1、5.4 整函数与亚纯函数,1.整函数 2.亚纯函数,在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数.,1. 整函数,定理5.10 若f(z)为一整函数,则(1)z=为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c.(2)z=为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一个m次多项式,(3)z=为f(z)的本性奇点的充要条件为: 展式(5.14)有无穷多个cn不等于零.(我们称这 样的f(z)为超越整函数).,定义5.6 在z平面上除极点外无其他类型 奇点的单值解析函数称为亚纯函数.,2. 亚纯函数,定理5.11 一函数f(z)为有理函数的充 要条件为:f(z)在扩充平面z平面上除极点外 没有其它类型的奇
2、点.,(2)但mn时,z=必为f(z)的可去奇点,只 要置,其中P(z) 与Q(z) 分别为z的m,n次多项式,且彼此互质.则,证 必要性 设有理函数,就是f(z)的解析点;,(3) 的零点必为f(z)的极点.,充分性 若f(z)在扩充z平面上除极点外没有其它类型的奇点,则这些极点的个数只能是有限个.因若不然,这些极点在 扩充z平面上的,(1)当mn时,z=必为f(z)的m-n级极点;,聚点就是f(z)的非孤立奇点.与假设矛盾.今命f(z)在z平面上的极点为,其级数分别为 则函数,至多以z=为极点,而在z平面上解析.故g(z) 必为一多项式(或常数).即必f(z)为有理函数.,由此可见,每一有理函数都是亚纯函数.,定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚 纯函数,
