1、2010年8月,印度与阿拉伯的数学,1,第三讲 中世纪东方数学之 印度与阿拉伯的数学,印度数学古代绳法经“巴克沙利手稿”与零号“悉檀多”时期的印度数学 阿拉伯数学阿拉伯的代数阿拉伯的三角学3.阿拉伯的几何学,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,2,印度数学,印度全称“印度共和国”。它位于亚洲南部，是亚洲大陆突出于印度洋的次大陆，形状像一个倒三角形，国土面积328.7万平方公里，居世界第七。它和古埃及、巴比伦、中国被称为世界四大文明古国。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,3,印度数学,公元前2000年前后创造了印度河文明。 约在公元前14世纪，原居住在中亚的雅利安人中的一支进入南亚次大陆，并
2、征服了当地土著。 约公元前1000年，开始形成以人种和社会不同分工为基础的种姓制度。 公元前4世纪崛起的孔雀王朝开始统一印度次大陆，前3世纪阿育王统治时期疆域广阔，政权强大，佛教兴盛并开始向外传播。 中世纪小国林立，印度教兴起。 自11世纪起，来自西北方向的穆斯林民族不断入侵并长期统治印度。 1526年建立莫卧儿帝国，成为当时世界强国之一。 1600年英国侵入，建立东印度公司。 1947年6月，英将印度分为印度和巴基斯坦两个自治领。同年8月15日，印巴分治，印度独立。 1950年1月26日，印度共和国成立，为英联邦成员国。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,4,印度数学,2010年8月,印度
3、与阿拉伯的数学,5,印度数学,公元前3000年左右，印度土著居民达罗毗荼人创造了“哈拉帕文明”。大约到了公元前2000年中叶，操印度语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。 此后，由于多民族的交替入侵，使古代的印度文化包括印度数学不可避免地呈现出多元化的复杂背景。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,6,印度数学,印度数学的发展可以划分为3个重要时期： 雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期（约公元前3000前1400），史称河谷文化； 吠陀时期（约公元前10世纪前3世纪）； 悉檀多时期（5世纪12世纪）。,由于达罗毗荼人的象形文字至今不能解读，所以对这一 时期的印
4、度数学的实际情况了解很少。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,7,在那些世界性的事务中，如在吠陀教等宗教事务中总要用到计算。在有关情感、财富分配、音乐话剧、烹饪艺术、医疗、建筑、韵律学、诗歌、逻辑学、语法学等学科中，计算的科学都受到高度重视。在涉及太阳和其它天体的运行、日月食和星星连珠等问题时数学也是十分有用的。有关计数，海岛、海洋、山脉的径周，大范围居民区的规划，和居民居所的设计等需要用到计算。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,8,印度数学 古代绳法经,婆罗门教的经典吠陀中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分测绳的法规，即绳法经，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品。 绳法经是关于祭台建
5、筑的宗教法规，其中包含许多几何知识。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,9,印度数学 “巴克沙利手稿”与零号,1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利的村庄，发现了书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”。 其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等。,巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码，其中用“点”表示0；表示零 的点号后来逐渐演变为圆圈，即现在通用的0号，这一过程至迟于 公元9世纪已完成。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,10,印度数学 “巴克沙利手稿”与零号,用圆圈符号“0”表示零，是印度数学的一大发明。特别是印度人不仅把“0”看
6、作记数法中的空位，而且也视其为可施行运算的一个独立的数。 印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲。零号的传播则要晚。印度数码和十进制位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步中扮演了重要的角色。 零号的发明是对世界文明的杰出贡献。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,11,表示数字1到9的符号在印度的婆罗门教文献中已经出现，它们至少可追溯到公元前3世纪中叶，许多可在柱子上的国王的法令中有这些数的符号。约在8世纪，伊斯兰国家入侵印度难度，同时征服了地中海地区大部分国家，然后他们采用了这些数字。一个世纪后，这些数字在西班牙出现，再晚些又在意大利和欧洲出现。,201
7、0年8月,印度与阿拉伯的数学,12,印度数学 “悉檀多”时期的印度数学,悉檀多时期是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿耶波多、婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦罗等。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,13,“悉檀多”时期的印度数学 阿耶波多,阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，公元476年生于恒河南岸的拘苏摩补罗，卒年不详；23岁完成阿耶波多历数书。 该书包括了天文表集、算术、时间度量与球等篇，最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,14,“悉檀多”时期的印度数学 阿耶波多,在数学方面
8、，阿耶波多所制正弦表在三角学史上有重要地位，其中用同一单位度量半径与圆周，孕有弧度制的观念。 阿耶波多又创造了具有浓郁印度特色的“粉碎法”（梵语称“库塔卡”），开古代印度一次不定方程研究之先河。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,15,“悉檀多”时期的印度数学 阿耶波多,3233、余数粉碎法（库塔卡） 对应于较大余数的除数除以对应于较小余数的除数。不计商数所得余数又与除数相除。直至最后余数足够小，而商是偶数个。最后一个余数乘以某一选定的数。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,16,“悉檀多”时期的印度数学 阿耶波多,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,17,“悉檀多”时期的印度数学 婆罗摩
9、笈多,婆罗摩笈多著有婆罗摩修正体系（628）和肯德卡迪亚格（约665），都含有大量的数学内容。 婆罗摩修正体系全书24章，专论数学的有两章（第12章，“算术”；第18章，“代数”）。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,18,“悉檀多”时期的印度数学 婆罗摩笈多,婆罗摩修正体系中比较完整地叙述了零的运算法则；同时，婆罗摩笈多是最早认识负数概念的数学家之一，并在历史上第一次提出负数的乘除法则。 婆罗摩笈多最突出的贡献是给出了佩尔方程的一种特殊解法，名为“瓦格布拉蒂”。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,19,“悉檀多”时期的印度数学 婆罗摩笈多,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,20,“悉檀
10、多”时期的印度数学 马哈维亚,马哈维亚的计算方法纲要可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：算术术语、算术运算、分数运算、各种计算问题、比例问题、混合问题、面积计算、土方工程计算、测影计算，基本是对以往数学内容的总结和推广。 。 因其有很多问题和方法与中国九章算术相同或相近，从而有人认为他受到过九章算术或中国其它算书的影响。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,21,“悉檀多”时期的印度数学 婆什迦罗,婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家。生于公元1114年印度南部的比杜尔，长期在印度文化中心乌贾因工作，曾任乌贾因天文台主持人。 他有两本代表印度古代数学最高水平的著作莉拉沃蒂
11、和算法本源。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,22,“悉檀多”时期的印度数学 婆什迦罗,婆什迦罗 莉拉沃蒂全书13章，全面发展了自阿耶波多以来印度数学的各项成就。本书对传统的印度三角学与不定分析作出了前人未及的推进，其中还记载了婆什迦罗在排列组合方面的先驱性结果。,第6章 148 平地上一枝竹，高32尺。在某处被风吹折，竹梢触地离根16尺。数学家，你说：竹离根何处折断？ 九章算术商股第13题 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问：折者高几何？,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,23,“悉檀多”时期的印度数学 婆什迦罗,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,24,“悉檀多”时期的印度数学 婆
12、什迦罗,算法本源是一本代数书，其中包括有零的运算法则的完整论述，特别是对零作除数的问题给出了有意义的解释，认为分母为零的分数“表示一个无穷大量”；比较全面地讨论了负数，正确地叙述了负数的运算法则。 对于一次和二次方程也讨论得较为详尽；他承认二次方程有两个根，但将负根弃去了。 对于无理数，他与其他一些印度数学家一样，不仅广泛地应用，而且在运算中将无理数和有理数同样对待。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,25,印度数学,由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。 与算术和代数相
13、比，印度人在几何方面的工作则显得薄弱。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,26,正弦表的构造,印度最早的三角学著作是成书于公元前5世纪的毗坛摩诃悉昙多，它也是世界上最早的天文学著作，其中与数学相关的内容流传了几个世纪。为了利用球面三角学知识解决天文问题，给出了一张“半弦表”。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,27,组合学,虽然印度给出的组合规则没有证明，但它们是世界上组合规则的最早记录，比如苏斯塔鲁的医学论文（约写于公元前6世纪）中给出了从六种不同的味苦、酸、咸、甜和辣中分别取1、2、3、4、5、6种的组合方法有63种。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,28,阿拉伯数学 阿拉伯概述,
14、阿拉伯世界幅员广大，国家众多，它共有23个国家和地区，其人口以信奉伊斯兰教的阿拉伯民族为主。因此，被称为“阿拉伯世界”。 阿拉伯世界具有悠久的历史和灿烂的文化。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,29,阿拉伯数学 阿拉伯概述,阿拉伯科学家比鲁尼论证了地球自转的理论，以及地球是绕太阳运转，并精确测定了地球的经纬度。 白塔尼纠正了托勒密的许多错误，编制了萨比天文历表，后来哥白尼天体运行论多处引用其中的数据。 在天文学方面，阿拉伯人创建了一系列天文台，制造了大量精密的天文仪器，他们测定了地球的圆周长48001公里，已经相当准确，他们制定的太阳历，每5000年才误差一天。,2010年8月,印度与阿拉
15、伯的数学,30,阿拉伯数学 阿拉伯概述,在7世纪的前半叶，出现了一个新的阿拉伯文明。在先知穆罕默德的感召下，一种新的神教宗教伊斯兰教发展起来，并很快得到了阿拉伯半岛上居民的忠诚和拥戴。故也有称这一时期的数学为“伊斯兰数学”。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,31,阿拉伯数学 阿拉伯概述,“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学，而是指815世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作。 阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面做出了巨大贡献。阿拔斯王朝在巴格达那里设立了“智慧宫”，吸引了大批学者
16、，他们掀起了著名的翻译运动。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,32,阿拉伯数学 主要成果,代数方面 花拉子米代数学，代数方程求解问题； 印度计算法（又译依照印度人方法做加法和减法的书），系统介绍了印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法，以一个圆圈代表了0，欧洲一直称这种数码为阿拉伯数码，该书书名全译应为“花拉子米的印度计算法”，现代术语“算法”即源于此。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,33,阿拉伯数学 主要成果,代数方面 代数学约1140年被英国彻斯特地方的罗伯特译成拉丁文，作为一种标准的数学课本在欧洲行用了数百年，引导了16世纪意大利数学家在三、四次方程求解方面的突破。,201
17、0年8月,印度与阿拉伯的数学,34,阿拉伯数学 主要成果,代数方面 奥马海亚姆生于波斯，卒于同地。曾长期担任天文台台长，并负责改革历法。著有还原与对消问题的论证。 1100年左右，奥马将代数定义为“解方程的科学”，进一步推进了代数方程理论，特别是借助于圆锥曲线的三次方程几何解法。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,35,阿拉伯数学 主要成果,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,36,阿拉伯数学 主要成果,三角学方面 一方面由于天文学发展的需要，穆斯林数学家们致力于精密三角函数表的绘制。 对希腊三角学加以系统化的工作是由9实际天文学家阿尔巴塔尼做出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。
18、其天文论著被译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果。 另一方面，球面三角形的发展。三角学不再仅仅是天文学的附属。纳西尔丁论完全四边形是一部脱离天文学的系统的三角学专著，对15世纪欧洲三角学的发展起着非常重要的作用。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,37,阿拉伯数学 主要成果,几何学方面 几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲。在评注几何原本的过程中，对第五公设引起了注意。对非欧几何的诞生产生了一定的影响。 （无理量概念，确定立体体积的穷竭原理）,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,38,欧几里德的平行公设,伊本海塞姆在他的对欧几里德
19、原本中前提的评注中，试图重新制定欧几里德的平行理论。他首先重新定义了平行线的概念。“如果一条直线使其一端总在第二条直线上并使它垂直于第二条直线易懂，则这条动直线的另一端就作出一条平行于第二条直线的直线。”,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,39,奥玛海亚姆也对平行性问题感兴趣。在他的关于欧几里德书中有疑问的公设的评注中，他以如下原理作为出发点，即两条收敛的直线相交，而它们在收敛的方向上不可能发散。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,40,之后大约一个世纪，另一位数学家纳西尔丁对他的先辈们的工作做了详细的批评，并且在他1250年左右的书抹去平行线方面一点的讨论中也努力做出了自己对第五公设的证
20、明。他的儿子根据主题的后期思想于1298年写成论文，于1594年在罗马被发表，并被欧洲的几何学家们所研究。特别地成了萨凯里工作的起点并最终导致了非欧几何的发现。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,41,不可公度性,关于欧几里德原本第5卷的专题有许多阿拉伯文的评论。伊斯兰的代数学家早就开始他们关于方程式的工作中使用了无理量，他们在那里忽略了欧几里德在数和量之间的区别。但是，有许多评论家努力把这个用法放进了一个理论框架中，这个框架与欧几里德的工作是保持一致的。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,42,阿拉伯数学 主要思想方法,总结概括文献方法（观察法、实验法），逻辑思维方法 在引进前人经验总结的基础上，加以逻辑推理；具有初步的方法论思想。,2010年8月,印度与阿拉伯的数学,43,阿拉伯数学,总的来看，阿拉伯数学较缺少创造性，但当时世界上大多数地方正处于科学上的贫瘠时期，其成绩相对显得较大，值得赞美的是他们充当了世界上大量精神财富的保存者，在黑暗时代过去后，这些精神财富才传回欧洲。 欧洲人主要就是通过他们的译著才了解古希腊和印度以及中国数学的成就。,
