1、第三章 幂级数展开,1、泰勒级数展开2、零点 3、解析延拓,第三章 幂级数展开,$3.5 洛朗级数展开泰勒级数展开：f(z)在以z0点为圆心的圆CR内解析1、z0点解析 2、展开区域单连通Eg：,第三章 幂级数展开,当z0点不解析（奇点）时，怎么把解析函数展开为幂级数？ （复连通区域）Eg：,第三章 幂级数展开,的收敛性质？令 ，可以将f(z)拆为两个正项幂级数：,第三章 幂级数展开,其收敛半径分别为 和 ，则：1、R1R2，处处发散； 3、R1=R2，具体分析。,第三章 幂级数展开,洛朗展开：设f(z)在环形区域 内部单值解 析，则对于环内任意一点z，f(z)可以展开为幂级数其中C是环域内绕
2、内圆一周的闭合曲线。,第三章 幂级数展开,证：对于复连通区域使用Cauchy公式：对于第一部分，将 展开为CR1内收敛的级数：有,第三章 幂级数展开,对于第二项，需要将 展开为CR2外收敛的幂级数：有,第三章 幂级数展开,由于被积函数在环域内解析，积分回路可以随意变形。 两项相加，即有：,第三章 幂级数展开,洛朗级数展开系数不再等于导数：,第三章 幂级数展开,洛朗级数分为正幂项和负幂项：正幂项（解析部分、正则部分）在大圆内绝对收敛； 负幂项（主要部分、无限部分）在小圆外绝对收敛； 洛朗级数在环域内绝对收敛，在环域内的闭区域上一致收敛。负幂项在小圆外绝对收敛，意味着f(z)通常在小圆内有发散 点
3、，而f(z)在z0点未必发散。,第三章 幂级数展开,洛朗级数展开是唯一的。两边同时乘以 ，再做回路积分，即可得出an=bn。,第三章 幂级数展开,例：把 在原点附近做洛朗展开。解：由可得没有负幂项，与泰勒级数相同，说明原点是该函数的可去奇 点。,第三章 幂级数展开,无穷远点邻域的幂级数展开：做变换z=1/t，然后在t的零点做幂级数展开。无穷远点的幂级数展开时： z的正幂项称为主要部分、无限部分； z的负幂项称为解析部分、正则部分；,第三章 幂级数展开,例：在1|z|的环域将 做幂级数展开解：令z=1/t，将f(t)在零点附近展开因此视为洛朗展开：无穷远为一可去奇点；z=0不是f(z)奇点。 视
4、为泰勒展开：无穷远点解析；无穷远的泰勒展开全部为负 幂项。,第三章 幂级数展开,例：在原点附近将 做洛朗展开。解：出现了无穷多个负幂项。,第三章 幂级数展开,例：在z=0的邻域将 展开为幂级数。解：前者在|z|0绝对收敛，因此两级数 在0|z| 可以逐项相乘：,第三章 幂级数展开,其中正幂项zm的系数为负幂项zm的系数为幂级数展开式为,第三章 幂级数展开,多值函数的洛朗展开1、有限阶支点。做变量代换，成为单值函数。例：将 在0|z|1做幂级数展开。解：令 ，则因此,第三章 幂级数展开,2、无限阶支点 因为幂级数为单值函数，因此只能对于其一支单值函数可以 做幂级数展开。例：将 在1|z|2及2|
5、z|内做幂级数展开。解：f(z)有z=1与z=2两个支点，因为1|z|2环域包含了z=1 支点，因此无法做幂级数展开。对于2|z|，对于其中一支可以做幂级数展开。,第三章 幂级数展开,取 支，有,第三章 幂级数展开,$3.6 孤立奇点的分类孤立奇点：除该点外，其邻域内处处可微。,第三章 幂级数展开,就解析函数在孤立奇点邻域洛朗展开的的负幂项可将孤立奇 点划分为三类：1、可去奇点：无负幂项。 2、极点：有限多负幂项。 3、本性奇点：无穷多负幂项。对于多值函数，还有一种奇点：支点。,第三章 幂级数展开,可去奇点：只要令 ，该点即可微。洛朗 级数等同泰勒级数。,第三章 幂级数展开,极点：m阶极点：一阶极点通常称为单极点。解析函数的m阶极点是其倒函数的m阶零点。,第三章 幂级数展开,本性奇点：该点的函数极限与趋近的方式有关。解析函数的本性奇点仍然是其倒函数的本性奇点。,第三章 幂级数展开,Q： 的奇点有哪些？各是什么奇点？习题 1、5、12，p60；1、2、3，p64,
