1、热点讲座8. 带电粒子在电场磁场中的运动问题分析,以带电粒子在电场磁场中的运动为题材的物理题是高考的热点,每年的高考试卷都有此类题,并且多是大型计算题、综合题. 为什么以带电粒子在电磁场中的运动为题材的物理题是高考的热点呢?因为要在很短的时间内以有限的题目考查高中物理那么多的知识点,就要通过一个题目考查几个知识点,也就是说题目要有综合性.而以带电粒子在电磁场中的运动为题材的物理题,能考查电场、电场力、加,热点解读,章末总结,速度、速度、位移、匀速运动、匀加速运动及磁场、洛伦兹力、圆周运动、向心力、向心加速度、线速度、角速度以及几何作图、数学演算等很多知识点.所以,以带电粒子在电磁场中的运动为题
2、材的物理题容易命制综合题.下面通过题目探讨以带电粒子在电磁场中的运动为题材的物理题的命题规律和解题方法.,专题一 带电粒子在电场中的运动分析 【例1】 如图1所示,边长为L的正方形区域abcd内存在着匀强电场.电荷量为q、动能为Ek的带电粒子从a点沿ab方向进入电场,不计重力.(1)若粒子从c点离开电场,求电场强度的大小和粒子离开电场时的动能.(2)若粒子离开电场时动能为Ek,则电场强度为多大？,图1,专题讲座,解析 (1)粒子在电场中做类平抛运动,在垂直于电场方向:L=v0t在平行于电场方向:L= at2 =所以E= ,qEL=Ekt-Ek则Ekt=qEL+Ek=5Ek(2)若粒子由bc边离
3、开电场,则L=v0t,vy=由动能定理得:Ek-Ek= mvy2=,E= 若粒子由cd边离开电场,由动能定理得qEL=Ek-Ek 所以E= 答案 (1) 5Ek (2)粒子由bc边离开电场时,E= 粒子由cd边离开电场时,E=,专题二 带电粒子在磁场中的运动分析 1.带电粒子在匀强磁场中做不完整圆周运动的解题思路(1)用几何知识确定圆心并求半径.(2)确定轨迹所对的圆心角,求运动时间.【例2】 如图2所示,在xOy平面上,a点坐标为(0,l),平面内有一边界过a点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直纸面向里.有一电子(质量为m,电荷量为e)从a点以初速度v0平行x轴正方向射入磁场区域,
4、在磁场中运动,恰好在x轴上的b点(未标出)射出磁场区域,此时速度方向与x轴正方向夹角为60.求:(1)磁场的磁感应强度.(2)电子在磁场中运动的时间.,(3)磁场区域圆心O1的坐标.解析 该题为带电粒子在有边界磁场区域中的圆周运动.看似复杂,但解题的关键还是在找圆心,同学们只要根据运动电荷在有界磁场的出入点的速度方向垂线的交点,确定圆心的位置,然后作出轨迹和半径,根据几何关系找出等量关系,求解飞行时间从找轨迹所对应的圆心角的方面着手,题目便迎刃而解.,(1)由题意知,O、a、b均在圆形磁场区域的边界,粒子运动轨道圆心为O2,令O2a=O2b=R,圆心角等于偏转角aO2b=60,即aO2b为正三
5、角形.在OO2b中,R2=(R-l)2+(Rsin 60)2,得R=2l.而R= ,得B= .(2)粒子在磁场中的飞行时间t= T=,(3)由于aOb=90且为磁场图形区域的圆周角,则ab即为磁场区域直径,aO1= R=l.O1的坐标为x=aO1sin 60= l,y=l-aO1cos 60=,即坐标为( ).答案 (1) (2) (3)( ),2.临界状态不唯一而形成的多解问题 【例3】 如图3所示,长为L的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,板间距离也为L,板不带电.现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子
6、不打在极板上,可采用的办法是 ( ),图3,A.使粒子的速度vC.使粒子的速度vD.使粒子的速度,解析 由左手定则判得粒子在磁场中向上偏,做匀速圆周运动.很明显,圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出,而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出.现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2.在右图中由几何知识得:,粒子擦着上板从右边穿出时,圆心在O点,有: r12=L2+(r1- )2 得r1= 由r1= 得v1= 所以v 时粒子能从右边穿出,粒子擦着上板从左边穿出时,圆心在O点,有r2= 由r2= 得v2= 所以v 时粒子能从左边穿出. 答案
7、 AB,专题三 带电粒子在复合场中的运动 1.带电粒子在复合场中做直线运动,包括匀速直线运动和变速直线运动 【例4】 在图4中虚线所示的区域存在匀强电场和匀强磁场.取坐标如图.一带电粒子沿x轴正方向进入此区域,在穿过此区域的过程中运动方向始终不发生偏转.不计重力的影响,电场强度E和磁感强度B的方向可能是 ( ),图4,A.E和B都沿x轴方向 B.E沿y轴正向,B沿z轴正向 C.E沿z轴正向,B沿y轴正向 D.E、B都沿z轴方向 解析 选项A,带电粒子只受沿x轴方向的电场力,做匀加速或匀减速直线运动.选项B,无论粒子带正电还是负电,电场力和洛伦兹力都沿竖直方向且方向相反,若满足qE=qvB则合外
8、力为0,做匀速运动.选项C,电场力和洛伦兹力方向相同,都沿z轴,带电粒子运动必发生偏转.选项D,电场力和洛伦兹力的方向相互垂直,且都垂直于粒子的入射方向,合力与入射方向垂直,则运动方向发生偏转. 答案 AB,2.带电粒子在复合场中所受合外力的大小、方向均不断变化而做变加速曲线运动,这类问题一般只能用能量关系处理 【例5】 如图5所示,相互垂直的匀强电场和匀强磁场的大小分别为E和B,一个质量为m,电量为+q的油滴,从a点以水平速度v0飞入,经过一段时间后运动到b点,试计算:(1)油滴刚进入叠加场a点时的加速度.(2)若到达b点时,偏离入射方向的距离为d,则其速度是多大?,图5,解析 (1)油滴受
9、到的合外力F=qv0B-(mg+qE) 加速度a= -g,方向竖直向上. (2)据动能定理有-mgd-qEd= mv2- mv02 所以v= 答案 (1) -g,方向竖直向上 (2),3.带电粒子在电场、磁场、重力场中做匀速圆周运动,则必然是电场力和重力平衡,而洛伦兹力充当向心力 【例6】 一个带电微粒在图6所示的正交匀强电场和匀强磁场中在竖直面内做匀速圆周运动,则该带电微粒必然带 ,旋转方向为 .若已知圆半径为r,电场强度为E,磁感应强度为B,则线速度为 .解析 因为必须有电场力与重力平衡,所以必为负电;由左手定则得逆时针转动;再由Eq=mg及r= ,得v= .答案 负电 逆时针,图6,4.
10、带电粒子在复合场中运动的周期性问题 【例7】 如图7所示,在x轴上方为匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,x轴下方为匀强电场,场强为E,方向竖直向下.有一带负电微粒,电荷量为q、质量为m(重力不计),在y轴上某点由静止释放,在运动过程中要经过x轴上的Q点,Q点离原点O的距离为L,求释放点与原点O的距离.图7,解析 要正确求解,首先要画出粒子在磁场中的运动轨迹,在此基础上求出圆周运动的轨道半径,同时要考虑因周期性而引起的多解问题.带负电粒子在y轴上某点由静止释放,它的位置不可能在原点O之上(即磁场中),只能在原点之下(即电场中),粒子从O点进入磁场做匀速圆周运动,如下图所示.要经过Q点,
11、圆半径r = (n=1,2,3).又r = ,即v = .,设释放点离原点O距离为d,则Eqd= mv2联立得d= (n=1,2,3)答案 (n=1,2,3),素能提升,1.如图8所示为自左向右逐渐增强的磁场,一不计重力的带电粒子垂直射入其中,由于周围气体的阻碍作用,其运动轨迹恰为一段圆弧PQ(粒子电量保持不变),则可判断( )A.粒子从P点射入B.粒子所受洛伦兹力逐渐增大C.粒子从Q点射入D.粒子的动能逐渐减小,图8,解析 由R= ,当v减小时,B也要减小,粒子从P点射入,A对;F洛=qvB知,洛伦兹力减小,动能减小,C错,D对.答案 AD,2.如图9所示,在光滑水平桌面上,有两个固定的电极
12、a、b,长为L的柔软直导线两端连接在a、b上,放置在光滑水平桌面上,有竖直方向的匀强磁场由下而上穿过桌面,磁场的磁感应强度为B,当线圈通过恒定电流I时,求导线内部的拉力.解析 当导线中有电流通过时,由于安培力作用而使导线形成一个圆周,直径D = .左半部分导线在磁场中受安培力的有效长度是直径D,受力分析得F安=2FT,所以FT= 即为所求.答案,图9,3.核聚变反应需要几百万度以上的高温,为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内(否则不可能发生核反应),通常采用磁约束的方法(托卡马克装置).如图10所示,环状匀强磁场中空区域中的带电粒子只要速度不是很大,都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域
13、内.设环状磁场的内半径R1=0.5 m,外半径R2=1.0 m,磁场的磁感应强度B=1.0 T,若被束缚的带电粒子的比荷q/m=4107 C/kg,中空区域内带电粒子具有各个方向的速度.试计算:,图10,(1)粒子沿环状磁场的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度.(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度.解析 (1)要使粒子沿环的半径方向射入磁场,且不能穿越磁场,则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图所示.由图知r12+R12=(R2-r1)2,解得r1=0.375 m由Bqv1=m 得v1= =1.5107 m/s所以粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度为v1=1.510
14、7 m/s.,(2)当粒子以v2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时,则以v2速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界,如图所示.由图知r2= =0.25 m由Bqv2=m 得v2= =1.0107 m/s所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度v2=1.0107 m/s答案 (1)1.5107 m/s (2)1.0107 m/s,4.如图11所示,水平方向的匀强电场的电场强度为E,场区宽度为L,竖直方向足够长.紧挨着电场的是垂直于纸面向外的两个匀强磁场区域,其磁感应强度分别为B和2B.一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子,其重力不计,从电场的边界MN上的a点由静止释放,经电场加速
15、后进入磁场,经过时间tB= 穿过中间磁场,进入右边磁场后能按某一路径再返回到电场的边界MN上的某一点b,图中虚线为场区的分界面.求:,图11(1)中间场区的宽度d.(2)粒子从a点到b点所经历的时间tab.(3)粒子第n次返回电场的MN边界时与出发点a之间的距离xn.,解析 (1)如图在电场中有qEL= mv2,即v= ,又L= atE2,则tE= ,进入中间磁场,有qvB= ,v大小不变,r= ,进入右边磁场,v大小不变,r= ,即粒子在磁场B中做匀速圆周运动的周期为T= ,又tB= ,则=30.根据几何知识,有d=,(2)进入右边磁场所用时间为t2B=根据对称性,有tab=(3)根据几何知
16、识,有x=r - = r由图可知,有xab=rcos 30+2x=(2- )r根据周期性,有xn=nxab=(2- ) 答案 (1) (2) (3),阅卷现场,阅卷手记,本单元知识考查点主要有磁感应强度、磁感线、磁通量、电流的磁场、安培力、洛伦兹力等基本概念,以及磁现象的电本质、安培定则、左手定则等规律.涉及到的基本方法有,运用空间想象力和磁感线将磁场的空间分布形象化是解决磁场问题的关键.运用安培定则、左手定则判断磁场方向和载流导线、运动的带电粒子受力情况是将力学知识与磁场问题相结合的切入点.本章的能力要求很高,对学生的空间想象能力、逻辑推理能力、力电综合能力考查频繁,是得分或失分的要点之一.
17、,考生在本单元知识应用的过程中常犯的错误主要表现在：不能准确地再现题目中所叙述的磁场的空间分布和带电粒子的运动轨迹：运用安培定则、左手定则判断磁场方向和载流导线、运动的带电粒子受力情况时出错；运用几何知识时出现错误；不善于分析多过程的物理问题等.,27.忽略洛伦兹力造成的错误试题回放一个负离子的质量为m,电量大小为q,以速度v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中,如图1所示.磁感应强度B方向与离子的初速度方向垂直,并垂直于纸面向里.如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明：直线OP与离子入射方向之间的夹角跟t的关系是= .,易错点实例分析,图1,错解分析 根据牛顿第二定律和向心
18、加速度公式F洛=F向 Bqv=ma向=m =(m2vsin)/t sin= 当不大时,sin= ,得证. 高中阶段,我们在应用牛顿第二定律解题时,F应为恒力或 平均力,本题中洛伦兹力是方向不断变化的力.不能直接代 入公式求解.,正确答案 F洛=F向 Bqv=ma向=m r= 如图所示,当离子到达位置P时圆心角为 = 而=2,则= 得证.,28.力电综合中审题不仔细造成的错误 试题回放摆长为L的单摆在匀强磁场中摆动,摆动平面与磁场方向垂直,如图2所示摆动中摆线始终绷紧,若摆球带正电,电量为q,质量为m,磁感应强度为B,当球从最高处摆到最低处时,摆线上的拉力FT多大？,图2,错解分析 FT、F洛始
19、终垂直于速度v,根据机械能守恒定律： mgL(1-cos)= mv2,v= . 在C处,F洛竖直向上,根据牛顿第二定律则有 FT+F洛-mg=ma向= FT=m +mg-F洛=2mg(1-cos)+mg-Bqv =3mg-2mgcos-Bq 考虑问题不全面,认为题目中“从最高点到最低处”是指 AC的过程,忽略了球可以从左右两方经过最低点.,正确答案球从左右两方经过最低点,因速度方向不同,引起F洛不同,受力分析如图所示.由于摆动时F洛和FT都不做功,机械能守恒,小球无论向左、向右摆动过C点时的速度大小相同,方向相反.,摆球从最高点到达最低点C的过程满足机械能守恒：mgL(1-cos )= mv2
20、,v=当摆球在C的速度向右,根据左手定则,F洛竖直向上,根据牛顿第二定律则有FT+F洛-mg=ma向=FT=m +mg-F洛=2mg(1-cos )+mg-Bqv=3mg-2mgcos-Bq当摆球在C的速度向左,F洛竖直向下,根据牛顿第二定律则有,FT-F洛-mg=ma向=m FT=m +mg+F洛=2mg(1-cos)+mg+Bqv=3mg-2mgcos+Bq所以摆到最低处时,摆线上的拉力FT=3mg-2mgcosBq,29.推理和计算能力差造成的错误 试题回放如图3所示,ABCD是边长为a的正方形.质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适
21、当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射,都只能从A点射出磁场.不计重力,求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小.(2)此匀强磁场区域的最小面积.,图3,错解分析错解一：分析推理能力差,只能推理出磁场的方向,不能根据磁场仅在正方形内、初速度都垂直于BC、都只能从A点射出磁场三个要求,得出从C点入射的电子应该从C点开始做圆周运动,到达A点时离开磁场,恰做四分之一圆周的圆周运动.从而下面的情况更推理不出.错解二：能分析出第一问,但在第二问中,因对数学能力要求较高.许多学生不能得出完整准确的结论,造成失分. 这是一个对推理能力和运算能力要求很高的题,只有对洛伦兹力作用下电子运动的规律
22、把握准确,有较高的运算与推理能力,才可能把这个题做好.特别是对“从A点射出磁场”这一条件,如果仅理解为从A点离开正方形区域,这个题就很难向下思考了.,正确答案(1)由圆周运动的特点可知,从C点入射的电子,只有立即进入磁场,才能由A点离开磁场.设匀强磁场的磁感应强度的大小为B.令圆弧 是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道.电子所受到的磁场的作用力F洛=ev0B 应指向圆弧的圆心,因而磁场的方向应垂直于纸面向外.圆弧 的圆心在CB边或其延长线上.依题意,圆心在A、C连线的中垂线上,故B点即为圆心,圆半径为a按照牛顿定律有F洛=F向= 联立式得B= ,(2)由(1)中决定的磁感应强度的方向
23、和大小,可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向射出,且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中.因而,圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界.为了决定该磁场区域的另一边界,我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为 (不妨设0 )的情形.该电子的运动轨迹qpA如图所示.,图中,圆 的圆心为O,pq垂直于BC边 ,由式知,圆弧 的半径仍为a,在D为原点、DC为x轴,AD为y轴的坐标系中,P点的坐标(x,y)为x = asin y = -acos 这意味着,在范围0 内,p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周 ,它是电子做直线运动和圆周运动的分界线,构成所求磁场区域的另一边界.,因此,所求的最小匀强磁场区域是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周 和 所围成的,其面积为S= .,举一反三在考场上有限的时间内,很难对这个题进行完整的推理.有时候可以根据题目的情景和需要大胆的去做,不要因理由讲不完整,虽明知该这样做也不愿动笔.考试不是做研究,不一定每一步都把理由说得很清楚.处理这类题,一定要把隐含条件挖掘完整,有时一个条件读不准,就会全盘皆输.比如从A点射出磁场很容易理解成射出正方形区域,因为题目中首先给了个正方形区域,A又是一个顶点.如果因此而认识不到A点也是磁场边界,就找不到问题的切入点了.,返回,
