1、第5章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,第三章,2,2019/4/24,定义5.1 设A是复数域C上的n阶矩阵，如果存在数 C和非零n维向量x，使得A x= x 则称为A的特征值，x为A的属 ( 对应)于特征值的特征向量。,5.1.1 特征值和特征向量的基本概念,第三章,3,2019/4/24,应满足| I A |=0 即是多项式 det(I A ) 的零点。,注意: 特征向量 x 是非零向量, 是齐次线性方 程组 ( I A) x=0 的非零 解。,第三章,4,2019/4/24,定义5.1 设n阶矩阵A=(aij),则,称为 A的 特征多项式。( I A) 称为A的 特征矩阵。| I A
2、|=0 称为A的特征方程。,n 阶矩阵A的特征多项式在复数域上的 n 个根都是矩阵A的特征值，其k重根叫做 k 重特征值。,第三章,5,2019/4/24,例 n 阶对角矩阵A ，上(下)三角形矩阵B的特征值都是它们的n个主对角元 a11, a22, ,ann。因为它们的特征多项式为I- A =I- B =( a11)( a22)(ann),第三章,6,2019/4/24,例 求矩阵,的特征值及特征向量。,解：A的特征方程为,A的特征值为: 1=0, 2= 2(二重特征值)。,第三章,7,2019/4/24,对于1=0，求解(0I A)x=0，即,得基础解系： x1=(1, 1, 1)T。,k
3、 x1(k0为任意常数)是A的属于1的全部特征向量。,第三章,8,2019/4/24,得基础解系： x2=(1,1,0)T, x3=(1,0,1)T。k2x2+ k3x3（k2, k3是不全为零的任意常数） 是A关于2的全部的特征向量。,对于2= 2，求解(-2I A) x =0, 即,第三章,9,2019/4/24,5.1.2 特征值和特征向量的性质,第三章,10,2019/4/24,定理5.1 若x1, x2 是A属于0的两个的特征向量，则 k1x1+ k2x2也是A属于0的特征向量(其中 k1, k2是任意常数， 但 k1x1+ k2x2 0 )。,证： x1，x2 是齐次线性方程组(I
4、 A) x=0的解，所以，k1x1+ k2x2 也是(I A) x=0 的解，故当 k1x1+ k2x2 0 时，也是A的属于0的特征向量。,第三章,11,2019/4/24,定理5.2 若n 阶矩阵A=(aij) 的n个特征值为1,2,n，则,称A的主对角元的和,为A的迹，记作 tr(A)。,第三章,12,2019/4/24,第三章,13,2019/4/24,证：设,(*),=n+c1n1+cknk+cn-1+cn,(*)式可表示为 2n 个行列式之和, 其中展开后含n1项的行列式有下面n个：,第三章,14,2019/4/24,它们的和等于(a11+ a22+ ann) n1=,(*)式中不
5、含的常数项为,所以，,由根与系数的关系及常数项相等，得,第三章,15,2019/4/24,由定理5.2 得：矩阵A可逆的充要条件是 A的任意一个特征值不等于零；或 A为奇异阵的充要条件是A至少有一个特征值等于零。A的一个特征值可对应很多特征向量；但 A的一个特征向量不能属于不同的特征值。,第三章,16,2019/4/24,性质1 若是A的特征值, x 是A的属于 的特征向量。则 (1) k 是kA的特征值（k为任意常数）；(2) m是Am的特征值;(3)若A可逆，则1为A1的一个特征值，而且x 仍然是矩阵kA, Am和A1的分别对应于特征值 k, m 和 1的特征向量。,证 (2)(3) 由A
6、 x= x 得,A2 x= A( x)= (A x)= ( x)= 2 x，继续得Am x= m x。,A1(A x)= A1( x)= (A1 x), 所以， (A1 x)= 1 x。,第三章,17,2019/4/24,例 设 是方阵 A 的特征值.设 = a0 + a1 + + amm ,A = a0E+ a1A + + amAm , 证明 : 是 A 的特征值.,第三章,18,2019/4/24,Ax = (a0I+ a1A + + amAm )x= a0Ix+ a1Ax + + amAmx= a0x+ a1x + + ammx= (a0 + a1 + + amm )x= x , 所以
7、是 A 的特征值.,证明,因 是 A 的特征值, 故有 x 0 使Ax = x.,第三章,19,2019/4/24,性质2 矩阵A和AT的特征值相同。,证： det(I A) =det ( I A)T,= det ( I)TAT) = det ( I A T),第三章,20,2019/4/24,例 设三阶矩阵 A 的特征值为 1,-1,2,设矩阵B=A3-5A2.,试求: (1) B 的特征值; (2) | B |.,令,则 B 的特征值分别为:,解,第三章,22,2019/4/24,例3 设,求A的特征值和特征向量；求可逆矩阵P,使P1AP为对角阵。,第三章,23,2019/4/24,解 (
8、1),A的特征值为: 1=0 (二重特征值), 2= 2。,第三章,24,2019/4/24,对于1=0，求解(1I A)x=0，即,得基础解系：x1=(1,1,0)T, x2=( 1,0,1)T,则k1x1+ k2x2(k1, k2不全为0)是A的属于1的全部特征向量。,第三章,25,2019/4/24,A的属于2的全部特征向量为 k3 x (k30为任意常数)。,对于2= 2，求解(2IA) x =0, 即,得基础解系： x3=(1, 2, 1)T,第三章,26,2019/4/24,则 AP=P, 且 |P|0, 所以，P1AP= 为对角矩阵。,解 ：(2) 将 A xi = i xi (
9、i=1, 2, 3) 排成矩阵,第三章,27,2019/4/24,5.1.3 相似矩阵及其性质,定义5.3 对于矩阵A, B，若存在可逆矩阵P，使 P1AP=B, 则称A相似于B，记作AB 。矩阵的相似关系是一种等价关系，具有以下性质：(1) 自反性 AA；(2) 对称性 若AB，则BA；(3) 传递性 若A1A2, A2A3，则A1A3。,第三章,28,2019/4/24,相似矩阵还有以下性质：(1) 若AB，则AmBm（m为正整数）；(2) 若AB，则f(A)f(B)，其中 f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0是个多项式，f(A)=amAm+am-1Am-1+a1A+a0I
10、(aiF, i=0,1,m)， f(B)=amBm+am-1Bm-1+a1B+a0I。,第三章,29,2019/4/24,定理5.4 若矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相等，即 I A= I B ,注意：此定理的逆命题不成立。例如：, I A= I B=( 2)2, 但 A 与 B 不相似，因为对任何可逆矩阵P ， P 1A P = P 1(2I) P =2I=AB 。,第三章,30,2019/4/24,证明 ： AB，即存在可逆矩阵P，使得P1AP=B 即 I B= I P 1AP=P1( I A)P =P1 I AP= I A,第三章,31,2019/4/24,5.2 矩阵可对角化的条件
11、,第三章,32,2019/4/24,定理5.5 n 阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。,证明： 必要性 设P1AP= diag(1, 2, n) =, 即 AP=P (1) 将矩阵P 按列分块为 P =(x1, x2, xn), (1)式即为,即x1, x2, xn是A的n个线性无关的特征向量(因为P可逆，所以 x1, x2, xn线性无关)。必要性得证。,(2),得 A xj = j x j ( xj0, j=1,2,n) (3),第三章,33,2019/4/24,充分性 若A有n个线性无关的特征向量x1, x2, xn, 即(3)式成立，由(3)式可得(2)式，从
12、而(1)式成立。充分性得证。,A与对角阵相似， 的主对角元是A的特征值，若不计其排列顺序，则 唯一，称为A的相似标准形。,与对角阵相似的矩阵, 称为可对角化矩阵。,定理5.6 矩阵A属于不同特征值的特征向量是线性无关的。,推论：n阶矩阵A有n个不同的特征值，则 A与对角阵相似。注意：这里的条件是充分的，但不是必要的。,第三章,35,2019/4/24,证明： 设A的m个互不相同的特征值为1, 2, m， 其对应的特征向量分别为 x1, x2, xm。对m作归纳法。,当m=1时， x1 0，线性无关；假设m=k时， 命题成立；对m=k+1，设,a1x1+ a2x2+ akxk+ ak+1xk+1
13、=0 (1),则 A(a1x1+ a2x2+ akxk+ ak+1xk+1)=0,即 a1 1x1+ a2 2x2+ ak kxk+ ak+1 k+1xk+1=0 (2),第三章,36,2019/4/24,由 ( 1) (2) 得 a1(k+1 1) x1+ a2 (k+1 2)x2+ ak (k+1 k)xk=0,由于x1, x2, xk 线性无关，ai ( k+1 i)=0, i=1,2, ,k，又因为 k+1 i, 所以，ai =0, i=1,2, ,k。代入(1)，得ak+1=0。所以，x1, x2, xk+1线性无关。由归纳法得证。,第三章,37,2019/4/24,则由r1+ r2
14、+ + rm个向量组成的向量组,定理5.7 设1, 2, m是n阶矩阵A的m个互不相同的特征值，属于i 的线性无关的特征向量为,是线性无关的。,(1),(i=1.2,m),第三章,38,2019/4/24,证：设,(1)式化为 y1+ y2+ + ym=0 (3),其中 yi 是 A 属于 i 的特征向量或为零向量。但 yi 不能是A属于i 的特征向量。,(2),第三章,39,2019/4/24,y1= =ym =0 (4),线性无关, 和(4), (2) 得,再由,即,是线性无关的。,否则，由于不同特征值对应的的特征向量是线性无关的， 即有 y1+ + yi 0 (i=1, ,m)，（3）式
15、不能成立。所以，,第三章,40,2019/4/24,定理5. 8 设0是n阶矩阵A的 k 重特征值，属于0 的线性 无关的特征向量的最大个数为 l, 则 k l。,将x1, x 2, xl扩充为Cn的基x1, xl, xl+1, xn，xl+1,xn一般不是特征向量，但AxjCn，可用Cn的基表示:Axj= b1jx1+bl jxl +bl +1,jxl +1+bnjxn , (2) j= l+1,n将(1)、 (2)式中的n个等式写成一个矩阵等式：,证：由 Axi=0xi，xi 0, i=1,l (1),第三章,41,2019/4/24,记 P=x1, xl, xl+1, xn, (3)式为
16、：,(3),第三章,42,2019/4/24,因为相似矩阵的特征多项式相同,是的 n l 次多项式,所以 , 0 是A的大于或等于l 重的特征值，即 k l 。,由于,及,第三章,43,2019/4/24,定理5.9 n 阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是: A的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数。,例1 设,问A是否与对角阵相似？若与对角阵相似，求对角矩阵及可逆矩阵P，使得 P 1 A P = ，再求Ak (k为正整数)。,第三章,44,2019/4/24,A的特征值为 1= 2 (单重根), 2=2 (三重根),第三章,45,2019/4/24,对于1= 2 ，求解
17、(1I A)x=0。,属于1的特征向量为 kx1 | x1=(1,1,1,1)T, k 0。,第三章,46,2019/4/24,对于2= 2，求解(2I A) x =0, 即 x1+x2+ x3+ x4=0，,得基础解系 x21=(1, 1, 0, 0)Tx22=(1, 0, 1, 0)T x23=(1, 0, 0, 1)T,A有4个线性无关的特征向量，所以， A与对角阵相似。,第三章,47,2019/4/24,由P1AP= ，得 A=PP1，Ak= PP 1 PP 1 PP1 = Pk P 1,则 P1AP= ,第三章,48,2019/4/24,Ak= PP 1 PP 1 PP1 = Pk
18、P 1 所以,第三章,49,2019/4/24,n1 + n2 + + ns = n.,矩阵对角化的步骤,设 n 阶矩阵 A 可对角化，则把 A对角化的,步骤如下：,Step1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A,有 s 个不同的特征值 1，2， ， s ，它们,的重数分别为 n1，n2，ns ,第三章,50,2019/4/24,Step2 : 对 A 的每个特征值 i , 求 (i I - A )X = 0,的基础解系, 设为,i = 1, 2, , s.,上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系.,则 P-1AP = .,要注意矩阵 P 的列与对角矩 阵 主对角线,以这些向量为列构造
19、矩阵,第三章,51,2019/4/24,例 设有矩阵,(1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆 矩阵 P 和对角矩阵 , 使 P-1AP = . (2) 使 P-1AP = 成立的 P 、 是否唯一， 举例说明.,解,（1） 矩阵 A 的特征多项式为,所以 A 的三个特征值分别为:,第三章,53,2019/4/24,当,时, 解方程组,即,解之得基础解系为,所以,是对应于,的特征向量.,第三章,54,2019/4/24,当,时, 解方程组,即,解之得基础解系为,所以,是对应于,的特征向量.,第三章,55,2019/4/24,当,时, 解方程组,即,所以,是对应于,的特征向量.,解之
20、得基础解系为,第三章,56,2019/4/24,因为,线性无关,即三阶矩阵 A 有三个线性无关的特征向量, 所以,令,则,矩阵 A 可对角化.,第三章,57,2019/4/24,此时,且有 P-1AP = .,第三章,58,2019/4/24,（2） 使 P-1AP = 成立的 P、 不唯一. 如,若取,则,此时,亦有 P-1AP = .,第三章,59,2019/4/24,f(x )= x3 2 x+5, 求可逆阵P和对角阵，使得 P 1f(A) P = , 其中 f (A) = A3 2 A +5I。,例3 设,第三章,60,2019/4/24,解： 由 P 1 A P = =diag( 2
21、, 2, 2, 2), 得,A = P P 1,f(A) = A 3 2 A +5I = （ P P 1)3 2 (P P 1 )+5I = P ( 3 2 +5I ) P 1,于是,第三章,61,2019/4/24,例 设 3 阶矩阵 A 的特征值为,对应的特征向量依次为,求 A 和 A100 .,因 3 阶方阵 A 的三个特征值互不相,则 A = PP-1.,等, 所以 A 可对角化, 即存在可逆方阵 P , 使,解,第三章,63,2019/4/24,令,则,且 P-1AP = ,第三章,64,2019/4/24,所以,第三章,65,2019/4/24,因为 A = PP-1 ， 所以 A
22、100 = P100P-1,第三章,66,2019/4/24,5.3.1 实对称矩阵的特征值 和特征向量,定义5.4 元素为复数的矩阵和向量称为复矩阵和复向量。,定义5.5 设,为复矩阵,A叫做A 的共轭矩阵,其中,的共轭复数。,显然,当 A为实对称矩阵时,共轭矩阵有以下性质：,(5) 若A可逆，则,第三章,69,2019/4/24,当且仅当 x=O时等号成立。,(6) 若A为方阵，则,(7) 若 x 为 n 维复向量，,则,第三章,70,2019/4/24,定理5.10 实对称矩阵A的特征值都是实数。,故得 = ， 即都是实数。,证 设 是A的任一个特征值， (A)T= A， A x = x
23、 ( x 0),只需证 = 。,第三章,71,2019/4/24,证明： 设 A xi= ixi, xi 0 (i=1, 2), 1 2（实数），则1x2T x1=x2T A x1= x2T A Tx1=(A x2)T x1= (2x2)T x1 = 2 x2T x1 而1 2，所以 x2T x1=(x1, x2)=0，即x1与x2是正交的。,定理5.11 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的。,第三章,72,2019/4/24,例 设有实对称矩阵,验证 A 的属于不同特征值的特征向量相互正交.,解,可求得 A 的特征值为,1 = 2 = -1 , 3 = 8 .,A 的属于特征值
24、1 的全部特征向量为,(c1 , c2 是不全为零的任意 常数),A 的属于特征值 8 的全部特征向量为,(c3 0 为任意常数),第三章,74,2019/4/24,不难验证向量,与,正交；,与,正交.,即，对应于特征值 1 的任一特征向量都与对应于特,征值 8 的任一特征向量正交.,第三章,75,2019/4/24,5.3.2 实对称矩阵的对角化,第三章,76,2019/4/24,定理5.12 对于n阶实对称矩阵A ，存在n阶正交矩阵T，使得T 1 A T =diag(1,2,n),第三章,77,2019/4/24,证明： 用数学归纳法。 n =1，结论显然成立；假设对n 1阶实对称矩阵B,
25、 存在n 1阶正交矩阵Q ，使得Q1 B Q =1。对n阶矩阵A，设A x1=1x1, 其中x1 是长度为的特征向量。现将x1扩充为Rn的一组标准正交基x1, x2, , xn, A xj (Rn) 可由这组基线性表示：,第三章,78,2019/4/24,记P=x1, x2, xn(P为正交矩阵)，上式用分块矩阵表示为,由于P1= PT , (P 1A P)T= PTAT(P1)T= P1AP,所以它是实对称矩阵。,第三章,79,2019/4/24,令T=PS（两个正交矩阵之积也是正交矩阵）， T1=TT， 即得T 1A T =diag(1,2,n), 其中1,2,n 是A的n个特征值。,因此
26、, b=0，B= B T为n 1阶实对称矩阵。由归纳假设，可知存在n 1阶正交矩阵Q，使得Q1 B Q =1。令,=diag(1,2,n),第三章,80,2019/4/24,例 设,求正交矩阵T，使T1AT为对角矩阵。,第三章,81,2019/4/24,得基础解系: x1 =(2, 1, 0)Tx2 =(2, 0, 1)T,解,对于特征值1=1，由(1I A) x=0，即,第三章,82,2019/4/24,将1, 2 单位化:,用Schmidt正交化方法，先正交化，取1 = x1 =(2, 1,0 )T,可取2 = (2, 4, 5)T，,第三章,83,2019/4/24,则有 T1 A T
27、= diag(1, 2, 3) = diag(1, 1, 10),解得 x3 =(1, 2, 2)T，将其单位化得,对于特征值2=10，由(2I A) x=0，即,取正交矩阵,第三章,84,2019/4/24,Step1 求出特征方程 det( E A ) = 0 的所有不,同的根 1 , 2 , , m , 其中 i 为 A 的 ni 重特征值,( i = 1, 2, , m ) .,Step2 对每一特征值 i ，解齐次线性方程组,( i E A )X = 0，求得它的一个基础解系,实对称矩阵对角化方法具体步骤如下:,第三章,85,2019/4/24,再将所得正交向量组单位化，得到正交向量
28、组,Step3 利用施密特正交化方法，把向量组,正交化，得到正交向量组,第三章,86,2019/4/24,的排列顺序相对应.,Step4 令矩阵,则 Q 为正交矩阵，且,其中，矩阵 的主对角线元素 i 的重数为 ni ( i = 1,2, , m )，并且排列顺序与 Q 中正交单位向量组,第三章,87,2019/4/24,例 设,求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.,A 的特征多项式为,解,A 的特征值为,第三章,89,2019/4/24,当,时, 解方程组,即,得 A 的对应于,的特征向量,第三章,90,2019/4/24,当,时, 解方程组,即,得 A 的对应于,的特征向量为,第三章,91,2019/4/24,可以验证, p1 , p2 , p3 是正交向量组, 现将它们,单位化, 得,第三章,92,2019/4/24,于是, e1 , e2 , e3 是正交向量组,令,则 P 为正交矩阵,且,
