1、范例2.3 轻线单摆冲击运动的角速度和张力,长l的轻线，一端固定，另一端系一质量为m的小球，形成单摆。将小球悬挂在铅直位置，然后用外力冲击小球，使其以水平初速度v0开始运动。求小球转过角时角速度和线中张力的大小。,解析如图所示，小球受到重力mg和轻线对小球的拉力T的作用，当小球转过角时，,左式可化为,可得-gsind = ld，,由于d/dt = ，而v = l，所以dv = ld，,积分,可得,小球角速度为,切向运动方程为,长l的轻线，一端固定，另一端系一质量为m的小球，形成单摆。将小球悬挂在铅直位置，然后用外力冲击小球，使其以水平初速度v0开始运动。求小球转过角时角速度和线中张力的大小。,
2、法向运动方程为,小球的速度为,当小球自由下落l高度时，速率为,轻线的张力为,张力可改为,小球角速度为,则角速度可改写为,角速度和张力是角度的函数，初速度v0是函数中的参数。,范例2.3 轻线单摆冲击运动的角速度和张力,当 = 0时，小球运动的最大角度为,如果初速度v0比较小，小球运动到一定的角度就会停止，然后往回运动。,轻线的最小张力为,可知：v0最小取0，最大取V0，即0 v0/V0 1；,讨论,当v0 = 0时，M = 0，轻线静止在竖直方向，最小张力TM有最大值mg；,小球运动最大角度的范围是0 M /2。,当v0 = V0时，M = /2，轻线达到水平位置，最小张力TM为最小值0。,范
3、例2.3 轻线单摆冲击运动的角速度和张力,如果初速度v0比较大，但不是很大，小球的角会超过/2，然后做斜抛运动，如图所示。,则初速度为,讨论,这就是临界初速度。,在极限情况下，小球刚好达到最高点，令M = ，,当1 v0/V0 1.5811时，小球将脱离轻线的束缚做斜抛运动，斜抛角由上式决定。,小球刚好做斜抛运动时，轻线的张力为零。,令T = 0，小球运动的角度与速度之间的关系为,轻线张力刚好为零的角速度为,小球斜抛的初速度为,范例2.3 轻线单摆冲击运动的角速度和张力,如果初速度v0很大，即v0/V0 1.5811时，小球可越过最高点继续做圆周运动。,讨论,临界张力为与角度之间的关系,当v0
4、取临界速度时， 即,临界角速度与角度之间的关系,TC = 3mg(1 + cos)。,范例2.3 轻线单摆冲击运动的角速度和张力,当比值在1到临界值之间时，物体达到最小角速度后就会做斜抛运动，最小角速度曲线(点虚线)是这些角速度曲线的终点。,单摆圆周运动的角速度都随角度的增加而减小。,只有当初速度与自由落体的速率比值不大于1时，角速度才能减小到零。,当比值超过临界值时，物体将越过最高点做圆周运动。,只有比值不小于1，也不大于临界值时，张力才会减小到零。临界张力最大为6mg，最小为零。,单摆轻线内部的张力随角度的增加而减小，当初始速度与自由落体速率的比值小于1时，最小张力不等于零。,当比值超过临界值时，物体将跃过最高点做圆周运动，张力在最高点也不为零。,
