1、第四章 调和方程,1 方程的建立和定解条件, 2 格林公式、调和函数及其基本性质, 3 格林函数, 4 用电象法求解特殊区域的狄氏问题,二、 拉普拉斯方程边值问题的提法,1 第一边值问题（狄氏问题）,2 第二边值问题（牛曼问题）,3、狄氏外问题,4、牛曼外问题,1 方程的建立和定解条件,调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。,一、方程的建立,三、泊松方程边值问题,泊松方程,边界条件,定义在,泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题),泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题),泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题,1奥高公式设 及 和 是在
2、 上连续，在 内有连续偏导数的任意函数, 则有如下的奥-高公式,其中 是 在 点 处的外法向量, 2 格林公式、调和函数及其基本性质,一、格林公式,2格林第一公式在上述的奥-高公式中令 ， ，注意到显然的恒等式：,我们就有如下的格林第一公式,或,3格林第二公式在上述格林第一公式中，交换 的位置，得,格林公式通常指格林第二公式，在格林函数法求解定解问题时常要用到。,然后两式消减，我们就得到格林第二公式：,原有,由物理学家狄拉克首先引进,用以讨论物理学中的一切点量,质点 点电荷 瞬时力 脉冲等,定义,d 函数是指具有以下性质的函数：,4、d 函数,如对一维问题:设在无穷直线上 区间内有均匀的电荷分
3、布，总电量为一个单位，在区间外无电荷如图，则电荷密度函数为,物理意义：集中的量的密度函数,若 f(x) 在 内连续，由中值定理有,对于 有,对于 在 连续，有,或者,表示的是任意阶可微函数的极限，通常意义下没有意义，只在积分运算中才有意义。,当 时，得到点电荷的密度函数,此积分应理解为,有关d 函数的等式应该在积分意义下理解。,令,两边微商，得,因为,由傅里叶逆变换，得,拉普拉斯变换,对二、三维同样有 函数,二维： 处有一个单位点电荷，密度分布函数为三维： 处有一个单位点电荷，密度分布函数为,求证： ，其中,证明:,要证明 ，就是要证明积分意义下,例, 当 时，有,三式相加，可得, 当 时，
4、不可导，将 V 取为整个三维空间,令 ，上式积分与 a 无关,从而有,二、 泊松方程的基本积分公式,建立点源泊松方程,在 ， 。,和,连续。,这样，边界条件得以进入积分之中！上式为泊松方程的基本积分公式。,令f=0,即得调和方程的基本积分公式：,调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。,1、调和方程的基本解,三、调和函数的基本性质,2、调和方程的基本积分表达式,3、 牛曼内问题有解的必要条件,4、 平均值公式（定理）,5、 极值原理,取,狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的。,6、 拉普拉斯方程解的唯一性问题,
5、调和函数的最大、最小值只能在边界上达到, 3 格林函数,若u，v均为调和函数,若v不仅为调和函数，且满足,由格林公式,两式相加,令,则,对泊松问题,对拉普拉斯问题,因此求解狄氏问题就转化为求此区域的格林函数，即,4 用电像法确定格林函数,用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身,一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数，对一些具体问题可以给出构建格林函数的方法,这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）,在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形
6、成的电位就是所要求的格林函数。,电象法求格林函数,物理模型：若在,处放置一正单位点电荷,则虚设的负单位点电荷应该在,于是得到这两点电荷在 xoy 的上半平面的电位分布也就是本问题的格林函数，即为,1、 上半平面区域拉普拉斯方程的第一边值问题求解,据此可求解上半平面区域的定解问题 例1 定解问题：,【解】 根据第一边值问题，构建的格林函数满足,处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）,构建格林函数为,边界外法线方向为负,轴，故有,代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，,则由,得,或由互易性得到,上式称为上半平面的拉普拉斯积分公式,例2 在上半空间,内求解拉普拉斯方程的第一边值问题,【解】构建格林函数,满足,2 、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题,根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为,为了把,代入拉普拉斯第一边值问题的解的公式,即有,代入 即得到,这公式叫作半空间的拉普拉斯积分,例3 求解下列定解问题,解：,3、球内的格林函数,M0点处点电荷电量 ，,M1点处点电荷电量,例4,球内第一边值问题,在球面上,
