53几个重要的不等式.doc

1、2153 几个重要的不等式具备了不等式的基本知识和技能之后，就可以进一步欣赏一些优美而又魅力无限的重要结果。正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果。这里要介绍的一些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常象变戏法似的神秘莫测。除了前面已经介绍的贝努利不等式之外，本节将讨论的一些重要不等式包括：柯西不等式，排序不等式，平均不等式等。这些重要的不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具。1 柯西（Cauchy）不等式在上一节，我们已经粗略地了解了

2、形如222)()(bdaccba的不等式，因其是由大数学家柯西（Canchy）发现的，故而一般称之为柯西不等式。柯西不等式有着丰富的几何背景。可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解。请同学们回忆一下我们曾经学过的余弦定理的内容？我们将利用它来解释柯西不等式。如图，在三角形 中， ，OPQQOPdcba),(,则 Q（c，d）,22baO .)()(dcPP（a，b）将以上三式代入余弦定理 ，并化简，可得 cos222 OPQOP或22cosdcba .)(os222dbac因为 ，所以， ，101)(22cd于是.222)()(baba讨论：借助图形分析，柯西不等式中等号成立的条件是什么

3、?柯西不等式应用相当广泛，我们先通过一些简单的例子加以体会。例 1已知 求证：.1,22yx（1）.1byax证明：由柯西不等式，22.1)()( 222yxbayx所以（1）成立。例 2证明：（1）.)()(2222 dbcdcba证明：因为（1）的两边都是非负的，所以（1） .)()()( 222222 dbcaa（2）bdccba)(22（2）其实就是柯西不等式，因此（1）成立。练习 1（1）1 利用柯西不等式证明：22a2 已知 求 的最大值与最小值。.252yxyx3探究：利用学过的平面向量的知识，研究柯西不等式的几何意义？我们知道平面向量 的内积),(),(dcba.dc而模.,2

4、2cba所以柯西不等式的几何意义就是.由于，cos所以柯西不等式实际上就是.1cs其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立。也就是当且仅当 时等号成立。bcad柯西不等式还可以推广成如下的一般形式：设 n 为大于 1 的整数， 为任意实数，则),21(,nibai.)112niinii23证明 先设 全不为零。考虑 x 的二次方程)1(niai（1）iniini bax11212 0因为方程左边 ni iiixb122)(，niiia120)(所以方程没有实数根，除非上面的每一个平方数都等于 0。也就是当且仅当（2）nabab21时，方程有两个相等的实数根 .1x因此，方程的判别式 即结论

5、成立。,0如果 不全为零，上面的推导仍然有效，只是（2）中出现分母为零时，约)(niai定分子也是零。如果 全为零，结论显然成立。)1(ii例 3已知三个正数 a，b，c 的和是 1。求证这三个正数的倒数不小于 9。分析：该问题可以使用二元平均不等式 来证明，此处我们使用柯西不等ab2式来解决。证明 由柯西不等式，.9)11()1)( 2cbacba又由已知， 所以,.91cba练习 1(2)1 已知正数 满足 求证：zyx,.1zy.3694242 设 为正实数、 为实数， 求证：ipix.,32,1ni.)(112niiniii p设 A，B，C 为平面上任意三点，坐标分别为 ，则由),(

6、,),(321yxyxA及距离公式得.)()()()()()( 23123123232121 yxyxyx （1）通常也称之为平面三角不等式。实际上，只要在前面证过的不等式 中，2222 )()(dbcadcba令 即可以得到平面三角不等式。, 3232121 ydxcybxa 如果注意到 A，B，C 三点坐标的关系，还会得到形式不同的平面三角不等式。例如，如图 3-1 所示的 OABC 是一个平行四边形，设点 的坐标分别为CBA,，由几何不等式 B C,2121yx21,yxAOA及距离公式可得 O （2）212121 )()(yxyxyx 这是平面三角不等式的又一表现形式。 图 3-1思考

7、：如果将（2）推广到一般的形式，情况如何？推广后的不等式为 niiinini yxyx121212 )(该不等式通常称为闵可夫斯基（Minkowski）不等式（二阶形式）.实际上，前述柯西不等式的一般形式 与闵可夫斯基不等式niinii yxx1212)(具有内在的统一性。 niiinini yxyx121212 )(问题：你能从闵可夫斯基不等式 推导出柯西不 niiinini yxyx121212 )(等式 吗？并考虑反过来能否进行。niinii yxx1212)(25探究：设 是直线 同侧的两定点，试借助三角形不等式在直线 上求一点 ，使QP,l lR折线 的长为最小。 （建立平面直角坐标

8、系） R PO 222)(xqbxaQP R这是平面几何中的一个常见问题，不难通过作出点 关于直线 的对称点 ，连接PlP找出点 。该问题也有很重要的物理意义，因为根据光的传播定律（费马原则） ，光R线从点 传到点 ，永远沿时间为最小的路线传播。阅读材料：柯西与柯西不等式柯西（Canchy， Augustin-Louis，1789.8.211857.5.22）是法国享有盛誉的数学大师。他一生著述丰富，发表论文 800 篇以上，几乎涉及当时所有的数学分支，是著名的多产数学家之一。柯西在数学方面的出色工作和卓越贡献是与其对数学的无限热爱和刻苦努力分不开的。柯西从小喜爱数学，每当一个念头闪过脑海时，

9、它常会中断其它事情，随时算数画图。以致他那个时代的大数学家拉格朗日（Lagrange）盛赞到：“瞧这孩子的钻研劲头！我们这些可怜的数学家都会被他取而代之。 ”此话果被言中，柯西终生奉献于数学，生命不息、奋斗不止，在数学分析、复变函数论、以及弹性力学等领域都取得了许多开创性的成就，当之无愧地成为硕果累累的一代数学名家。柯西不等式 是柯西在 1931 年研究数学分析中的“留数”niinii baa1212)(问题时得到的。表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式 ，几乎是不证自明的。但是，我们222)()( dccb能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知

10、道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的。柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用。向量形式不仅直观地反映了这一不等式的本质，而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间内在地联系在一起；一般形式有一个推广形式niinii baa1212)( )1()()( 212121 qpbababnqnqpnp （该不等式称为赫尔德（Holder）不等式，当 时，即为柯西不等式） ，是数p26学分析中最有用的不等式之一。此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式 （闵可夫斯基不等式）也是数学分 niiinini yxyx121212

11、 )(析中的经典不等式。2排序不等式先来看一个问题：设有 10 个人各拿一只水桶去接水，若水龙头注满第 个人的水桶需要 分钟，且这些iia各不相同。那么，只有一个水龙头时，应如何安排 10 个人接水的顺序，才能使它们等ia待的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？解决这一问题，就需要用到排序不等式的有关内容。在没有找到合理的解决办法之前，同学们可以猜测一下，怎样安排才是最优的接水顺序？为了解决这一问题，先来了解排序不等式。一般地，设有两组正数 与 ，且 ，na,21 nb,21 naa21. 若将两组中的数一对一相乘后再相加，则其和同序时最大，倒序时最小.即nbb21（ 倒 序 ）（ 乱 序

12、）（ 同 序 ）112121babanniii n其中 是 的任一个排列，等号当且仅当 或ii,2 , naa21时成立。n1下面采用逐步调整法证明排序不等式。证明：考察任意和式 。niii babas21若 是 ，则转而考察 ；1ib2i若 不是 ，而某一 是 。将 与 调整位置，得1i ki11ikink iikii babas 12则0)()()( 111 11 ikiikii kk这就是说，当把第一项调整为 后，和不会减少。同样，可将第二项调整为 ，ba 2ba，以此类推，即得证第一个不等式。同理可证第二个不等式成立。请思考：怎样用排序不等式解决上述最优接水问题？27设 是不同于 的一

13、个排列。若第一个接水的人拿的是需要 分钟1021,ii 10,2 1ia才能注满的水桶，则接这桶水 10 人共需等待 10 分钟；第二个接水的人拿的是需要1ia分钟才能注满的水桶，则接这桶水 9 人共需等待 9 分钟；如此继续下去，到第 102ia 2i人接水时，只有它一人在等，需要 分钟。按这样的顺序，10 人都接满水所需总时间为10i10 +9 +2 +1ia2i9ia10i不访设 ，而 ，由排序不等式得1 2 10921021 01921 aaaiiii 这就是说，按水桶的大小由小到大依次接水，10 人等待的总时间最少，这个最少的时间就是 .109210aa探究：如何利用向量递归方法讨论

14、排序不等式？练习 21设有两个有序数组 ， . 则对于 的任一naa21 nbb21 n,21个排列 ， 。nii,2 121 abiii n 2设 为正数，则 cba, .23bacc（不妨设 这时 。由排序不等式，,b1,ccacb两式相加即得。 ）.aa3 平均不等式我们知道两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即，对于三个正数的算术平均数与它们的几何平均数的关系，),(2为 正 数ba也曾作为探究性问题提出过。你有没有认真考虑过：对于三个正数、四个正数、甚至 n 个正数，都有类似的结果出现呢？下面我们就来研究这个问题。例 4 设 为正数。证明c,.33abca说明：该问题我们曾

15、采用比较法解决过，为让同学们加深对该不等式的认识和理解，28此处换一个角度来考虑。证明 由 5.2 节例 2，知23aba同样23ccba三式相加得。)()()()(2 22233 bacbccba 又 , 222 所以 .6)(33abca于是结论成立。当且仅当 时，等号成立。在例 4 中，将 换成 得到3,。abc即三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。更一般地，可以证明 n 个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。即设为正数，则na,21 .2121nnaa 当且仅当这 n 个数相等时，等号成立。这就是关于 n 个正数的算术平均数与几何平均数的著名不等式，通常称为平均不等式。

16、它有相当广泛的应用。例 5设 为正数。证明它们的算术平均数不小于它们的调和平均数，即na,21.12121 nna证明：要证 成立，nnaa2121 就是要证明 22121 nn29由平均不等式 ，可得nnaaa 2121.nnnn aa 21212121 ,两式相乘，即得.22121 aann练习 3已知 证明.,Rcba1 ).(22 cba2已知 求证：.,c.27)1)()(22 ccba并确定不等式中等号成立的条件。3 .9)( 2222 ba阅读材料：几个平均数的关系平均的概念，在人们的日常生活和生产实践中是经常遇到的。除了上述谈到的算术平均数和几何平均数之外，还常会用到另外两种平

17、均数，即平方平均数和调和平均数。设 为正数，则这 个数的平方和的算术平均数的算术平方根为na,21 n.aQn 221称为这 个数的平方平均数。平方平均数在概率统计及误差分析中有着重要的作用。n而 个正数的倒数的算术平均数的倒数为 .nnaaH112称为这 个数的调和平均数. 调和平均数在物理学中的光学及电路分析中有着较多nH的应用。通常又记 .,2121nnnn aGaaA 30则 , , 四个平均数的关系为： . nGAQnHnHGnAQ其中等号当且仅当 时成立。naa21习题 3A 组1 已知 ，求证1cba .3231cba2 已知 ，求 的最小值。23zyx2zyx3 已知 ， ，求

18、证841A 1624321xA.5604已知 都是正数，求证cba, .9)(2abba5已知 都是正数，求证 .7433ccc6已知 都是正数，求证dc, .44d7设 为正数。证明：na21.221nan8设 为正数，且na,21 .121n求证： .9用排序不等式证明： .ab210用排序不等式证明：设 为正数，则dc, .2badcdbca11车间里有 5 台机床同时出了故障，从第 1 台到第 5 台的修复时间依次为15、8、29、7、10 分钟，每台机床停产 1 分钟损失 5 元。那么按怎样的顺序修复，能使经济损失降到最低？说明理由。B 组12设 ，这里 为已知数。求 的最小值，并指

19、出其几何意义。1byaxba, 2yx13设 ABCD 为一梯形，其中 AB= ,CD= (如图) 。设 O 为其对角线的交点。证明：b（1） 与 的算术中项 由梯形的中位线表示； A B231（2） 与 的几何中项 由平行于两底且使梯形 OababABLK 与 KLCD 成相似形的线段 KL 表示；（3） 与 的调和中项 由平行于两底且过ba12O 点的线段 EF 表示； D C（4） 与 的均方根 由平行于两底且将梯形 ABCD 分为面积相等的ab2两个梯形的线段 MN 表示。14有两个同心圆盘，各分成 个相等的小格，外盘固定，内盘可以转动，内外两盘n小格中分别填有实数 和 ，且满足条件a

20、,21 nb,21和021na 0证明：可将内盘转到一适当位置，使两个盘的小格对齐，这时，两个盘的 个对应小n格内数字乘积的和为一正数。 （反证法）15试利用排序不等式证明柯西不等式的一般形式：设 n 为大于 1 的整数，为任意实数，则),21(,nibai.)(1212niiii ba3254 数学归纳法在数学的学习和研究中，常常会遇到一类与自然数有关的无限递推问题的命题，由于其涉及到无限多要考察的对象，不可能对每个对象都一一枚举来验证命题的真伪，这就需要用到我们将要学习的一种重要数学思想方法数学归纳法。1归纳法不论在数学上，还是在其他场合，从对一系列具体事物的考察中引出一般性结论的推理方法

21、（或过程） ，叫做归纳法（或归纳推理） 。人们从有限的经验中得出经验性的结论是屡见不鲜的，在此过程中会自觉不自觉地应用到归纳法。归纳法在数学新结果的预言、发现、证明等一系列研究活动中有着广泛的应用。例如，设一个数列的前 5 项是：.610,8,46,3,152 aaa通过考察：这些项中，从第二项起都是分数，分子都是项数的 2 倍，分母都比项数大1： ；1560,42,32, 5432 a而第一项也可以改写成一个分数 ，同样也具有这种特征；由此可以11a归纳出一个结论：该数列的通项公式 .n这里应用的就是归纳法。因为在这一推理过程中，只是考察了几个项所共同具有的特征，就做出了一般的项也具有这样的

22、特征的判断，所以通常也把这种推理方法叫做不完全归纳法。再如，二次函数41)(2xf当 取 0、1、2、3、4、5 等数时，计算的函数值为：x7145)(6332)(41022fff由此，可以得出一个结论：当 取 0 到 5 的整数时，函数 的值总x 41)(2xf是质数。这里应用的也是归纳推理。因为最后作出的判断，是考察了各种可能情况才归纳出来的，所以这种推理方法是完全归纳法，通常也把它叫做穷举法。应当注意，用完全归纳法所作出的判断，只要前提正确，推理过程中不发生错误，最后作出的结论也总是正确的；但是用不完全归纳法作出的判断，就不一定都是正确的。33例如，上面函数值为质数的问题，若归纳出“对一

23、切非负整数 的41)(2xf值都是质数”的结论，就是错误的。因为当 时，40x41)1(40)(2 f就是一个合数了，所以，不完全归纳法仅仅给我们提供了一个可能成立的结论。这一结论对于我们列举验证过的范围以外的情况是否能够成立，还有待于进一步的证明。阅读材料：不完全归纳法与数学研究由不完全归纳法所做出的结论可能真，也可能假，所以企图用不完全归纳法去证明数学命题是不会成功的。但也不能因此就否定不完全归纳法在数学研究中的合理地位。事实上，许多重要的数学命题都是应用不完全归纳法得出，然后再设法证明命题的真伪。例如，我们所熟知的“哥德巴赫猜想” （每个大于 2 的偶数都可以表示成两个素数之和） ， “

24、费马猜想” （对一切非负整数 n， 总是素数）等等。12nF法国数学家费马一生采用不完全归纳法提出了许多有价值的猜想而在数学界享有盛誉。它所提出的最著名的猜想：不定方程 ，当 时无整数解。nnzyx3此命题被称为“费马大定理” ，来源于 1621 年费马的读书眉批中。他在眉批中还声称：“我已经找到了这个命题的奇妙的证明，但此处地方太小，写不下。 ”但后人查遍他的手迹也没有发现这个“奇妙的证明” 。于是这个定理的证明任务就自然地落在了后人身上。在三百多年的漫长岁月里，许多杰出的数学家曾为完成它的一般证明而付出了艰巨的劳动。欧拉证明了 n=3、 4 的情况，勒让德和狄利克雷证明了 n=5，拉梅证明

25、了 n=7，1849 年德国数学家库默尔证明了 n100 的素数时命题皆为真。这一命题的证明之难度大大超出了当初人们的预料，使得这一问题成为数学史上最惹人注目的悬案被列为数学史上最著名的六大难题中最难的一题 1。值得指出的是，在证明费马大定理的过程中，人们提出了各种新的思想，创造了新的研究方法，甚至导致了新的数学分支的产生，大大推动了数学的发展。例如，库默尔在研究费马大定理中创造了“理想数论” ，为现代的代数数论奠定了基础。大数学家希尔伯特甚至说：即使得到了这个定理的证明方法，也不会公之于众，因为“不愿杀掉这只能为人们生出金蛋的母鸡” 。费马大定理终于由英国数学家韦尔斯（Andrew Wile

26、s）于 1993 年证明，他并因此获得了 1996 年度沃尔夫奖和 1998 年度菲尔茨特别贡献奖。毋庸置疑，不完全归纳法在数学研究中有着重要的作用，不管由不完全归纳法所得出的猜想最终能否解决，它对导致新思想、新方法的产生，从而推动数学的发展，都起着不可忽视的作用。当然，在我们重视不完全归纳法的同时，对于一些能够借助严密推理得出一般性结论的方法也应予以足够的重视。随后我们将讨论和自然数有关的一类数学命题的重要证明方法数学归纳法。2数学归纳法1 六大难题为：三等分任意角，倍立方，化圆为方，四色问题，哥德巴赫猜想，费马大定理。34（数学归纳法可以看成是完全归纳法的一种，它研究的对象是可以与自然数列

27、1，2，n，作成一一对应关系的所谓可数的对象，研究任务是在所有对象中归纳出某种共同属性，这种形式在命题中正好是用结论形式来表述。 ）用数学归纳法证明与自然数有关的命题 分两步进行：),(nP第一步，证明命题 成立，即证命题对于自然数列中的第一个数成立。这称为奠基。)1(P第二步，假设命题 成立，证明命题 成立。)(k)1(k完成以上两步就完成了证明。这是因为由第一步， 成立；由 成立与第二步，(P)1(成立；由 成立与第二步， 成立；。依此类推，对于任意的自然数 n，)2(P)2()3(P命题 成立。具体证法请看下面的例题。n例 1 证明（1）2333 )1(2nn证明 在 时， （1）的两边

28、都等于 1。 （1）显然成立。n假设在 时， （1）成立，即k（2）2333 )(kk在（2）的两边同时加上 得)(323333 )1()1()(21 kk)()(kk 42 2)(1k1+2+ 。k即（2）在 时也成立。n因此对于一切自然数， （1）成立。注：数学归纳法是一个非常有用的证明方法。其中第二步的假设（通常称为归纳假设）建立在第一步的基础之上。由于有了归纳假设命题 成立这个有力的条件，证明)(kP就方便多了。例 2 . 平面上有 n 条直线，其中每两条不平行，每三条不通过同一点。证明这 n 条直线把平面分成35)2(1)nf个部分。证明 n1 时，这一条直线把平面分成两个部分。而.

29、)1(2)f因此 n1 时，结论成立。假设结论在 时成立，即 k 条直线把平面分成k)()2f个部分。nk1 的情况就是在已有的 k 条直线的基础上，再增加一条直线 ，与前面的ak 条直线都相交，并且所得的 k 个交点互不相同（因为每三条直线不通过同一点） 。直线被这 k 个交点分成 k1 段（其中 2 段是射线，其余的是线段） 。每一段在原来的一个部a分中，并且将这个部分分成两个部分。因此现在平面被分成 2)1()(21)43(1)(2)( 22 kkf个部分。即 nk1 时，命题成立。因此命题对于一切自然数成立。练习 2(1)1 ).2(13)(432 nn2 ).3(2145 n3 .2

30、)1(2711 nn数学归纳法既可以用来证明等式也可以用来证明不等式。下面就来尝试利用数学归纳法证明一些和自然数有关的不等式。例 3 设 a，b 为正数。n 为自然数。证明（1）.)2(n证明 n1 时， （1）显然成立。假设 nk 时， （1）成立，即（2）kba)2(要证明 nk1 时， （1）成立，即（3）1)(kk在（2）的两边同时乘以 得2ba36（4）.)2(4)(1kkbaba要证明（3） ，只需证明（5）.4)(21kk（5） )()(1kkbaba0)( 11 kk011kk.)(kba因为 同正负（或同为零） ，所以最后一个不等式显然成立。于是不等式（3）,成立，即 nk1

31、 时， （1）成立。因此，对一切自然数 n，不等式（1）成立。例 4 设实数 为自然数。证明贝努利（Bernoulli）不等式x,（1）xn)(说明：通过前面的学习，我们已经对贝努利不等式有所了解，现在尝试用数学归纳法证明 n 取自然数的情况。证：n1 时， （1）显然成立。假设 nk 时， （1）成立，即（2）.)(kxk因为 所以 在（2）的两边同时乘以正数 1x 得,x0.)()1()1()1( 2kxkxk 即在 nk1 时， （1）成立。因此，对一切自然数 n，不等式（1）成立。练习 2（2） 为自然数,用数学归纳法证明以下不等式成立；1 .1n2 .2)6(5n阅读材料 1：37数

32、学归纳法的几种类型上面所介绍的数学归纳法往往称为第一数学归纳法，它的特点是在奠基步的基础上，通过假设 P(k-1)成立，得到 P(k)也成立。有时根据命题的特点，需要假设 P(k-1) 成立，从而得到 P(k)也成立，这往往被称为第二数学归纳法。此外，使用数学归纳法的过程中，有时根据演绎规则的需要，奠基步也会有相应的变化，比如所谓“跳步”数学归纳法和“倒序”数学归纳法。我们用具体问题说明如下：用数学归纳法证明：一个正方形可以划分为 n 个小正方形（不一定全等） ，其中 n=4或 n7.首先，当 n=4,7,8,9 时，有如下分法：一分为四、一分为四后将其中一份再一分为四、第一行第一列分出七个相

33、等的正方形、三等分成九个正方形。然后，假设 n=k 时命题成立，我们来说明 n=k+3 时命题也成立。实际上，只需要注意到上述 n=4 时的情形，再将其中一个小正方形根据假设划分为 k 个更小的正方形，于是n=k+3 时命题也成立。这就是所谓的“跳步”数学归纳法。“倒序”数学归纳法则是先证明命题结论对某一任意大的自然数 n 所对应的项正确，再推证命题结论对自然数 n-1 所对应的项也正确，从而断定：对于任何自然数 n，命题成立。 下面再用平均值不等式的证明为例，来说明“倒序”数学归纳法。我们熟知的平均值不等式指的是：对任意 n 个正数 都有,21nx等号当且仅当 时成立。,2121nnxxx

34、nx21当 n=2 时，不等式是显然成立的，由此，不难由第一数学归纳法归纳得到，对任意自然数 m，当 n=2m 时不等式也成立。假设当 n=k 时不等式成立，下面我们证明当 n=k-1 时不等式也成立，使得当 n 在 2m和2m-1之间取值的情形也得到了证明，从而不等式得证。注意到，,111 2121212121 n nnnn xxxxxx 整理，即得 ,111221nnx所以，n=k-1 时不等式也成立。阅读材料 2：数学归纳法的历史概况一般认为，历史上第一次成功地使用数学归纳法的人是 17 世纪的法国数学家帕斯卡（16231662） 。1654 年，帕斯卡第一次用数学归纳法证明了指数为正整

35、数时的二项式展开式的系数公式，用现在的组合公式的符号写就是 ，从而得nba)( 11rnrnC到著名的帕斯卡三角阵：11 1381 2 11 3 3 11 4 6 4 1这个三角阵是大家很熟悉的。我们都知道在中国叫杨辉三角形，宋代数学家杨辉早在 1261年的详解九章算法篡类著作中就提出了这个数阵，并在书中作注：“自释锁算数，贾宪用此术” ，而贾宪写黄帝九章算法细草约在 1200 年，只可惜他们都只是利用不完全归纳法的思想发现了这一规律，却并没有用数学归纳法给出严密的证明。继帕斯卡之后，数学归纳法开始成为数学家们得心应手的研究工具。如在费马、贝努利、欧拉、高斯这些大数学家们的出色工作中，都可以找

36、到运用数学归纳法的例子，而这都是皮亚诺完成自然数公理以前的事。可见，在建立自然数公理以前，人们对数学归纳法的合理性就已普遍认同。由于需要解决的数学问题的具体特点的不同，有时需要对数学归纳法进行种种变形，比如我们前面提到的“跳步”数学归纳法和“倒序”数学归纳法。而且，随着数学的不断发展，也产生了解决更为复杂问题的新的数学归纳法，例如“连续归纳法”和“超限归纳法”等。这就充分说明，数学归纳法是方便我们解决数学问题的一种工具，要在领会其基本思想的前提下灵活使用，僵化理解和生搬硬套不会产生良好的效果。我国著名数学家华罗庚先生曾写过一本数学归纳法 ，集趣味性与知识性于一体，是一本可读性极强的小册子。有兴

37、趣的同学可以阅读一下，以便从中了解有关数学归纳法更丰富的知识，一定可以获得许多意想不到的收获。习题 5。4A 组1 为自然数,用数学归纳法证明以下等式成立：n（1） 12213n（2） n1)()75（3） 64222 （4） 13)(311071 nn2有 n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆不相交于同一点，求证这 n个圆把平面分成 n2-n+2 个部分。3证明：三个连续自然数的立方和能被 9 整除。4证明：3 4n+2 +52n+1（n 为自然数）能被 14 整除。5证明：当自然数 时， 成立。41323n6证明：当 是 1，或者不小于 5 的自然数时，总有 成立。2n7设 为自

38、然数，求证： 。n 31874213nB 组398设有数列 求证：).1(2,:11nxxxnn ).1(2nxn9设 为自然数，求证： .5310要使不等式 成立， 可取哪些自然数？32n提示， =1 显然成立，除此之外，先通过试验，找出还能满足的最小自然数，然后利用数学归纳法证明 取比这个自然数大的乙炔自然数都能使这个不等式成立。405 5 不等式的简单应用在引言中，我们曾谈到日常生活中的一些现实问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?” 、 “电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”等。其实，这些都是和不等式有关的函数极值问题。前面介绍的一些重要不等式（特别是平均不等式、柯

39、西不等式）是求函数极值的重要工具，其中，不等式中等号成立的条件往往就是函数取得最大值或最小值的条件。本节主要就平均不等式、柯西不等式在求函数极值中的重要作用作些探讨。1利用平均不等式求函数的极值从算术平均-几何平均不等式.2121nnaaa 可以看出：（1）对任意 n 个正数 ，如果他们的和 是一个定值，n,21 San21那么，函数 在 时有最大值。nay21 na（2）对任意 n 个正数 ，如果他们的积 是一个定值，那n,21 Tn21么，函数 在 时有最大值。y21 n2例如，周长一定的矩形以正方形的面积为最大；面积一定的三角形以等边三角形的周长为最小。等问题的理论依据正是平均不等式。利

40、用上面的结论，导言中曾经提到的问题：“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？” ，就不难解决了。设正方形铁皮的边长是 ，要剪去的小正方形的边长是 ，ax那么制成的盒子的容积是 .)2(xV要使 这三个正数的乘积最大，就应当先看看xax,2,他们的和是不是一个定值，如果是定值，由上述结论就可以推得何时 最大。V但是， 却不是一个定值（含有变数） ，这就不能直接xa32)()(应用结论（1） 。不过，可以想办法将和“凑”成定值，注意到 ，而2)(41xaVaxax2)()2(4是一个定值。41可以知道，当 ，即 时

41、， 有最大值，因此，xax246a2)(4x在 时取得最大值。2)(1aV6这就是说，当四角剪去的小正方形的边长是原来正方形边长的 时，制成的盒子的容61积最大。这个最大容积.3227)(6)( aaxa由此可见，如果认为剪去的四个小正方形的材料越多浪费也就越多，也就是剪去的正方形越小，制成的盒子的容积就越大，这就是一种错误的想法。例 1. 在 x 取什么值时，函数 有最小值？最小值是多少？294xy解 由平均不等式.129422x其中等号当且仅当,2即 时成立。因此函数 在 时，取得最小值 12。26x 294xy6例 2. 一个矩形铁片，尺寸是 80cm 50cm。要在四角各裁去一个同样大

42、小的正方形，做成无盖的盒子。正方形的边长是多少时，盒子的容积最大？解 设正方形的边长为 x cm，盒子的容积为 V 则,3cm)250)(8(V).25(40xx虽然 x，40x，25x 都是正数，但直接应用平均不等式却不能得出最大值。应用平均不等式求最大值需要两个条件：（1）各个因数的和等于常数。 （2）各个因数可以相等。现在这两个条件都不满足。为了满足这两个要求 我们将三个因数分别乘以 3，1，2 变成3x，40x，502x。它们的和是.90)25()40(3x并且x有解，解是 。因此由平均不等式得1，180)3250()4(32)50()4(32 3 xxV所以在 x10 时，V 取得最

43、大值 18000。本题的困难在将三个因数分别乘以 3，1，2，使得两个条件（1） ， （2）同时满足。423，1，2 这三个数可以用待定系数法定出。即将 40x，25x 分别乘以 1，a。这时为了满足条件（1） ，x 应当乘以 a1。为了满足条件（2） ，).5(40)(x由这个方程得.12x解出 或 。后一个值大于 25，应当舍去。将 代入上面的方程得 。10310x2a练习 1 （1）1若 ，试求 的极值。4yxyxlg2证明：表面积为定值的长方体中，体积最大的是立方体；体积为定值的长方体中，表面积最小的是立方体。3制造容积一定的圆柱形饮料瓶，怎样选取底面半径及高的比，才能使用料最省？引言

44、中曾提到“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”的问题，现在我们可以利用平均不等式来解决这一问题。例 3. 电灯挂在桌子（圆）的上空，假定它与桌面上 A 点的水平距离是 。那么电灯a距离桌面的高度 等于多少时，A 点最亮？（图） （注： A 点的亮度 与该点对电灯的仰角h I的正弦成正比，而与 A 点到电灯的距离的平方成反比，即 ，这里 是常数.x 2sinrxkk）解：从图中可以看出， ，因此xarcoskI22in1由于 与 同时取最大值，而2xaI424cosi这里 是一个常数，所以只需求函数 在什么时候有最大值。因为42k x42cosin=x42cosin si22其中 ，可知1si2

45、22x432743cos2sin42cosin4 322 xxx当且仅当 ，即 ， 时， 有最大值。cssi22x1osin22tanxI此时， ， 。ahtn 47kI所以，把电灯挂在距离桌面 的高度时，A 点最亮。2练习 1（2）1重量是 W 的重物挂在杠杆上距支点 a 处，杠杆每单位长度的重量为 m。杠杆应当多长，才能使得加在另一端用来平衡重物的力 F 最小？（设杠杆的长度是 x 单位，那么，杠杆的重量是 mx。因为 F、W、mx 三个力对于支点的力矩的总和是零，即Fx-Wa-mx =0,就是 F= ）2 xm22一幅画挂在墙上，画的上下边沿处比观察者的眼睛高 a 及 b 厘米。问观察者

46、在离墙多远的地方看画，才能使视角最大？2利用柯西不等式求函数的极值在求多个变数的函数的极值时，可以利用柯西不等式。例 1设变数 x，y，z 满足条件（1）623求函数 的最大值。并求出 S 取最大值时，x、y、z 的值。zS5解 由柯西不等式， 22 )6253()62( zzyx )5()3222 zyx.964所以函数 S 的最大值是 。并且在2446253zyx即（2）65zyx时，S 取最大值。为了求出同时满足（1） ， （2）的 x，y，z，可令（2）中分式的值为 k，则 .,2,3kzykx代入（1）得（3）.6)(5)(2解（3）得 所以，在.96k2936,15,24zyx时，函数 S 取得最大值 .注 在 时，函数 S 取得最小值2936,15,294zyx .29求函数的极值还可以利用二次方程的判别式。例 2把一条长是 的绳子截成三段，各围成一个正方形。怎样截法使得这三个正方m形的面积的和最小？解：设三段的长度为 那么， 是一个定值。三个正方形的面积的.,zyxmzyx