1、在数学分析及实际问题中, 往往要计算一些定积分或反常积分. 而这些积分中被积函数, 有时原函数不能用初等函数来表示, 或者即使可以求出原函数, 计算也常常比较复杂 . 因此需要寻求新的计算方法. 例如，可以考虑把实积分转化为复积分, 以便利用复积分理论. 而留数理论正是这方面的重要工具.,留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物, 除提供计算积分的新方法外, 本身也是复变函数论的重要理论. 本章先叙述留数的一般理论, 然后介绍在积分计算中的应用, 最后给出辐角原理和儒歇定理.,第六章 留数理论及其应用,1、留数的定义及留数定理,2、留数的求法,3、函数在无穷远点的留数,1 留 数,.,1、留数
2、的定义及留数定理,定义6.1,定理6.1(留数定理),证,如图，,由复合闭路定理知,证毕,两边同时除以 ，则,说明:,留数定理将沿封闭曲线 C 积分转化为求,被积函数在 C 内各孤立奇点处的留数之和.,成洛朗级数求,2、留数的求法,如果 为 的 阶极点,定理6.2,证,那末,+(含有 正幂的项)，,证毕,如果 为 的一阶极点, 那末,推论6.3,推论6.4,定理6.5,如果,证,的一阶极点,则有,为 的一阶极点,分析,由定理6.2得,计算较麻烦.,解,说明:,如 为 n 级极点，当 n 较大而导数又难以计算时,在实际计算中应灵活运用计算规则.,解,注意积分路线取顺时针方向,记作,定义6.2, 为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，,留数的概念可以推广到无穷远点的情形,3、函数在无穷远点的留数,证,由留数定义有:,定理 6.6,证毕,说明: 由定理6.6得,(留数定理),计算积分,计算无穷远点的留数.,优点: 使积分计算进一步得到简化.,(避免了计算诸有限点处的留数),现取正向简单闭曲线为半径足够大的,正向圆周 :,于是有,证,其他奇点.,解,根据定理 6.2与公式(6.7) :,与以下解法作比较 :,由定理 6.5,可见, 利用无穷远点的留数计算更简单.,例8 计算积分,解,由留数定理知,所以,作 业:,
