1、主要内容：,1、复常数项级数及其敛性,2、幂级数及其收敛半径,3、函数的泰勒展开,4、函数的罗朗展开,第四章 级数,1. 复数列的极限,不收敛的数列称为发散数列,1复数项级数,定理一（复数列与实数列的收敛性关系）：,即：一个复数列的收敛性等价于与其实部、虚部 构成的二个实数列的收敛性。,2. 级数概念,再由定理一关于数列极限存在的充要条件便可得到结论。,定理二将复级数敛散性问题化为相应的实级数问题，从而复级数敛散性问题得到间接解决。,复习：常见实级数敛散性判别法：,1）比较法，2）比值法（达朗贝尔判别法），,3）交错级数的莱布尼兹判别法,即：收敛级数一般项极限为0。,对于原级数，分离一般项实、
2、虚部，得,2 幂级数,1. 幂级数概念,关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：,定理一 （阿贝尔引理）,级数皆收敛且绝对收敛。,级数皆发散。,证明：1）,（收敛数列必有界！）,至此，有,因右端收敛，由比较法，左端也收敛。1）证毕,至于2），实际上为1）的逆否命题，也成立。,阿贝尔定理说明：,以原点为心，过收敛点作圆周，则圆内点皆收敛且绝对收敛。,以原点为心，过发散点作圆周，则圆外点皆发散。,2. 收敛圆与收敛半径,根据阿贝尔引理，所有幂级数的收敛情况不外乎以下三种可能：,1）处处收敛，即收敛点集为整个复平面。,2）除z=0外处处发散。,3）既存在使级数收敛的正实数，也存在使级数发散的
3、正实数。,下面对情况 3）作进一步的分析。我们考虑正实轴上的收敛点和发散点。,首先，收敛点和发散点不会相间分布，收敛点以左的为收敛点，发散点以右的为发散点。据此，动点从原点,出发往右移动，首先进入的是收敛点区，然后会遇到发散点。收敛点集与发散点集有唯一的分界点，记为R，则,综上所述，便得如下结论：幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域。幂级数在圆内收敛，在圆外发散。此圆称为收敛圆，圆的半径R称为幂级数的收敛半径。在圆周上是收敛还是发散不能作出一般的结论，要具体问题具体分析。,解：级数的部分和：,3. 收敛半径的求法,例2：求下列幂级数的收敛半径,练习：求下列幂级数的 收敛半径：,（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数）,注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立。但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较小一个收敛半径。,4. 幂级数运算和性质,幂级数的加、减、乘法运算规则：,幂级数的分析性质,2）s(z)在收敛内可逐项求导，即,注：性质2）和3）为用间接法将函数展开成幂级数提供了极大的方便。,3) s(z)在收敛圆盘内可逐项积分，即,
