1、11.求下列复合函数的偏导数或导数. (1) 求2ln,32,uzxyvv,.zu解: 12ln3.zxzyxxuuv2 22lnl()().xuyvxyvyv(2) 求 解: 令(,)uf,.ux,(,)(,)(,)(,).ststustffsfxfsxy(3) 求 解: 令(,)xyfz,.z,.xytz2 2,.sst tftxffyfuuzz2. 设 其中 f 为可微函数,验证:2,()fxy 21.zxy解: 令2,()zxf2 2222()()()().zffyfxyfxyy f 2 2222211().()(),()f fxzxyxfxyyfxy 3设 其中 为可微函数，证明：s
2、inisn,zfysec1.zxy解： (sin)cos,zfxyx (in)cos,zyfec(in)cose(in)cose1.fxyfxyy 4设 可微，证明：在坐标旋转变换(,)fxycosin,sicosxuvyuv之下， 是一个形式不变量.即若2()xyf(,)(csi,scs),gvfvv则必有 22()().xyuvf证: (,)(,)cos(,)sin,uxygvffx(,)(,)sin(,)cos(,)sin(,)cosvxyxygufyfxffx222 2 2(,)(,)(,)cos(,)sin(,)sin(,)cosuvxyxyguffxffx22.5. 设 是可微函数
3、, 试求()f(,)()(3)Fxtftfxt(0,)(,).xtF与解: 3xFtfuf,2tu故 (0,)(0)4()f0,.tF6.(1) (2) ,.pqrxyzue ,),.xyzfxyz解: (1) 设 则 由数学归纳法得(1),xyzzx(),kxyzue1(1),kxyzke进而有().pxyzue()().pqr xyzpqrxyz(2) 令 ,vw,wxuv221()()()2.uv wuwwxuvvuwuvuvvzzzzzzyyyyyy y 2 2 22 23()1()().uwv wxyuvvu uvwv wvxxxz zyzzy7. 设 证明:(,)cos,in,uf
4、xyrr2221.rrxy证: ,(,)i,xyffxr2cos(,cos,sin)i(,)cos(,)sinxxy yxyuffffx2 2,)(,)ico,in.xxyyfyff(sinsurr222,)i(,)incos(,)cos (scoinxxy xy yfffrrr.222,)in(,)s(,)s(,)cos(,)sinxyxy xyfffrfyrfxr3221(,)(,).xyuuffxrr8.设 证明:2221(), ,nf 221 1.nuuduxxrr证: (),12,).iiurfnxx由 得,2221nr ,(12,).iii xrnxr2 222()()()(),(
5、1,).i iii i iu rrfrfffnxxxx 222,iiiirrx(1,)n所以 22222 2111 ()(1)() ).nniiin xuufrnfrfrxfrxx 9.设 证明:(),rvgtc为 常 数 22.ryz2.xyztvvc证: 由 得 两边对 求偏导，得22,rxyz22,rz,xr.xr因 则1(),rvgtc32()(),xvgtgtrcrc由对称性，有 32()(),yytt.zrzrvggcc（1）222254433()()()(),xrrxxxrvgtttgtcrc（2）22225443()()()(),y yyrytgtgttrrcc4（3）2222
6、54433()()()(),zrzrzrzrzrvgtgtgtgtcccc(1)+(2)+(3),得 21().xyzrvt显然有 (),tgtrc所以 21.xyztvv10通过对 施用中值定理，证明对某 有(,)sincoFxyy(0,)3cossin.4636证： 在 可微.由二元函数中值定理:(,)sicxyy2R(,)(0,)(,)(,)36xyFFF而 故有3(,),(0),64Fcossinx yyx.4363611. 求下列函数在指定点处的泰勒公式: *(1) 在点(1,1)( 到三阶为止); (2) 在点(0,0).(,),xfy(,)ln(1),fxyxy解: (1) 2
7、231 2(,),(),()0,(),(),xyxxyyxfffff(,)0,(,)0,xyff3426(,),(,),xyyffy32()(,)(,)0,xxyxyfff34562(,),().xyyxff231,1,1,1,1,xyxyxyyfffffff所以232()()()0xxxy 323 4451,1, (),(01).)(hkhfyfhkhk k（2） 设 则ln(),zuxy2 11()!()!,(,)(.rrrrxx r rxddzdzfyffyuuuxy5所以1()!(,),.rsppxyf rsxy1(0,)()!,.rspxyf rs故 ,11 1()(,)ln()()
8、pnnpn nf xy (0).12. 证明:函数 为常数)满足热传导方程:2()41,xbatue2.uatx证 2()243(),8xbatuxbetat22 2222()4() ()4 43()()24423()4232521,1,1)()18xbatxb xbat atxbxbat atxbatueex ttettta 2(,故有2.uatx13. 证明函数 满足拉普拉斯方程:22ln()()ayb20.uxy证 令 则22()(),vxayb221ln()()ln,uxaybv221,(),dvuxax 2211(),(),uybybyvvv62 2222111()()uxaybxy
9、vvv220.yb14. 证明 满足拉普拉斯方程(,)ufxy20,uxy则 也满足此方程.22(,)xyvf证 令 则22,stxyxy20,ust222,()()xy23(),sxy2,()txy22(3),txy,vust222222()(),vust sututxxxstxx222222()(),tuttysyystyy15. 设函数 ,证明()uxy22.uuxyx证 (),x2()(,yy()(,uy2(),ux所以722()()(.uuxyxyxy16. 设 和 都在点 的邻域内存在, 在点 连续,证明 也存在,且,fxf0)yxf00()xyf00(,)(,).xyyxff证
10、由定理 17.7 证明知(P131 第(6)式), 有0000001212(,)(,)(,)(,),yxfyfxyfxyfx因 在 连续,所以(,)yxf0)0000001220(,)(,)(,)(,)lim,xy yxfffxyfxxy又 00000000(,)(,)(,)(,)li, ,1m (,)(,)xxxfffxyfxyy xyyff再由 在 连续,得(,)yxf0)y0002001lim(,)(,)lim(,)(,)xxyxyxyfyfff即 0(,)(,).xyyxff17. 设 在点 的邻域存在且在点 可微,则有0 0()xy0(,).xyyxff证 000000(,)(,)(
11、,)(,)(,)Fxyfffxyfx由定理 17.7 的证明 P130 倒数第 9 行,及 在点 的邻域存在且在点 可微,当 充分小时，xyf y有 01001001 1012 31012(,)(,)(,),)(,), (,)x xx x xyxyyffyfffyx 3,8其中 （当 时） ，所以1230,0,xy（1）01231()(,),xyFxxfyy同理有（2）01223(,)(,),yxfxx其中 （当 时） 。1230,x于是令 由（1） ， （2）式即得y00(,)(,).xyyxff18. 设 221,uxyz求: (1) (2) (3) ;xyzu;xyzu.xyz解: 22222010110,xyz yxzyxz2()(),zyzz22222101011,yux xyzzxyzy2,yx2222210101,zu xzyzxyzxzyz2,2211()(),xuxyzxyyz92211()(),yuyzxyzxzx22()(),z所以, 0,xyzu2223()()(),xyzuxzyx110.xyzyz
