1、1,4.3 关系的性质,4.3.1关系性质的定义和判别 自反性与反自反性 对称性与反对称性 传递性 4.3.2 关系的闭包 闭包定义 闭包计算Warshall算法,2,自反性与反自反性,定义4.14 设R为A上的关系, (1) 若x(xAR), 则称R在A上是自反的. (2) 若x(xAR), 则称R在A上是反自反的. 自反：A上的全域关系EA, 恒等关系IA, 小于等于关系LA, 整除关系DA 反自反：实数集上的小于关系、幂集上的真包含关系.,R2自反, R3 反自反, R1既不自反也不反自反.,例1 A = a, b, c, R1, R2, R3 是 A上的关系, 其中 R1 = , R2
2、 = , R3 = ,3,对称性与反对称性,例2 设Aa,b,c, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1,， R2, R3,， R4,定义4.15 设R为A上的关系, (1) 若xy(x,yARR), 则称R为A上对称的关系. (2) 若xy(x,yARRx=y), 则称R为A上的反对称关系. 实例 对称：A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系反对称：恒等关系IA，空关系是A上的反对称关系,R1 对称、反对称. R2 对称，不反对称. R3 反对称，不对称. R4 不对称、也不反对称,4,传递性,例3 设Aa, b, c, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1,
3、 R2, R3,定义4.16 设R为A上的关系, 若 xyz(x,y,zARRR), 则称R是A上的传递关系. 实例：A上的全域关系 EA, 恒等关系 IA 和空关系 , 小 于等于关系, 小于关系, 整除关系, 包含关系, 真包含关系,R1 和 R3 是A上的传递关系, R2不是A上的传递关系.,5,关系性质的充要条件,设 R 为 A 上的关系, 则 (1) R 在 A 上自反当且仅当 IA R (2) R 在 A 上反自反当且仅当 RIA= (3) R 在 A 上对称当且仅当 R=R1 (4) R 在 A 上反对称当且仅当 RR1IA (5) R 在 A 上传递当且仅当 RRR,6,自反性
4、证明,证明模式 证明 R 在 A 上自反 任取 x, xA . . R前提 推理过程 结论,例4 证明若 IA R ，则 R 在 A 上自反. 证 任取x, xA IA R 因此 R 在 A 上是自反的.,7,对称性证明,证明模式 证明 R 在 A 上对称 任取 R . . R前提 推理过程 结论,例5 证明若 R=R1 , 则 R 在A上对称. 证 任取 R R 1 R 因此 R 在 A 上是对称的.,8,反对称性证明,证明模式 证明 R 在 A 上反对称 任取 RR . x=y 前提 推理过程 结论,例6 证明若 RR1IA , 则 R 在 A 上反对称. 证 任取 R R R R 1 R
5、R 1 IA x=y 因此 R 在 A 上是反对称的.,9,传递性证明,证明模式 证明 R 在 A上传递 任取， RR . R 前提 推理过程 结论,例7 证明若 RRR , 则 R 在 A 上传递. 证 任取， R R RR R 因此 R 在 A 上是传递的.,10,关系性质判别,11,实例,例8 判断下图中关系的性质, 并说明理由,(3) 自反，不是反自反；反对称，不是对称；不传递.,(1) 不自反也不反自反；对称, 不反对称；不传递.,(2) 反自反, 不是自反；反对称, 不是对称；传递.,12,运算与性质的关系,13,闭包定义,定义4.17 设R是非空集合A上的关系, R 的自反 (对
6、称或传 递) 闭包 是A上的关系R, 使得 R满足以下条件：(1) R是自反的（对称的或传递的）(2) R R(3) 对A上任何包含R 的自反（对称或传递）关系R 有RR. 一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递 闭包记作 t(R).,14,闭包的构造方法,集合表示 定理4.7 设R为A上的关系, 则有 (1) r(R)=RR0 (2) s(R)=RR1 (3) t(R)=RR2R3 说明： 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并最多不超过Rn. 若R 是自反的，则 r(R)=R; 若 R 是对称的，则 s(R)=R;若 R 是传递的，则 t(
7、R)=R.,15,定理4.7的证明,只证 (1) 和 (3) 证 r(R)=RR0 只需证明RR0 满足闭包定义. RR0包含了R 由IARR0可知 RR0 在 A上是自反的. 下面证明RR0是包含R 的最小的自反关系. 假设R是包含R 的自反关系，那么IAR, RR， 因此有 RR0=IAR R,16,任取和RR2R3. RR2R3. RR2R3. 于是，由RR2R3.的传递性得 t(R) RR2R3 对n 进行归纳证明 Rn t(R). n=1时显然为真. 假设n=k时为真，那么对于任意 Rk+1 RkR t (Rk R) t (t(R)t(R) t(R) （t(R)传递） 于是， RR2
8、R3 t(R),定理4.7的证明（续）,17,矩阵表示 设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr, Ms 和 Mt , 则 Mr =M+E Ms =M+M Mt =M+M2+M3+ 其中E 是和 M 同阶的单位矩阵, M是 M 的转置矩阵. 注意：在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加. ,闭包的构造方法（续）,18,图表示 设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, Gr, Gs, Gt , 则Gr, Gs, Gt 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了G 的边以外, 以下述方法添加新的边： 考察G 的每个顶点, 如果没有环就加上一个环. 最终
9、得到的是Gr. 考察G 的每一条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边, ij, 则在G中加一条 xj 到 xi 的反方向边. 最终得到Gs. 考察G 的每个顶点 xi, 找从 xi 出发的每一条路径，如果从 xi 到路径中的任何结点 xj 没有边，就加上这条边. 当检查完所有的顶点后就得到图Gt .,闭包的构造方法（续）,19,实例,例1 设A=a,b,c,d, R=, R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示.,R,r(R),s(R),t(R),20,传递闭包的计算Warshall算法,算法思路： 考虑 n+1个矩阵的序列M0, M1, , Mn, 将矩阵 Mk 的 i
10、 行 j 列的元素记作Mki,j. 对于k=0,1,n, Mki,j=1当且仅当在 R 的关系图中存在一条从 xi 到 xj 的路径，并且这条路径 除端点外中间只经过x1, x2, , xk中的顶点. 不难证明M0 就是R 的关系矩阵，而 Mn 就对应了R 的传递闭包. Warshall算法： 从M0开始，顺序计算 M1, M2, , 直到 Mn 为止.,21,Warshall算法的依据,从 Mk i, j 计算 Mk+1i, j: i, jV. 顶点集 V1=1,2, , k, V2=k+2, , n,V=V1k+1V2， Mk+1i,j=1 存在从i 到 j 中间只经过V1k+1中点的路径这些路径分为两类： 第1类：只经过 V1中点 第2类：经过 k+1点 存在第1类路径：Mki,j=1 存在第2类路径： Mki,k+1=1Mkk+1,j=1,22,Warshall算法及其效率,算法4.1 Warshall算法 输入：M （R 的关系矩阵） 输出：Mt （t(R)的关系矩阵） 1. MtM 2. for k1 to n do 3. for i1 to n do 4. for j1 to n do 5. Mti, j Mti, j + Mti, kMtk, j,时间复杂度 T(n)=O(n3),
