1、 http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 1 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791两个三角形相似的条件一、相似三角形的判定方法： 相似三角形的判定方法可类比全等三角形的判定方法进行研究 判定方法类比： 全等三角形 相似三角形 两边和其夹角对应相等，两三角形全等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 两角和其夹边对应相等，两三角形全等 两角对应相等，两三角形相似 三边对应相等，两三角形全等 三边对应成比例，两三角形相似 判定方法斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等 一个直角三角形的斜边和一条直角边与另
2、一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似 此外还有：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似 二、相似三角形判定中常见常用的基本图形 1、平行线型（两线平行，则相似） 2、相交线形（两角相等，则相似） 3、旋转型三、例题： 例 1、选择题：已知，如图 ABC 中， http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 2 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791DE/BC，BE 与 CD 交于 F 点，则图中相似 三角形共有（ ）对。 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析：因为
3、 DE/BC，图中有两个基本图形，即 ADEABC，DEFCBF。故应选B。 例 2、填空题：如图， ABCD 中，E 是 CB 延长线上一点，DE 交 AB 于 F，则图中共有_对相似三角形。 分析：因为平行四边形对边平行，所以有 AB/CD 即 BF/CD，又有AD/BC，所以图中相似三角形有EBFECD,EBFDAF，ECDDAF，共 3 对。解略。 例 3、如图，ABC 是等边三角形，DAE=120 0， 求证：ADAE=ABDE 分析：把要证的乘积式化为比例式： = ，竖着看，等式左边 AD，AB 在 ABD中，等式右边 DE，AE 在 ADE 中，如果能证明 ABD 与 EAD 相
4、似问题就能得到解决。 证明： ABC 是等边三角形， ABC=60 0， ABD=180 0-ABC=120 0， DAE=120 0， ABD=DAE， 在 ABD 和 EAD 中， ABD=EAD，D=D， ABDEAD， = ADAE=ABDE。 说明：本题的思路是将乘积式转化为比例式，然后找到两个三角形，用相似三角形的http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 3 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791判定，证明它们相似，由此得到比例式，最后利用比例的基本性质得到乘积式。这是证明乘积式的一种常见方法。请同
5、学们注意。 例 4、已知：如图，ADAB=AEAC。 求证： FDBFEC 分析：欲证 FDBFEC，观察图形只有DFB=EFC，还需再寻找一个条件，由 ADAB=AEAC 可得比例式： = 而A 是公共角，可得 ABEACD，从而可得 B=C，使条件成熟。通过相似得角等，这又是一种证明角等的方法。 证明： ADAB=AEAC = 又 A=A， ADCAEB， B=C， FDB 和 FEC 中， B=C， DFB=EFC， FDBFEC。 例 5、正方形 ABCD 中，E 是 AD 中点，BMCE 于 M，AB=6cm，求 BM 的长。分析：依题意正确画出图形， AD/BC， 1=2，易证 R
6、tBMCRtCDE，由此 可以得到比例式： = ，其中线段 BC，EC， CD 的长都可以求出来，从而可求出 BM 的长。 由相似得比例式，再由比例式求线段的长，这也是常用的计算方法。 解：如图，在正方形 ABCD 中， http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 4 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791D=90 0，AB=BC=CD=AD=6cm, AD/BC， 1=2， BMCE， BMC=90 0， BMC=D， BMC 和 CDE 中， 1=2，BMC=D， BMCCDE， = ， BM= ， E 是
7、AD 中点， ED= AD=3cm. 由勾股定理得：CE= = =3 BM= = （cm） BM= cm。 测试选择题1如图所示，在矩形 ABCD 中，AEBD 于 E，S 矩形 40cm 2，S ABES DBA 15，则 AE 的长为（ ） A4 cm B5 cm C 6 cm D7 cm 2如图，在 ABCD 中，E 是 BC 上的一点， AE 交 BD 于点 F，已知 BEEC31，S FBE 18，则 SFDA 的大小为（ ）。 A24 B30 C32 D12 3如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上，且AEEB21，AFDE 于 G，交 BC 于 F，则AEG 的面积
8、与四边形 BEGF 的面积比为（ ） A12 B14 C49 D23 4如图，ABC 的底边 BCa，高 ADh，矩形 EFGH 内接于ABC，其中 E、F 分别在边 AC、AB 上，G、H 都在 BC 上，且http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 5 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791EF2FG。则矩形 EFGH 的周长是（ ）。 A B C D 5如图，在ABC 中，BADECAD， ，设EBD、ADC、ABC 的周长依次为 m1、m 2、 m 3.那么 的值是( )。 A 2 B 4 C D 答案与
9、解析 答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D解析：1A 解 BAD90，AEBD， ABEDBA。 S ABE S DBA AB 2DB 2。 S ABE S DBA 15 AB 2DB 215， ABDB1 。设 ABk，DB k， 则 AD 。 S 矩形 40cm 2， k2k40。 k2 。 BD k10，AD4 。 S ABD BDAE20， 10AE20 AE4（cm）。故选 A。 2C3C 分析 易证ABFDAE。故知 BFAE。因 AEEB21，故可设 AE2x，EBx，则 AB3x，BF2x。由勾股定理得 AF 。易证AGEABF。可得http:/ 快乐学习，尽在中学生在
10、线第 6 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791SAGE S ABF AE 2AF 2（2x） 2（ ） 2413。 可得 SAGE S 四边形 BEGF49。故选 C。 4B 分析：由题目条件中的 EF2FG 得，要想求出矩形的周长，必须求出 FG 与高 ADh 的关系。由 EFBC 得AFEABC，则 EF 与高 h 即可联系上。 解：设 FGx，则 EF2FG， EF2x。 EFBC， AFEABC。 又 ADBC，设 AD 交 EF 于 M，则 AMEF。 。 即 。 。 解之，得 x 矩形 EFGH
11、的周长为 6x 。 评注：此题还可以进一步求出矩形的面积。若对题目再加一个条件：ABAC，那么还可证出 FG2BGCH。通过这些联想，就会对题目的内在的联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。 5D 解析：由CADADE，得 ACDE， ABCEBD，又BCAD，CC， ABCDAC。http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 7 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791 ABCEBDDAC。即EBDDACABC。再利用相似三角形的周长比等于相似比即可得出。 中考解析 中考典例 1（福建厦门）如图 ABC 中
12、 P 是 AB 上一点，连结 CP 要使 ACP ABC，只需添加条件 （只写一个合适的条件） 考点：相似三角形的判定 评析：因为两个三角形中有一公共 A，可以再找另一个角对应相等即可可添加 APC= ABC 或 ACP= ABC；若利用对应边成比例、夹角相等，可添加 AC2=APAB应注意不能添 或 2（ 上海市）如图，在大小为 44 的正方形方格中， ABC 的顶点 A、 B、 C 在单位正方形的顶点上，请在图中画一个 A1B1C1，使 A1B1C1 ABC（相似比不为 1），且点A1、 B1、 C1都在单位正方形的顶点上 图 1 http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 8 页（共 12
13、 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791考点：相似三角形的判定 评析：由原图中可知 ABC 中，CB=2，AB= ，ABC=135以 135角为突破口，所以要画出的三角形与之相似，必使A 1B1C1=135 = ，单位 1 的正方形对角线为 ，所以以一格为一边，一对角线为一边画出 A1B1C1，如原图所示另外还有二种方法如图 2、3 所示 3（ 安徽省）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4P 是 AD 上的动点，PEAC 于E，PFBD 于 F，则 PE+PF 的值为（ ） A、 B、2 C、 D、 考点：勾股定理
14、、矩形性质、相似三角形的性质 评析：因四边形 ABCD 是矩形，AB=3，AD=4，所以由勾股定理求得 BD=5又 PEAC，根据矩形性质，易知APEDBA，则 ，即 得 PE= ，同理可证DPEDBA，则 得 PF= ，所以 PE+PF= 应选A http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 9 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791另解：过 A 作 AGBD 于 G，过 P 作 PHAG，则可证 PF=HG，PE=AH，于是 PE+PF=AG，再在ABD 内，可证 AG= 4（ 南充市已知两个相似三角形的面积比
15、为 1:9 那么它们的相似比为（ ） A、1:81 B、1:9 C、9:1 D、1:3 考点：相似三角形的性质 评析：因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，该题给出了面积比为 1:9 所以相似比为 13，应选 D但应注意不要将面积比再平方，选 A 就理解错了 5（ 北京宣武区）如图， AB 是等腰直角三角形 ABC 的斜边，若点 M 在边 AC 上，点N 在边 BC 上，沿直线 MN 将 MCN 翻折，使点 C 落在边 AB 上，设其落点为点 P (1)当点 P 是边 AB 的中点时，求证： (2)当点 P 不是边 AB 的中点时， 是否仍然成立?请证明你的结论 考点：平行线分线段成比例定理
16、，相似三角形的性质 评析：本题是考查学生灵活运用平行线分线段成比例定理和相似形的性质的开放性问题，解题时先分别画出点 P 在不同位置的图形当 P 是 AB 中点时，如图，连结 PC，则折痕 MN 垂直平分 PC，又 AC=BC， AP=BP，所以 PC AB， MN AB，故有 ，所以 = 当 P 不是 AB 中点时，过 P 作 PEAC 于 E，则 PEBC，于是又A=45， AE=EP， 连结 PC，如果PECMCN 成立，则有 成立 MN 是折痕， MNPC，又MCN=90 PCE=CNM又 MCN=PEC=90 PECMCN 成立因此： 的结论仍然成立 http:/ 快乐学习，尽在中学
17、生在线第 10 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791（1）证明： 如图，连结 依题意，得 折痕 CP 又 AC=BC, AP=BP， CP AB， MNAB ， 又 P 是 AB 中点 （2）当点 不是的中点时， 仍然成立 如图， 连结 PC，则 MNPC，过点 P 作，垂足为点 E. ACB= 90， PEBC ， 又 AC=BC， 45， A=45 ， N 90， CP MN， ECP=MNC ， MCNPEC ， 即 http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 11 页（共 12 页）中学生在线 北京光和
18、兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791 6（ 北京西城区）已知：如图，D、E 是ABC 的边 AB、AC 上的点，A=35，C=85，AED=60. 求证：ADAB=AEAC. 考点：相似三角形的判定及性质. 评析：证明等积式，首先要转化为比例式： ，然后证明含有线段的两个三角形相似.所以该题的关键证明ADEACB，因为A=35，C=85由三角形内角和是得B=60则A=A,AED=B，三角形相似得证.(或A=35，AED=60所以ADE=85，由A=A、ADE=C 相似三角形得证）.由相似得比例式，然后写成等积式 证明：在 ABC 中， A=35，
19、C=85， B=60. AED=60， AED=B， A=A， AEDABC， . ADAB=AEAC. 说明： 解答该题时要注意运用等腰直角三角形的性质 折叠问题实际就是轴对称问题，折痕是对称轴C 点落在 P 点即 C、P 两点关于折痕MN 对称这是解决折叠问题的一般方法 “是否成立”的开放型问题思考方法：先假定所给结论成立，试着证明若能证明，http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 12 页（共 12 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791则所给结论成立若在证明过程中推出了矛盾结论，则所给结论不成立，同时也就说明了不成立的理由另外要将复杂的问题通过转换的数学思想，转移到熟悉的简单问题上来
