一层的人物分为左右两组，其中有著名历史人物，也有当时的现实人物： 左边一组中，站着伸头向左看的老者是著名的阿拉伯学者阿维洛依，在他左前方蹲着看书的秃顶老人是古希腊著名哲学家毕达哥拉斯，在他身后的白衣少年是当时教皇的侄子、有名的艺术爱
18、好者乌尔宾诺公爵。 右边一组的主要人物是古希腊著名科学家阿基米德，他正弯腰和四个青年演算几何题。右边尽头手持天体模型者是天文学家托勒密，以及其他一些人物。 整个壁画洋溢着浓厚的学术研究和自由辩论的空气。所有的人们都是那样毫无拘束地按照自己的意志和个性在进行活动,享有充分的自由。各种人物的活动和动态，都是统一在一个为探求科学真理而自由争辩的崇高主题之中。 如果说米开朗基罗的壁画是在颂扬人的无限强大的意志和创造力,那么,拉斐尔的雅典学院便是唱出人类的自觉和理智的赞歌。它着重歌颂人类对智慧和真理的追求，赞美的是人类生机勃勃的、壮丽辉煌的创造之光。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,2019/4
19、/24,衡阳师范学院数学系,亚里士多德(公元前384前322年)（乌拉圭, 1996）,古典时期的希腊数学,古希腊最著名的哲学家、科学家,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古典时期的希腊数学,亚里士多德 (公元前384-前322年),亚里士多德学派(吕园学派),形式逻辑方法用于数学推理,矛盾律、排中律,“吾爱吾师，吾尤爱真理”,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,亚历山大灯塔(法罗斯岛,135米 ),亚历山大时期：希腊数学黄金时代,希腊化时期的数学,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,希腊化时期的数学,欧几里得(公元前325-前265年),原本（）13卷5条公理、5条公设119条
20、定义和 465条命题“几何无王者之道”,原本,第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉斯定理、初等作图法等 第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积 第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切 第五、六卷：比例论与相似形 第七、八、九、十卷：数论 第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭法，是微积分思想的来源,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,希腊化时期的数学,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,希腊化时期的数学,5公理1. 等于同量的量彼此相等.2. 等量加等量, 和相等.3. 等量减等量, 差相等.4. 彼此重合的图形是全等的.5. 整体大于部分.5公设1. 假定从任意一点到任意一
21、点可作一直线.2. 一条有限直线可不断延长.3. 以任意中心和直径可以画圆.4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交.,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,希腊化时期的数学,阿基米德(公元前287-前212年),数学之神,“给我一个支点，我就可以移动地球。”,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,阿基米德(公元前287前212年) (希腊, 1983),用穷竭法计算平面图形面积,希腊化时期的数学,2019
22、/4/24,衡阳师范学院数学系,希腊化时期的数学,阿基米德之死,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,希腊化时期的数学,阿波罗尼奥斯(约公元前262-前190年),圆锥曲线,克莱因（美，19081992）：它是这样一座巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古希腊几何的登峰造极之作。贝尔纳（英，19011971）：他的工作如此的完备，所以几乎二千年后，开普勒和牛顿可以原封不动地搬用，来推导行星轨道的性质。,8卷，487个命题,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古希腊数学落幕,希帕蒂娅 （公元370415年）,希帕蒂姬是评注欧几里得原本的
23、塞翁的女儿，她本人也注释过阿基米德、阿波罗尼奥斯和丢番图的著作，是历史上第一位杰出的女数学家希柏蒂姬的被害预示了在基督教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,古希腊数学落幕,柏拉图学园被封闭,公元529年东罗马皇帝查士丁尼（527565）下令封闭了雅典的所有学校,亚历山大图书三劫,亚历山大图书馆：当时世界上藏书最多的图书馆第1次劫难：前47年，罗马凯撒烧毁了亚历山大港的舰队，大火殃及亚历山大图书馆，70万卷图书付之一炬第2次劫难：公元392年罗马狄奥多修下令拆毁塞拉皮斯希腊神庙，30多万件希腊文手稿被毁第3次劫难：公元640年阿拉伯奥马尔一世下令收缴亚历
24、山大城全部希腊书籍予以焚毁,（三）论证几何在中国,在中国古代几何领域中也曾留有论证几何的影子。在与希腊欧几里德同时代，中国式的论证几何著作一墨经诞生了，它是我国战国时期的墨家思想的代表作，其中论及数学、逻辑学等方面的内容，特别在墨经酌“经上”、“经上说”等篇章中，给出了许多几何定义和命题。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,如关于点的定义,经曰：端，体之无厚而最前者也(点，线的没有大小长短的顶端部分)； 几何原本中的定义1为：点是没有部分的那种东西；定义3为：一线的两端是点。两者比较相差无几。 （注：点为原始概念，不能定义，此处实为描述）,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,又如经曰
25、：平，同高也(平面，是指同样高低的那种东西)； 几何原本的定义7则说：平面是与其上直线看齐的那种面。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,再如经曰：圆，一中同长也(圆，其周上各点到中心的长度均相等)； 几何原本的定义15：圆是包含在一(曲)线里的那种平面图形，使从其内某一点(定义16冉把此点说成是圆心)连到该线的所有直线都彼此相等。很明显，前者定义简洁明了。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,总之，墨经所含几何内容非富，而且其有关几何基本概念、原理与几何原本相类似，若墨经的思想方法能得以发展并传播，那么论证几何也能在中国生根开花，只可惜中国古代的算学注重实效、讲究方法，与之理念相去甚
26、远，而墨家思想又未能成为正统学说，因而可以说在中国古代数学史上没有真正意义上的论证几何。,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,1、几何发展一舶经历几个阶段?备具有什么特点？ 2、试分析论证几何在古希腊产生的历史原因。 3、古希腊论证几何对数学发展具有怎样的历史意义?,2019/4/24,衡阳师范学院数学系,直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。,几何学的变革,（十九世纪数学之二）,欧几里得平行
27、公设,许多学者都视欧几里得几何为绝对真理。然而，这种近乎科学“圣经”的几何学并非无懈可击。事实上，从公元前3世纪到18世纪末，另一批数学始终没有放弃对欧几里得第五公设的疑惑。为澄清这种疑惑，一代代数学家想尽了方法，然而他们所给“证明”要么隐含着等价的命题假定，要么存在着形式的推理错误。而且，这类工作中的大多数在数学思想上显得毫无意义。18世纪中叶，达朗贝尔无奈地把平行公设的证明问题称为“几何原理中的家丑”。,古希腊数学家对第五公设的讨论,历史上第一个证明对第5公设证明的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy,约公元150）作出的，但是在公元 5世纪古希腊数学家普洛克鲁斯(Proclus
28、 )指出该证明无意中假定了“过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”，也就是后来的所谓“普莱菲尔公设”。,早在9世纪，当欧几里得几何原本传入伊斯兰国家后，第五公设就引起学者们的注意所谓第五公设或平行公设就是在原本中提出的公理：“如果一直线和两直线相交，所构成的两个同旁内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的一侧相交”这公设不论在词句或内容方面都比其他四个公设复杂得多，而且也不那么显而易见人们自然会发生是否可以证明的疑问阿拉伯学者对此公设进行试证的有焦赫里(alJawhar)，塔比伊本库拉(Thbit ibn Qurra)，伊本海塞姆(Ibn alHaytham，
29、即Alhazen)，奥马海亚姆等人实质上他们并没有证明了公设，而是采用另外一与之等价的公设来代替它,奥马在1077年撰写了辩明欧几里得公设中的难点(Explanation of the difficulties in the postulates of Euclid)一书，讨论了两个难题，一是平行公设，二是比的问题他考察四边形ABCD，DA与CB同垂直于AB且DA=CB(图2)无需用平行公设，很容易证明C=D而C，D的大小有三种可能：(1)等于直角；(2)等于钝角；(3)等于锐角若采用平行公设可以证明C，D等于直角反之，若能证明C，D等于直角，便可推出平行公设奥马用反证法，“证明”钝角、锐角假
30、设必导致矛盾，因此只有直角的情形成立，这就无异证明了平行公设但他的证明是有缺陷的，实际是引入下述假设来代替平行公设：两条直线如果越来越接近，那么它们必定在这个方向上相交所以他也未解决平行公设问题,18世纪，对第五公设的研究开始出现有意义的进展。在这方面的代表人物是意大利数学家萨凯里、德国数学家克吕格尔和瑞士数学家兰伯特。,文艺复兴后欧洲数学家关于第五公设的讨论,G萨凯里(Saccheri)重新研究这个四边形(后人常称之为“萨凯里四边形”)，由此得出一系列互不矛盾的命题他和前人虽然未建立(也未意识到)非欧几何，但已为非欧几何的诞生铺平了道路,Legendre（17521833）是第三位（在 Sa
31、ccheri 与 Lambert 之后）为想建立欧氏平行公設而下了很大功夫的数学家。他證明了 定理： 若三角形的內角和等於兩直角，則歐氏平行公設成立。 然后他想证明三角形的內角和不能小于兩直角，卻產生了瑕疵。他鍥而不捨地在平行問題上下功夫，堅持最久。1833年在他死那年還出版了最後一篇論文。可惜未有多大進步。,J. Lambert（1728-1777年）考慮三個內角為直角的四邊形，一樣對第四個內角做直角、鈍角、銳角三種假定，也很快除掉鈍角假定，從銳角假定他也導出三角形內角和要小於180的結果，而更進一步指出內角和與180的差要正比於此三角形的面積，這和球面幾何的情形很類似，因此認為銳角假定也許
32、會在某些半徑為虛數的擬球面上實現。他對銳角假定是否會引出矛盾並沒做最後的判定，因此他的論文也沒正式發表。,9.2.1 高斯,非欧几何的诞生,“非欧几何”的名称来源于高斯。尽管在其正式建立之前，许多技术性的内容已被大量导出，但最先对其意义有深刻理解的是高斯。他从1799年开始意识到平行公设不能由其他公理推出，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。然而由于担心世俗的攻击，这位“数学之王”决定将自己的发现秘而不宣。,波约,1832年，对发现非欧几何深缄其口的高斯突然收到一篇论文绝对空间的科学，文章的作者是一位名叫波约的匈牙得青年，文中论述的“绝对几何”事实上就是非欧几何，且与高斯的
33、思想方法不谋而合。可以想象，急于得到支持的波约等来的会是什么。高斯淡然而缺乏热情的评语使他十分灰心，从此放弃了发表论文的想法。,罗巴切夫斯基,在非欧几何的三位发明人中，只有俄国数学家罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也是最坚定的宣传和捍卫自己新思想的一位。他先是于1826年在喀山大学发表了简要论述平行线定理的一个严格证明的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现，而后又在1829年发表了题为论几何原理的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。罗巴切夫斯基非欧几何与高斯、波约的基本思想一致，即用与欧几里得第五公设相反的断言：过直线外一点，可引不止一条直线与已知直线不相交，作为替
34、代公设，进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理，它们并不包含矛盾，因而在总体上形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论。这个理论就是一种新的几何学非欧几里得几何学。,Nikolai Ivanovich Lobachevsky,1792 - 1856,设给定了直线a和直线外一点A，从A引a的垂直线AB。按照罗巴切夫斯基的基本假设，至少存在两条直线b, b，通过点A且不与直线a相交（如图）。罗巴切夫斯基考虑所有过A不与a相交的直线的极限情形，指出这样的极限直线有两条（c与c），并证明了它们也不与a相交。因此，c与c便构成了所有不与a相交的直线的边界，在这两条边界直线所成夹角内的所有直线都不与a相交（如
35、图）。罗巴切夫斯基称c与c为a的“平行线”，而落在角内的所有直线叫不相交直线。如果按不相交即平行的意义理解，那么罗巴切夫斯基的几何里，过直线外一点就可以引无穷多条直线与给定的直线平行。,b,b,A,B,a,非欧几何要获得普遍接受，还需要确实地建立自身的无矛盾性和现实意义。1854年，德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基等人的思想，以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础，建立了一种更广泛的几何。即现在所称的黎曼几何。,9.3 非欧几何的发展与确认,黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，曲率可以为正常数、负常数、或恒为零。黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常
36、的欧几里得几何学。而第一种情形则是黎曼本人的创造。在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于已知直线的直线。这实际上是以萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学。黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家。他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。,Riemann 1826 - 1866,1854年,黎曼发表关于几何基础的假设的演讲：将高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推广成任意空间的内蕴几何。他把 n 维空间称作一个流形， n 维流形中的一个点，可用n 个参数x1 , x2 , , x n 的一组特定数值来表示，称作流形的坐标。定义流形中
37、的两点距离，假定这微小距离的平方是一个二次微分齐次,ds2 = ,n,n,i = 1,j = 1,（gij dxi dxj ）,其中gij 是坐标的 函数，,x1 , x2 , , x n,gij= gji,上式右边总取正。,定义流形曲线长度及曲率： 常见三种曲率空间： （1）曲率为正常数；（黎曼几何空间） （2）曲率为负常数；（罗氏几何空间） （3）曲率恒等于零。（欧氏几何空间）,19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米基于内蕴几何观点，给出一个叫“伪球面”的曲面作为罗巴切夫斯基几何模型。随后，克莱因、庞加莱也各自对罗巴切夫斯基几何给出自己的欧几里得模型。他们的工作，揭示了非欧几何的现实
38、意义，同时使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实性。至此，非欧几何作为一种几何的合法地位充分建立起来，并开始得到广泛的理解和接受。,Beltrami 1835 - 1900,Klein, 1849 - 1925,Klein瓶,Poincare,庞加莱的罗氏几何模型,荷兰画家M.C.Escher的数学绘画作品(1959)：圆的极限,越来越小,非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧几里得几何变成了某种特例。实际上，如果将欧几里得几何限制于其原先的涵义三维、平直、刚性空间的几何学，那么，19世纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧化”运动：从三维到高维，从平直到弯曲，而射影几何的发展又从
39、另一个方向使“神圣”的欧几里得几何再度“降格”为其他几何的特例。,射影几何的繁荣,在19世纪以前，射影几何一直是在欧几里得几何框架下被研究的。射影几何真正变革为具有独立目标与方法的学科，开始于庞斯列的有关工作。与德沙格和帕斯卡不同，庞斯列更喜欢探讨一般性问题：图形在投射和截影下保持不变的性质，这也是后来射影几何研究的主题。与他的老师蒙日也不同，庞斯列采用中心投影而不是平行投影，并将其提高为研究问题的一般方法。,Poncelet,在庞斯列实现射影几何目标的一般研究中，有两个基本原理扮演了重要角色。首先是连续性原理，它涉及到图形通过投影变换时的几何不变性。庞斯列将它发展到包括无穷远点的情形，由此引
40、出了具有重要作用的无穷远元素与虚元素概念。庞斯列强调的另一个原理是对偶原理。平面图形的“点”和“线”之间存在着异乎寻常的对称性。如果在它们所涉及的定理中，将这一对概念互换，那么就可以得到一个新定理。为此，庞斯列还发展了配极的一般理论。,在庞斯列用综合方法为射影几何奠基的同时，德国数学家麦比乌斯和普吕克则开创了射影几何研究的解析途径。1827年，麦比乌斯首次引进了齐次坐标概念，这种坐标后被普吕克发展为更一般的形式，它实际上是对笛卡尔坐标的推广。齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内的许多射影几何基本结果的有效工具。,Mobius,1847年，施陶特在不借助长度概念的情况下建立起射影几何的基本工具
41、，使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科。施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱和克莱因，他们着手在射影几何概念的基础上重建欧几里得几何乃至非欧几何的有关性质，发现它们不过都是射影几何的特例。他们的工作明确了各种几何学之间的逻辑关系，从而为各种几何学的统一辅平了道路。,Karl Georg Christian von Staudt,1798 - 1867,9.5 几何学的统一,19世纪中叶以后，通过否定欧几里得几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新而又新的几何学，除了上述几种非欧几何、黎曼几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并
42、行发展的高维几何、射影几何、微分几何以及较晚才出现的拓扑学等，19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景。在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的一个目标。,统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因提出的。1872年，克莱因发表了著名的演讲爱尔朗根纲要，阐述了几何学统一的新思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问。这样一来，不仅19世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何一种分类也对应于几何学的一种分类。,统一几何学的另一条途径，为希尔伯特所开通，那就是对现代数学影响深远的公理化
43、方法。公理化方法肇始于欧几里得，然而原本中的公理体系却潜含着某种逻辑缺陷。在重建严格统一的几何基础的努力中，以希尔伯特在几何基础（1899）中使用的公理化方法最为成功。,David Hilbert,1862 - 1943,希尔伯特所发展的这种形式公理化方法在20世纪已远远起出了几何学的范围而成为现代数学甚至某些物理领域中普遍应用的科学方法。,希尔伯特在这方面的贡献具有划时代意义，因为他比任何前人都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系。在对他的公理系统作出自然地划分之后，希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即相容性，独立性，完备性。如此组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学。,思考题：,1、第五公设的替代公设是什么？ 2、归谬法证明平行公设的基本思想是什么？ 3、概述高斯、波约和罗巴切夫斯基对非欧几何的贡献。 4、什么是非欧几何学？ 5、非欧几何中与欧氏几何中有哪些主要不同的结论？ 6、黎曼对几何发展有何贡献？ 7、有哪几种非欧几何模型？ 8、概述射影几何的发展历程？ 9、非欧几何有何重要意义？ 10、何谓爱尔朗根纲领？ 11、何谓现代公理化方法？,谢谢！,
