1、不等式证明的错解的成因及分析策略江苏灌云高级中学 王建宏不等式的证明方法有很多,如:基本不等式法、比较法、综合法、分析法、反证法、判别式法、换元法、数学归纳法、放缩法、导数法、公式法(向量公式、方差公式、斜率公式等)、数形结合法等等.不等式的证明过程,是常规的证明方法及构造性思维在新的领域中的移植和运用,以及局部的创新.但在实际教学活动中我们发现,学生对于不等式证明上存在着一定的思维障碍,并仍有不少学生沉醉于“题海战术”之中,阻碍着创造性思维能力的发展.本文略谈不等式证明的错解成因,揭示应对策略.一、用新教材中新增知识点证明不等式这一思考方法很不适应例 1 (2003 年江苏新课程高考试题)已
2、知 , 为整数.0an()设 ,证明: ;(nyxa1()yx()设 ,对任意 ,证明: .)nf n1()()nff分析 这是一道江苏考生错误率较高的一道考题,考生对导数法证明不等式这一思考方法很不适应,以致于丢分现象极其严重,这反映学生未能真正把握新教材的思想内涵,不能做到学以致用,融会贯通,这一现象值得注意.证明 () ,0()()nknkxCax .11111 ()nkk knyaxa ()对函数 求导数,得f,所以 .()nf 1()nnf当 0 时, .()n故当 时, 是关于 的增函数,因此,当 时,xnfxx11)()()f a.(nf即对任意 , .a1(nf评述 导数及其它
3、向量、方差等知识点的引入,使相应的数学方法、教学工具和数学语言更加丰富,应用形式更加灵活多样,新课程卷将导数与传统的不等式有机结合在一起设问,这是一种新颖的命题模式,它体现了导数作为工具分析和解决一些性质问题的方法,在教学中应予以重视.二、忽视向量不等式等号成立条件,造成范围失真向量不等式 等号成立的条件为,当向量 且 与 方向相同时|pqpq“+”不等式取等号; 当向量 且 与 方向相反时“-”不等式取等号.pq例 2 .216(4)36a9错解 设 ,由 得,a|.|(),()1425q .225成因分析 向量不等式 等号成立的条件是 ,且向量 与 方|pq pqpq向相反,而当 时,得
4、,此时 方向相同,故等号不成立,p88,(6)q使不等式范围缩小了.正解 设 ,由 ,得(4)(6)aa|p22163|. |(,),|,1029当 即 时, 方向相同,故等号成立.q5pq评述 向量作为新教材中的另一个新增知识点,利用数量积不等式 与|pq和差不等式 证明不等式,有着其它方法所不能比拟的优越性,|p在教学中应适当推广及应用.三、多元不等式的元认知障碍当不等式含有好几个元(变量)时,需将这些元分别虚拟定位为“常量” 、 “参元” 、 “变元”等.若定位点不到位,解题时思路常会在原地徘徊不前或进入繁杂的运算程序,从而形成元认知障碍.例 3 设 、 、 0,2 , 证明 .abc2
5、4abc2abc分析 此不等式有三个元,且每项次数不全相同,学生常因元太多不易定位,而陷入误区,实际上原等式中 、 、 三个元中只有 是一次的,故可将 视作变元,其余 、 视作常量即可解决问题.证明 设 .2 2()4()()f则 为关于元 的一次函数,且 、 、 0,2 .c要证 0,即要证 0,且 0 .a0)f2f而 0 ,且2(0)fbc 2()24)fbcbc0 .)当 、 、 0,2时, 0 .aa即 .4b评述 元的定位问题往往不是绝对的,定位切入点不同,解题的途径也不同,处理好元的定位问题,不但可以开辟问题解决的新途径,给解题带来极大的简便,而且能培养学生的分析问题的思维能力.
6、四、忽视题设条件或隐含条件有些题设条件看似平淡,但在解题中就会显示出其隐蔽性,学生往往由于忽视了隐含条件,或对隐含条件的挖掘只浮于表面,而未能展示其真正的面目,从而在解题过程中误入陷阱.例 4 设 , 为偶数,证明 .0abn1nba1b错解 .1n()n 为偶数, ,又 与 同号 ,() ,故 .n n成因分析 实际上, 为偶数时, 与 不一定同号,这里忽略了题设条件1n,在没有明确字母的具体值情况下,要考虑分类讨论,即需分 和 有0,ab,a一个负值的两种情况加以分类讨论.正解 .1nba1()nab当 时, , 0 ,0)0n1(nab 0 ,故 ;()nn1当 有一个负值时,不妨设 ,
7、且 ,即 .| 为偶数时, 0 ,且()n)0 0 ,故 .1)ab综合可知,原不等式成立 .五、分式不等式分母较复杂时,不能灵活变形而形成思维障碍证明分式不等式需要去分母,去分母的方法有很多,如轮换法、添加分母法、添加分式法、添加和积式法等等,在添加代数式时需考虑均值不等式等号成立条件,并最终利用均值不等式去掉分式或部分分母,但学生对于这一灵活的变形常常无法领悟,觉得在解题时处处均可下手,但又无从下手,从而形成分式变形障碍.例 5 已知 ,0,1abc证明 .3331()()()acb2分析 这是一道技巧性较强的分式不等式证明题,其分子与分母差别太大,学生往往不能注意其整体联系,而想省事处理
8、,想一步到位地消去所有分式,从而进入了繁忙的运算程序中,最后不得结果,反而觉得此题处处都是切入点,又处处陷于被动.实际上,由.33221()()()abcac可添加分式 ,使得 ,k()kbc ka由 时,不等式取等号,得 .14故可考虑添加分式 来解决问题.4证明 ; ;3()31)()b .3ca + + ( + + ) .bc31()2b32c评述 在证明分式不等式时,要看准所要消的分式结构特征与整个式子的完整性,分清是“和”式还是“积”式、含有几个字母、各字母的次数,然后应用均值不等式等号成立条件确定待添加式的系数,然后从整体上消去分母.六、忽视一般化与特殊化之间的转化障碍一般化与特殊
9、化的思维方向正好相反,它们相辅相成,是变更问题的两种基本原则.例 6 证明 .2031!分析 直接通过计算或用对数来比较不等式两边的大小,是难以办到的,也是证明中的障碍体现.如注意到 ,则可技巧性地将问题转化为如下一个一般化命题:1“设 n 是大于 1 的正整数,证明不等式 ”.而原命题仅是此命题的一个特殊化!2n的结论.证明 由 2n3!n . 令 ,即得 .!n020评述 某些特殊化的结论,其中往往蕴藏着一般化结论的线索,而由一般化的结论得出某些特殊化的结论是非常自然的.由特殊化联想到一般化是此类问题解决的一个突破口,教学中要加强这方面的训练,这有助于培养学生联想及变通的数学直觉意识能力.
10、七、不能由此及彼的想象探究,揭示不等式间的内在联系如果说由特殊到一般是纵向引申,解决深度问题,那么由此及彼则是横向推广,解决广度问题.例 7 求证 ： 分析 此题可用数学归纳法加以证明,但新教材中部分省市已将之删去,学生面对此题,常不能对已有表象进行加工改造,创造出新的形象,对此不等式的递推感到无能为力,其原因主要在于不能由此及彼地探究此不等式与数列通项递推关系,形成障碍.其实,若令 ,则12ka(k2), 可用迭加法来证明.1 21()kakk证明 令 ,则 (k2) .a1 21()akk令 ,可得 个同向不等式,把这 个同向不等式相加,并整理得 3,4n n.22n ,n .2274故原
11、不等式成立 .评述 利用迭加法来证明数列型不等式,把不等式的一端设为 ,若经过 化简、ka1ka变形、放缩能化成该数列的通项,便可用此法证明,这一证明技巧也简洁地替代了数学归纳法的应用.另外,在不等式证明的教学中部分教师在处理教学内容时,过分强调了数学解题的技巧,学生没有理解仅靠“模仿”的训练,这也是不等式证明错误产生的一个主要原因.因此在学习中必需从实际出发,注重基础知识和基本技能的教学,突破障碍.在不等式证明的学习中可思考以下几点:降低起点,减小坡度,将不等式人为设置出由浅入深的梯度来;对有从属关系的不等式系列题,可采取分散和集中相结合法,切实地使学生既接受得了,又不失系统性和规律性;培养
12、联想能力,学会从已有感知入手,剖析不等式新旧信息源的联系与异同,寻找其内在因素和从属关系,领悟到“数”与“式”之间发展更替的规律及必然,并逐步地学会在新旧知识的对比中去联想、猜想和想象;在不等式证明障碍点和学生的不足之处,应进行必要的循环和反复,并注重对一些重要方法的浓缩,掌握重点,突破难点,克服不足;在学习的过程中,要精心选择数学题,使双基中见综合,综合中见双基,将双基训练与数学能力的培养有机地结合起来,以帮助切实掌握不等式证明的基础知识和基本技能,熟悉其中的数学基本思想和常用方法,在解题实践中提高逻辑思维、形象思维和灵感思维的能力,发展思维的灵活性和创造性.同时通过证明不等式,培养良好的思想品质和数学素养,树立辩证唯物主义基本观点,养成勤奋刻苦、严格认真、踏踏实实的学习习惯,勇于去攀登数学高峰.2213n
