1、数值分析3,不动点迭代法 不动点迭代的收敛性 迭代序列的收敛速度 收敛加速的方法,构造有效的迭代格式 选取合适的迭代初值 对迭代格式进行收敛性分析,一种圆周率计算方案:,初值: x0=1,2/16,将一个计算过程反复进行称为迭代,迭代法是一类常见常用的计算技术,f(x) = 0,若存在 x*,使得 ,则称x*为不动点,6/16,例 已知方程x2+x-6=0在区间0,3内有一实根，用简单迭代法求一个实根的近似值，精度要求为=10-4,3/16,1. x2+x-6=0 x=6-x2，取初始近似值x0=1代入其迭代格式xn+1=6-xn2中，计算得到的迭代值序列为x0=1;x1=5;x2=-19;x
2、3=-355,2. x2+x-6=0 x =( 6+3x-x2)/4，取初始近似值x0=1代入其迭代格式xn+1=(6+3xn-xn2)中，计算得到的迭代值序列为x0=1;x1=2;x2=2;x3=2,例2.2 方程 x3 + 4x2 10 = 0 在 1, 2 上有一个根, 将方程变换成另一形式,4/16,fi=inline(0.5*sqrt(10-x3); x0=1.5;er=1;k=0; while er0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1; end,fi=inline(sqrt(10/(4+x); x0=1.5;er=1;k=0; while
3、er0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1; end,k=16 x0=1.3652,k=6 x0=1.3652,5/16,证 若 或 ,显然 有不动点,设 , 则有 ,记 则有,所以,存在x*,使得 即 , x*即为不动点. 条件(2)是证明唯一性的条件。,7/16,定理2.4 如果 ,满足条件:; (2),则对任意的 x0 a, b , 迭代格式 产生的序列 xn 收敛到不动点 x*,且有,证,8/16,( 0L1 ),所以, 故迭代格式收敛,9/16,不动点迭代产生序列的收敛速度,数列的 r 阶收敛概念(局部收敛性|xn-x*|),特别: (1) 收
4、敛阶r=1时,称为线性收敛;(2) 收敛阶r1时,称为超收敛;(3) 收敛阶r=2 时,称为平方收敛,序列的收敛阶数r越高,收敛速度越快,10/16,例2.3 方程 x3+10x-20=0,取 x0 = 1.5, 证明迭代法,是线性收敛,证:令 f (x) = x3 + 10x 20, 绘出 y = f(x) 图形可知 方程的根 x*1.5, 令,求导数, 得,11/16,利用Lagrange中值定理, 有,其中, 介于xn和x*之间. 所以,由此可知,这一序列的收敛阶数为1,即迭代法是线性收敛.,显然,在x*附近,12/16,定理2.6 设x*是 的不动点,且,而 则 p阶收敛,由Taylo
5、r公式,其中, 介于xn和x*之间.所以,故迭代法p阶收敛.,13/16,数列收敛加速原理(Aitken),对于线性收敛数列,有,于是,整理化简,得加速收敛序列,15/16,1阶收敛的数列xn的加速收敛算法,s1=1;s2=s1-1/3;s3=s2+1/5; y0=s3; k=3;n=5;f=1;eor=1; while eor0.00005 y=s3-(s2-s3)2/(s3-2*s2+s1);eor=abs(y-y0);y0=y; k=k+1;s1=s2;s2=s3; f=-f;n=n+2;s3=s3+f/n; end s=4*y,例 数列 收敛于 但速度极慢,S=3.14151898559528 k=17,14/16,迭代法 的steffensen加速收敛,校正 再校正改进,取初始值 x0,对n=0,1,2, 计算,16/16,
