1、复变函数总结,1 复数 2 区域 3,复数的表示,1.2.1 复数的几何表示,复数的乘幂与方根,区域,简单闭曲线,简单,非简单,如果简单曲线的起点和终点重合，则称为简单闭曲线,复变函数,等价两个二元实函数,考察函数,即,因此,对应,极限和连续性,定义：,内有定义,记作,定义：如果 则称 在 处连续如果 在区域 内每一点处处连续，则说 在 内连续,函数可导,函数解析,函数解析的充要条件,调和函数,若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u,v均为B上的调和函数。,4. 双曲函数,恒等式：,函数的积分,.积分的定义：,柯西古萨基本定理,如果函数 在单 连通区域 内处处解析那么函数 沿 内任何一条
2、封闭曲线 的积分为零,柯西古萨基本定理：,推广:解析函数的积分围线收缩过程中不碰到起点,则积分值不变!,柯西积分公式,如果 在有界区域D内处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于D, 为L内的任一点，那么,复数项级数,其中通项为：,部分和：,绝对收敛,绝对收敛级数的判别方法,一致收敛,幂级数,幂级数的收敛圆及其收敛半径,确定幂级数的收敛半径,可以利用正项级数的比值判别法来确定幂级数的收敛半径：,根式判别法：,解析函数的泰勒展开,几个重要的 Maclaurin 级数,环形区域内的解析函数: Laurent 级数,1、级数不含负幂项，b 称为可去奇点。 2、级数展开式含有 m 项
3、负幂项，b 称为 m 阶极点。 3、级数含有无穷多项负幂项， b 称为本性奇点。,留数定理,用留数定理计算实积分,复形式的Fourier级数,基本函数族,函数 f(x) 的Fourier展开式,复形式的Fourier积分与Fourier变换,Fourier变换的性质,性质2（积分性质）F,性质4（延迟性质）F,性质6（卷积性质）F,性质1（导数性质）F,性质3（相似性质）F,性质5（位移性质）F, -函数的定义,或,称这样的函数为 -函数，记为 (x)和(x-x0),更一般地, -函数的性质,性质1：对于 连续f(x)，有,性质2：如果 (x)=0 的根xk (k=1,2,) 全是单根，则, -函数的形式定义,或,称这样的函数为 -函数，记为 (x)和(x-x0),更一般地,Laplace变换,Laplace逆变换,Laplace变换,L -1 L = I,Laplace变换的性质,性质1（导数性质） L,性质2（积分性质） L,性质4（延迟性质） L,性质3（相似性质） L,性质5（位移性质） L,性质6（卷积性质） L,Laplace变换之应用,用于求解常微分方程的初始问题,
