1、留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。留数定理又是涉及闭路积分的，要应用于定积分，必须先将定积分变为闭路积分中的一部分。,5.3 留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分 ，变量x定义 在闭区间a,b(线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分要变为闭路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含闭路的一个区域中,让实积分成为闭路积分的一部分：,其中f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有,其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.,例1 计算 的值.,解: 由于 , 被积函数的分母在
2、 内不为零,因而积分是有意义的.,在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.,例2 计算 的值.,解：令,例3,解：,取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.,例 4,例 5,解：,也可写为,例6 计算 的值.,解:这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,例7 计算积分 的值.,解: 因为 是偶函数,所以,因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限,下面将证明,由于,所以,j(z)在z=0处解析,且j(0)=i, 当|z|充分小时可使|j(z)|2,而,由于,在r充分小时,本章重点与难点,拓展思考复变函数中的可去奇点与实变函数中可去间断点有何共同之处?,How beautiful the sea is!,Lets have a rest!,
