1、2.6 幂函数1幂函数的概念一般地，函数_叫做幂函数，其中 x 是自变量， 是常数2幂函数的图像与性质由幂函数 yx、y 、yx 2、yx 1 、yx 3 的图像，可归纳出幂函数的如下性质：1(1)幂函数在_上都有定义；(2)幂函数的图像都过点_；(3)当 0 时，幂函数的图像都过点_与_，且在(0，)上是_；(4)当 g(x)；f(x)g( x)；f (x) f(a1)的实数 a 的2取值范围3.利用转化思想求参数范围试题：(12 分) 若函数 f(x) (x 2mx1) 0 的定义域为 R，求实数 m 的3-24+)m取值范围审题视角 (1)从幂函数的视角看，幂指数为 .f(x)的定义域为
2、 R，转化为34mx24xm20 恒成立，且 x2mx10.(2)mx 24xm20 恒成立转化为ymx 24xm2 开口向上，且与 x 轴无交点规范解答解 设 g(x)mx 24x m2， h(x)x 2mx1， 原题可转化为对一切 xR 有 g(x)0 且 h(x)0 恒成立由得Error! 3 分即Error! Error!m 1 . 6 分5由得 2(m) 240 且 h(x)0恒成立是解题的关键(2)不等式恒成立问题，可利用数形结合思想，如 g(x)0 和 h(x)0 在 R 上恒成立作进一步转化 (3)易错分析：第一，不能将问题转化为mx24xm20 恒成立问题，也就是缺乏转化的意
3、识；第二，易忽略 x2mx10 的隐含条件，致使范围扩大.方法与技巧1幂函数 yx (R)，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如 yx1， yx 22x 等都不是幂函数2比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与 0,1 等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一 组内的各数再利用相关方法 进行比较，最终确定各数之间的大小关系3幂函数 yx 的图像与性质 由于 的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)0 时，图像过(0,0)， (1,1
4、)在第一象限的图像上升；1 时，曲 线下凸；01mnCm 是偶数，n 是奇数，且 1mn3(2011陕西)函数 y 的图像是 ( )13x二、填空题4若幂函数 y( m23m3) 的图像不经过原点，则实数 m 的值为_2mx 5已知 ax ，b ，c ，x(0,1)，(0,1)，则 a，b，c 的大小顺序是a1a_6若(a1) 3f(x 3)B 组 专项能力提升题组一、选择题1设 a ，b ，c ，则 a，b，c 的大小关系是 ( )253()35()25()Aa cb BabcCcab Db ca2已知幂函数 f(x)(t 3t 1) (tN) 是偶函数，则实数 t 的值为 ( )2735t
5、xA0 B1 或 1C1 D0 或 13若函数 f(x)Error!，则不等式 f (x) 的解集为 ( )13 13A1,2) 3，)B(，31，)C.32， )D(1， 3，)3二、填空题4函数 y(m 2m1) 是幂函数且在 x(0 ，)时为减函数，则实数 m 的值为23mx _5已知函数 f(x)x (01，则 f(x)1；若 00 时，若 f(x1)f(x2)，则 x1x2；若 00，使函数 g(x)1qf(x)(2 q1)x 在区间1,2 上的值域为 4， ？若存在，求出 q；若不存在，请说明理由178答案要点梳理1yx 2(1)(0 ， ) (2)(1,1) (3)(0,0) (
6、1,1) 递增的 (4)递减的3(2)定义域：R R R 0，) x|xR 且 x0值域：R 0，) R 0，) y| yR 且 y0奇偶性：奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数单调性：增 x0 ，)时，增；x ( ，0时，减 增 增 x (0，)时，减；x( ，0)时，减基础自测1二、四 2. 3. 4.D32题型分类深度剖析例 1 解 y(m 22m 2) (2n3)为幂函数21xm 22m21 且 2n30.m3，m1 且 n .32又 m210，m3 且 n .32变式训练 1 解 (1)若 f(x)是正比例函数，则Error!，解得 m1.当 m1 时，f(x )为正比例函数
7、(2)若 f(x)为反比例函数，则Error!，解得 m1.当 m1 时，f(x )为反比例函数(3)若 f(x)为二次函数，则Error!，解得 m . 1 132当 m 时，f(x)为二次函数 1 132(4)若 f(x)为幂函数，则 m22m1，解得 m1 .2当 m1 时，f(x)为幂函数2例 2 解 (1)设 f(x)x ，其图像过点( ，2)，故 2 ( )，2 2解得 2，f(x)x 2.设 g(x)x ，其图像过点 ， 2 ，(2，14) 14解得 2， g(x)x 2 .(2)在同一坐标系下作出 f(x)x 2 与 g(x)x 2 的图像，如 图所示由图像可知：f(x )，g
8、(x)的图像均过点( 1,1)与(1,1)当 x1 或 xg( x)；当 x1 或 x1 时，f(x )g(x) ；当10，即 m23m4 .(-)1(-)(2) ，由于函数 y 在(0， ) 上是减函数， ，139313x 1-389 30.7.(2)函数 yx 3 是增函数， 0.21 3 ，12.81 .3(4) 1；032a0或 0a132a 或 a1f( a1) 得Error!解得 1a0，1 n2 2n 3n 22n30，解得1f(x3)转化为 x2xx3.解得 x3.原不等式的解集为(，1)(3 ， ) B 组1A 2.B 3B 42 5 6(0，) 78解 (1)f(2)0 ，解得10 满足题设，由(1)知g(x)qx 2(2q1)x1，x 1,2g(2)1，两个最值点只能在端点(1，g(1)和顶点( ， )处取得2q 12q 4q2 14q而 g(1) (23q)4q2 14q 4q2 14q 0， g( x)max ，4q 124q 4q2 14q 178g(x)ming(1)23q4.解得 q2.存在 q2 满足题意
