常微分方程ppt (19).ppt

1、5.6 二维自治微分方程组的周期解和 极限环,本节讨论二维自治微分方程组的周期解。,5.6.1 周期解与极限环,如果系统,出发的解,从,则称解 (5.6.2) 是系统 (5.6.1) 的周期解，,周期解在相平面的轨线是一条封闭曲线。,线性系统,的轨线当原点,(0,0) 是中心时，是一族包围原点的封闭曲线，,此时方程组得解都是周期解。,非线性系统,有周期解,除过从原点 (0,0)出发的解外,其它解轨线当时间趋,于无穷时都趋于周期解,Maple 程序(中心),with(DEtools); DEplot(diff(x(t),t)=-y(t)-x(t)*(x(t)2+y(t)2-1), diff(y(

2、t),t)=x(t)+y(t)*(x(t)2+y(t)2-1), x(t),y(t),t=-1010, x(0)=0,y(0)=1,x(0)=0,y(0)=2, x(0)=0,y(0)=3,x(0)=0,y(0)=4, x(0)=0,y(0)=5,x(0)=0,y(0)=6, x(0)=0,y(0)=7, x=-88,y=-88, stepsize=0.01, linecolor=blue);,Maple 程序(稳定极限环),with(DEtools): DEplot(diff(x(t),t)=-y(t)-x(t)*(x(t)2+y(t)2-1), diff(y(t),t)=x(t)-y(t)

3、*(x(t)2+y(t)2-1), x(t),y(t),t=-1010, x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=-0.5,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=0.5,x(0)=0,y(0)=-0.5, x(0)=0,y(0)=1,x(0)=4,y(0)=0, x(0)=-4,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-4, x(0)=0,y(0)=4,x(0)=4,y(0)=4, x(0)=-4,y(0)=-4,x(0)=-4,y(0)=4, x(0)=4,y(0)=-4, x=-44,y=-44, stepsize=0.01, linecolor=blue);,Maple 程序(不稳定极

4、限环),with(DEtools): DEplot(diff(x(t),t)=-y(t)+x(t)*(x(t)2+y(t)2-1), diff(y(t),t)=x(t)+y(t)*(x(t)2+y(t)2-1), x(t),y(t),t=-1010, x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=-0.5,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=0.5,x(0)=0,y(0)=-0.5, x(0)=0,y(0)=1,x(0)=4,y(0)=0, x(0)=-4,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-4, x(0)=0,y(0)=4,x(0)=4,y(0)=4, x(0)=-4,y(0)=-4,x

5、(0)=-4,y(0)=4, x(0)=4,y(0)=-4, x=-44,y=-44, stepsize=0.01, linecolor=blue);,Maple 程序(半稳定极限环),with(DEtools): DEplot(diff(x(t),t)=-y(t)-x(t)*(x(t)2+y(t)2-1)2, diff(y(t),t)=x(t)-y(t)*(x(t)2+y(t)2-1)2, x(t),y(t),t=-1010, x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=-0.5,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=0.5,x(0)=0,y(0)=-0.5, x(0)=0,y(0)=1,x

6、(0)=2,y(0)=0, x(0)=-2,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-2, x(0)=0,y(0)=2,x(0)=2,y(0)=2, x(0)=-2,y(0)=-2,x(0)=-2,y(0)=2, x(0)=2,y(0)=-2, x=-22,y=-22, stepsize=0.01, linecolor=blue);,由此可见(5.6.1)中，当,时，情况是比较复杂的。,例 5.6.1 讨论非线性方程组,(5.6.4),在相平面上的轨线分布情况。,是非线性函数,解 引入极坐标,系统 (5.6.4),化为等价系统,系统 (5.6.5) 有三个特解,解 (5.6.6) 即为原点，是一

7、个奇点，解 (5.6.7) 和,(5.6.8) 在相平面上分别是以 (0,0) 为心，半径为,1 和 2 的圆，它们都是系统 (5.6.4) 的周期解。除,过这三个特解外其余轨线的形态又如何呢？,在相平面上作一个以(0,0)为心、半径为,的圆，考察过圆,上任一点的轨线的走向。,当,时，由式 (5.6.5) 知,即轨线按顺时针方向从圆,上进入圆内。,当,时，同样由式 (5.6.5) 知,即轨线按顺时针方向从圆,上跑出圆外。,当,时，可得出,即轨线按顺时针方向从圆,上走入圆内。这表,明其余解均正向或负向趋于上述三个周期解，,而本身均不是周期解，用 Maple所画出的 (5.6.4),的轨线及向量场

8、见图5.24.,例 5.5.1 中的周期解,解（奇点）.,是非常周期解，但是,定存在着一个小的邻域，其内既无奇点,也无其他闭轨线。也就是说，它本身是一条,孤立的闭轨线。相平面上这种孤立的闭轨线，,称之为极限环。,对应的是常数,这种周期解不同于中心的情况，它的周围一,Maple 程序(两个极限环 图5.24 ),with(DEtools): DEplot(diff(x(t),t)=y(t)-0.05*x(t)*(x(t)2+y(t)2-1)*(x(t)2+y(t)2-4), diff(y(t),t)=-x(t)-0.05*y(t)*(x(t)2+y(t)2-1)*(x(t)2+y(t)2-4),

9、 x(t),y(t),t=-1010, x(0)=0.5,y(0)=0, x(0)=-1.5,y(0)=0, x(0)=1.5,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=1, x(0)=4,y(0)=0, x(0)=-4,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=-4, x(0)=0,y(0)=4, x(0)=4,y(0)=4, x(0)=-4,y(0)=-4, x(0)=-4,y(0)=4, x(0)=4,y(0)=-4, x=-44,y=-44, stepsize=0.01, linecolor=blue);,极限环在许多物理现象中扮演着重要的角色，,由于线性系统不存在极限环，所以它只出现在复

10、,杂的非线性问题中，是非线性项导致了极限环,相平面上的极限环对应的是解空间的一条,周期解。而关于周期解有相应的稳定性问题，,因而，极限环也有稳定性问题。,的出现。,设,是系统(5.6.1)的一个极限环，如果存在着,的一个,邻域，使得从此邻域内出发的其他解均,正向,趋近于,，,则称,为稳定的极限环。,如果其他解均负向,趋近于,，则称,为不稳定的极限环。,由于,的,邻域有一部分在,内侧，一部分在,外侧，所以还可以给出半稳定极限环的定义。如,果从,的,邻域出发的其他轨线在,的一侧,正向趋近于,，另一侧负向趋近于,，则称此,为半稳定的极限环。,极限环的稳定性态如图5.25所示.,图5.25(极限环的稳

11、定性态),对于一个微分方程组，要讨论其相平面上的轨线结构， 除了要研究清楚奇点和稳定性态外还必须弄清 :(1) 极限环的存在性问题；(2) 极限环的稳定性问题；(3) 极限环的个数及相对位置。 5.6.2 极限环的存在性极限环的存在性一般不是通过求解的办法讨论。而是通过一些其它途径来研究，最经典的方法当属著名的 Poincare-Bendixson 方法，它是通过几何的办法构造出一个满足一定条件的环域 而证明 中必存在闭轨线。也可以利用分支理论（隐函数定理）得到。,定理 5.9 Poincare-Bendixson环域定理 设区域 是由两条简单闭曲线 和 围成的环形域并且满 足下面的条件：(1

12、) 及其边界 上不含奇点；(2) 从 的边界上各点出发的轨线都不能离开（或 进入） ；(3) 均不是闭轨线。 则在 内至少存在一个外稳定闭轨和一个内稳定闭轨（一个 外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭轨），如果是惟一的闭轨， 则一定是一个稳定的（不稳定的）极限环。需要说明的一点是环域定理保证了 中闭轨的存在性， 但不一定是极限环，但如果 是解析函数，则 中的闭轨都是孤立的，因而是极限环。,在应用环域定理时关键是构造环域,的两条边界,和,（分别称为环域的内外境界线）。,例 5.6.2 证明方程组,至少有一个周期解。,证明 引入极坐标,，,将（5.6.9),化为：,由 (5.6.10) 中第一个方程可以

13、看出，在圆,上,故(5.6.9)的轨线当,增加时均由,的内部跑向外部。而在圆,上，,故 (5.6.9) 的轨线当,增加时均由,的,外部进入内部。,于是，圆,和,就构成了一个环域,。,(5.6.9)的轨线均进入,的内部。,(5.6.9)在,内没有奇点，故由定理,5.9 知，在,稳定的闭轨，即 (5.6.9) 在,内至少有一个,内至少存在一个外稳定的和一个内,周期解。,见下图,Maple 程序(稳定极限环),with(DEtools): DEplot( diff(x(t),t)=-y(t) -x(t)*(x(t)2+2*y(t)2-1), diff(y(t),t)=x(t) -y(t)*(x(t)

14、2+2*y(t)2-1), x(t),y(t),t=-1010, x(0)=0.5,y(0)=0, x(0)=-0.5,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=0.5, x(0)=0,y(0)=-0.5, x(0)=0,y(0)=1, x(0)=4,y(0)=0, x(0)=-4,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=-4, x(0)=0,y(0)=4, x(0)=4,y(0)=4, x(0)=-4,y(0)=-4, x(0)=-4,y(0)=4, x(0)=4,y(0)=-4, x=-44,y=-44, stepsize=0.01, linecolor=blue);,例 讨论方程组周期解的

15、存在性。证明 引入极坐标 ，将（5.6.20)化为由于 (5.6.20)或(5.6.21) 中方程比较复杂，刚才的圆环区域无法满足要求，需要更高的技巧来构造环域来证明周期解（极限环）的存在性，在这里我们先用Maple进行观测，再对很小的 设法通过隐函数定理（分支理论）来进行讨论。,Maple 程序( =0.01),with(DEtools): mu:=0.01: DEplot( diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t),t)=-x(t) +mu*y(t)*(1-x(t)2), x(t),y(t), t=-100200, x(0)=1,y(0)=0, x(0)=2,y(0)=0,

16、 x(0)=0,y(0)=4, x=-44,y=-44, stepsize=0.1, linecolor=blue);,Maple 程序( =0.1),with(DEtools): mu:=0.1:DEplot( diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t),t)=-x(t) +mu*y(t)*(1-x(t)2), x(t),y(t), t=-100100, x(0)=0.5,y(0)=0, x(0)=4,y(0)=0, x(0)=-4,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=-3.8, x(0)=0,y(0)=3.8, x=-44,y=-44, stepsize=0.1, lin

17、ecolor=blue);,Maple 程序( =0.5),with(DEtools): mu:=0.5: DEplot( diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t),t)=-x(t) +mu*y(t)*(1-x(t)2), x(t),y(t), t=-100100, x(0)=0.5,y(0)=0, x(0)=4,y(0)=0, x(0)=-4,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=-3.2, x(0)=0,y(0)=3.2, x=-44,y=-44, stepsize=0.1, linecolor=blue);,Maple 程序( =1.0),with(DEtools):

18、mu:=1.0: DEplot( diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t),t)=-x(t) +mu*y(t)*(1-x(t)2), x(t),y(t), t=-100100, x(0)=0.5,y(0)=0, x(0)=4,y(0)=0, x(0)=-4,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=-3.2, x(0)=0,y(0)=3.2, x=-44,y=-44, stepsize=0.1, linecolor=blue);,Maple 程序( =1.5),with(DEtools): mu:=1.5: DEplot( diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t)

19、,t)=-x(t) +mu*y(t)*(1-x(t)2), x(t),y(t), t=-100100, x(0)=0.5,y(0)=0, x(0)=4,y(0)=0, x(0)=-4,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=-3, x(0)=0,y(0)=3, x=-44,y=-44, stepsize=0.1, linecolor=blue);,Maple 程序( =2),with(DEtools): mu:=2: DEplot( diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t),t)=-x(t) +mu*y(t)*(1-x(t)2), x(t),y(t), t=-100100, x

20、(0)=0.5,y(0)=0, x(0)=3,y(0)=0, x(0)=-3,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=-2.8, x(0)=0,y(0)=2.8, x=-44,y=-44, stepsize=0.1, linecolor=blue);,对(5.6.21) 中后一个方程积分得,容易看出,由隐函数定理知，有函数,对(5.6.21) 中前一个方程积分得,周期解等价于,计算得,容易看出,由隐函数定理知，有函数,这就证明了方程组(5.6.20)对,有周期解，该,周期解的周期为,时是,时从,出发的解。,这里我们仅证明了当参数很小时周期解的存在,性，且知道该周期解与半径为2的圆很接近，而当参

21、,数比较大时，需要构造环域来证明，这需要更细致,的工作和更多的技巧。从Maple给出的结果看出，,极限环当参数在一定的期间变化时是存在的。,5.6.3 极限环的不存在性从上边的证明可以看出构造环域是有一定技巧的。因而就 出现了另一类问题：对于一个二维的微分方程组如果能肯定 它不存在极限环，这将对讨论它的轨线结构也是很有帮助，关于这方面的结论有下边两个最基本的定理。 定理 5.10 设系统 (5.6.1) 的右端数 ,在某个单连域 内连续可微，并且在 内不变号，且在 的任何子域内不恒为零， 则方程组 (5.6.1) 在 内不存在任何闭轨线。,证明 假设 内有一闭轨线 , 周期为 ， 所围区域为

22、，显然 。由格林公式,例 5.6.3 证明有阻尼的数学摆方程不存在周期解。证明 其等价方程组为计算得由定理 5.10 知该方程不存在周期解。,不变号，且在 的任何子域中不恒为零，则方程 组 (5.6.1) 不存在全部位于 内的闭轨线。定理 5.11 的证明与定理 5.10 类似。定理 5.11 中的函数 称为 Dulac 函数，对于一个具体的微分方程组， Dulac函数的引入使我们能更有效的判断周期解的不存在性。,定理 5.11 对于方程组 （5.6.1）若在某个单连域 中存在一个连续可微函数 ，使得,例 5.6.4 证明平面二次系统,当,时无闭轨线。,证明 由 (5.6.11) 的第一个方程

23、得到,故轨线与直线,相交时只能从它的,一侧穿向另一侧，因此，若(5.6.11)有,闭轨线，它只能位于直线,的一侧，选取,Dulac 函数,容易算出,但,不是方程组 (5.6.11) 的轨线。所,以由定理 (5.6.11)知系统 (5.6.11) 当,时不存在闭轨。,5.6.4 极限环的稳定性,定理 5.12 如果沿着系统 (5.6.1) 的极限环 有则 是稳定（不稳定）的，其中 是 的周期解。,例5.6.5 用定理 5.12 的结论判定例 5.6.1中的极,限环,及,的稳定性。,解 由,可以算出,对,有,故由定理 5.12 知,是不稳定的。,对,有,由定理 5.12 知,是稳定的。,，,作业 P323 习题 5.6 1课堂练习 讨论下面系统的极限环和轨线的渐近情况,