1、,第二章 内容回顾,分布函数的性质,F ( x ) 单调不减，即,且,F ( x ) 右连续，即,用分布函数表示概率,a,b,p.d.f. 连续随机变量密度函数f ( x )的性质,1,2,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 d.f.,3,在 f ( x ) 的连续点处，,f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率,数学期望的性质,(1) E(c) = c,(2) E(aX) = aE(X),(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X),2.3.2 方差的性质,(1) Var(c)=0. 性质 2.3.2,(2) Var(a
2、X+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3,(3) Var(X)=E(X2)E(X)2. 性质 2.3.1,2.3.3 切比雪夫不等式,切比雪夫不等式,易知 越大的取值越分散,切比雪夫,定理(泊松定理) 在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验次数n有关), 如果n时, npn(0为常数). 则对于任意给定的k, 有,超几何、二项、泊松分布之间的近似关系,定理 超几何分布的极限分布是二项分布,即，在超几何分布中对于固定的 n，k ，如果lim N+ = p 则有极限关系：lim N+ = Cnk pk (1 p )n k 对所有的 0 k n 都成立。,
3、一般当 n 0.1 N 时可以用这个近似的计算公式,M N,CMk CN M n kCNn,常用离散分布的数学期望,几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p,0-1 分布的数学期望 = p,二项分布 b(n, p)的数学期望 = np,泊松分布 P() 的数学期望 = ,常用离散分布的方差,0-1 分布的方差 = p(1p),二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p),泊松分布 P() 的方差= ,几何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2,P( X m+n | X m ) = P( X n ),几何分布的无记忆性,指数分布的无记忆性,常用连续分布的数学期望,均匀分布 U(a, b
4、) : E(X) = (a+b)/2,指数分布 Exp() : E(X) = 1/,正态分布 N(, 2) : E(X) = ,伽玛分布 Ga(, ) : E(X) = /,贝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b),常用连续分布的方差,均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12,指数分布 Exp() 的方差= 1/2,正态分布 N(, 2) 的方差= 2,伽玛分布 Ga(, ) : Var(X) = /2,贝塔分布 Be(a, b) : Var(X) = ab/(a+b)2(a+b+1),(x) 的计算,(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表.,(2) x
5、 0时, 用,若 X N(0, 1), 则 (1) P(X a) = (a);(2) P(Xa) =1(a);(3) P(aXb) = (b)(a);(4) 若a 0, 则P(|X|a) = P(aXa) = (a)(a)= (a) 1 (a) = 2(a)1,一般正态分布的标准化,定理2.5.1 设 X N(, 2),则 Y N(0, 1).,推论:,若 X N(, 2), 则,正态变量的线性不变性,定理2.6.2 设 X N (, 2)，则当a 0 时，Y = aX+b N (a +b, a22).,由此得： 若 X N (, 2)，则 Y = (X )/ N(0, 1).,正态分布的 3
6、 原则,设 X N(, 2), 则,P( | X | ) = 0.6828.,P( | X | 2 ) = 0.9545.,P( | X | 3 ) = 0.9973.,2.6.2 连续随机变量函数的分布,定理2.6.1 设 X pX(x)，y = g(x) 是 x 的严格 单调函数，记 x = h(y) 为 y = g(x) 的反函数, 且h(y)连续可导，则Y = g(X)的密度函数为:,伽玛分布的有用结论,定理2.6.4 设 X Ga (, )，则当k 0 时， Y = kX Ga (, /k).,定理2.6.5 设 X FX (x)，若FX (x)为严格单调增的连 续函数，则Y = F
7、X (X) U(0, 1).,均匀分布的有用结论,分布从哪里来？,为什么事件发生的次数常使用泊松分布？伽马、贝塔、威布尔分布看起来冗长难懂，又会有什么作用？ 分布来源于问题的提出。 心理学家认为: 一个正常人, 在整个睡眠时间中, 异相睡眠所占的比例服从B( 12, 48) 非寿险精算：常用的损失分布为对数正态、伽马分布、贝塔分布、帕累托分布 索赔次数分布：泊松分布、二项分布、负二项分布,可靠性问题,可靠度：测量仪器在规定的条件下，在规定的时间内完成规定功能的概率。它是时间的函数，记作R(t)。 R(t) = p(T t) 式中：T 为测量仪器寿命，t为规定时间，当t = 0 时，R(0) =
8、 1；当t = 时，R()=0,0,t,N,n(t),失效分布函数,0,t,N,n(t),t+ t, n(t),产品工作到时间t时刻后，每单位时间内发生失效的频率为：,威布尔分布,环断裂概率,n,t,t,收益问题,统计数据表明，一位40岁的健康者在5年内仍然活着或自杀的概率为p，在五年内死亡(非自杀)的概率为1-p，保险公司开办5年人寿保险，条件为参保者缴纳保费a元，若5年内死亡，公司赔偿b元，问b的取值应为多少保险公司才能获益？,虫卵发育问题,设一只昆虫所生的虫卵数为X，服从参数为的泊松分布，每个虫卵发育为幼虫的概率为p，各虫卵是否发育为幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数Y的数学期望与方差。
9、,数学期望问题1,设随机变量X的概率密度为：求E(min|X|,1),数学期望问题2,对圆的直径进行测量，其值X均匀的分布在区间(a,b)内，求圆面积的数学期望。,银行等待问题,设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分布，其密度函数为：某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，就离开。该顾客一个月到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。请写出Y的分布。,离散随机变量与连续随机变量,设F(x)与G(x)都是分布函数，且a0,b0，为常数，且有a+b=1。证明H(x)=a F(x)+b G(x)为分布函数，并对H(x)的离散与连续性展开讨论,奇异型随机变量,F(X),0,0.5
10、,问题1,解：记 B = “至少出现一次双6点”，,则所求概率为,两颗骰子掷 24 次，求至少出现一次 双6点 的概率.,问题2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任 意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验 发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.,例2,令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.,B表示“2 张中至少有1张假钞”,则所求概率是 （而不是 ！）.,所以,15,5,1,15,1,5,1,2,5,1,15,2,1,5,1,15,问题3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （3）取三次，第三次才取得一等品的概率;,例3,问题4,某人有2盒火柴，吸烟时从任意盒中取1根，经过若干时间，发现一盒火柴已用完，假设每盒火柴在未启用时各有n根，求另外一盒剩余r根的概率。,摸球问题,物品放入盒子问题,
