1、加入 QQ 群：259315766，2013 年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑12002 年-2011 年广东省深圳市中考数学试题分类解析汇编专题三角形锦一、选择题1. （深圳 2002 年 3 分）下列两个三角形不一定相似的是【 】A、两个等边三角形 B、两个全等三角形C、两个直角三角形 D、两个顶角是 120 的等腰三角形【答案】C。【考点】相似三角形的判定，等边三角形、直角三角形、等腰三角形和全等三角形的性质。【分析】根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质进行分析，从而得到答案：A 相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定；B 相似，因为全等三角形是特殊的相似三角形；C
2、不相似，因为没有指明其另一锐角相等或其两直角边对应成比例；D 相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的的判定。故选 C。2.（深圳 2003 年 5 分）计算： 的结果是【 】60tan3cos45tA、1 B、 C、2 -3 D、13132【答案】A。【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。【分析】根据特殊角的三角函数值计算：cot45=1，cos60= ，cos30= ，tan60= ，12323原式= 。故选 A。1233.（深圳 2003 年 5 分）如图，直线 l1/l2，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，则 AE：EC 是【 】A、5：2 B、4：1 C、2：1 D、3：
3、2【答案】 C。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】如图所示，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，G A l1l2F EB C D加入 QQ 群：259315766，2013 年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑2AB CD设 AF=2x，BF=3x，BC=2y，CD=y。由 l1/l2，得AGFBDF， ，即 。AG=2y。AGFBD 2x3y由 l1/l2，得AGECDE， 。故选 C。E 1C:4.（深圳 2006 年 3 分）如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到处时，测得影子CD 的长为米，继续往前走 2 米到达处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是
4、1.5 米，那么路灯 A 的高度 AB 等于【 】4.5 米 6 米 7.2 米 8 米 【答案】B。【考点】相似三角形的应用， 解二元一次方程组。【分析】如图，设 AB=x 米，BC= y 米，则 BC=y1 米，BF= y5 米。由ABDGCD 和ABFHEF 得，即 ，解得 。ABDGCFHEx1.5y.2 x=6y3路灯 A 的高度 AB 等于 6 米。故选 B。5.（深圳 2010 年学业 3 分）如图，ABC 中，ACADBD，DAC80，则B 的度数是【 】A40 B35 C25 D20【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理。【分析】ABC 中，A
5、C=AD，DAC=80，ADC= （18080）2=50。AD=BD，ADC=B+BAD=50，B=BAD=（ 502）=25。故选 C。6.（深圳 2011 年 3 分）如图，小正方形边长均为 1，则下列图形中三角形(阴影部分)与ABC 相似的是【 】加入 QQ 群：259315766，2013 年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑3【答案】B。【考点】相似三角形的判定。【分析】如 B 图EFG 和ABC 中，EFG=ABC=135 0， AB2C2 , EF1GF， ABC EFG。实际上， A，C，D 三图中三角形最大角都小于ABC，即可排它，选 B 即可。 EFG7.（深圳 201
6、1 年 3 分）如图，ABC 与DEF 均为等边三角形，O 为 BC、EF 的中点，则 AD：BE 的值为【 】A. :1 B. :1 C.5:3 D.不确定 2【答案】A。【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】连接 AO，DO。设等边ABC 的边长为 ，等边ABC 的边长为 。abO 为 BC、EF 的中点，AO、DO 是 BC、EF 的中垂线。AOC=DOC=90 0，AOD=180 0COE。又BOE=180 0COE，AOD=BOE。又由 AO、DO 是 BC、EF 的中垂线，得OB= ，OE= ，OA= ，OD= 。从而12ab32ab。AD：BE= :1。故选
7、A。 3OAODOAD , , BOE11BEBE22ab。 3二、填空题1.（深圳 2002 年 3 分）如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 的中点，若 SADE =1，则 SABC = 。【答案】4。【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】根据三角形中位线定理和相似三角形的相似比求解：E 分别是ABC 的边 AB、AC 的中点，DE 是中位线。加入 QQ 群：259315766，2013 年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑4DE BC。ADEABC，且相似比为 1：2。12S ADE =1，S ABC =4。2.（深圳 2004 年 3 分）计算：3tan
8、30cot452tan452cos60= .【答案】 。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】运用特殊角的三角函数值求解：3tan30cot452tan452cos60= 。31233.（深圳 2005 年 3 分）如图，已知，在ABC 和DCB 中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使ABCDCB，则还需增加一个条件是 。【答案】AB=DC 或ACB=DBC。【考点】全等三角形的判定。【分析】要使ABCDCB，已知有两对边对应相等，AC=BD，BC=BC，则可根据全等三角形的判定方法添加合适的条件即可：可添加 AB=DC 利用 SSS 判定ABCDCB；可添加ACB=DBC 利用 SAS
9、 判定ABCDCB。4.（深圳 2006 年 3 分）在ABC 中，AB 边上的中线 CD=3，AB=6，BC+AC=8，则ABC 的面积为 【答案】7。【考点】三角形的中线定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理。【分析】根据条件先确定ABC 为直角三角形，再求得ABC 的面积：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，CD=3，AB=6，AD=DB=3，CD=AD=DB。1=2，3=4。1+2+3+4=180，1+3=90。ABC 是直角三角形。AC 2BC 2=AB2=36。又ACBC=8，AC 22ACBCBC 2=64。2ACBC=64（AC 2BC
10、 2）=6436=28。ACBC=14。S ABC = ACBC= 14=7。15.（深圳 2007 年 3 分）直角三角形斜边长是 ，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是 6加入 QQ 群：259315766，2013 年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑5 【答案】9。【考点】直角三角形斜边上中线的性质。【分析】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得此圆的半径，从而求出圆的面积：圆的半径=62=3，则面积=r 2=9。6.（深圳 2010 年学业 3 分）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60 方向上，航行半小时后到达 B
11、 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东30 方向上，那么该船继续航行 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置【答案】15。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题） ，垂直线段的性质，平行的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，含 30 度角直角三角形的性质。 【分析】过点 M 作 MCAB 于点 C，由垂直线段的性质，知渔船到达离灯塔距离最近的位置即为点 C。由两直线平行，内错角相等的性质，得ADB=60，从而由DBM=30 和三角形外角定理，得DMB=DBM=30。因此根据等腰三角形等角对等边的判定，得 AB=MB。设渔船航行的速度为 v 单位/分钟，则由已知 MB= AB=30v 单位。在 R
12、tBCM 中，MCB=90，MBC=30，则 BC= MB=15v 单位。则渔船从 B 处航行到 C 处所用时间为12=15 分钟。即该船继续航行 15 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。15v7.（深圳 2010 年招生 3 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离灯塔 海里的402A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 300 方向上的 B 处，则海轮行驶的路程 AB 为 海里（结果保留根号） 【答案】40+ 。403【考点】解直角三角形的应用（方向角问题） ，平行的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由平
13、行的性质和等腰直角三角形的判定，知APC 为等腰直角三角形，由 AP= ，根据勾股定理，402得 AC=PC=40；A BM北M北M30 M60 M 东CDA BM北M北M30 M60 M 东加入 QQ 群：259315766，2013 年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑6由平行的性质，得B=30 0，由锐角三角函数定义，得 CB= 。PC403Btan因此，AB=AC+CB=40+ （海里） 。43三、解答题1.（深圳 2003 年 12 分）如图，已知ABC，ACB=90，AC=BC，点 E、F 在 AB 上，ECF=45，（1）求证：ACFBEC （8 分）（2）设ABC 的面积为
14、 S，求证：AFBE=2S （4 分）（3）试判断以线段 AE、EF、FB 为边的三角形的形状并给出证明【答案】解：（1）证明：AC=BC，ECF=45ACB=90，A=B=45，AFC=45+BCF，ECB=45+BCF。AFC=ECB。ACFBEC。（2）ACFBEC， ，即 AFBE=ACBC。ACFBE又 S ABC = ACBC，AFBE=2S。12（3）直角三角形。证明如下：由（2）可知 AFBE=ACBC= AC2= AB2。1设 AE=a，BF=b，EF=c则 (a+c)(b+c)= (a+b+c)2，化简即得 a2+b2=c2。1所以以线段 AE、EF、FB 为边的三角形是以
15、线段 EF 为斜边的直角三角形。【考点】相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理。【分析】 （1）对应角相等，两三角形相似。（2）根据相似三角形的性质证明 AFBE=ACBC=2S；（3）由（2）的结论，求出 AE、EF、FB 的数量关系，应用勾股定理的逆定理即可证明。本题还有以下证明方法：方法 1：将ACE 绕 O 顺时针旋转 90到CBG，边角边证明三角形全等，得出 FG=EF，再证明FBG 为直角三角形，得出三边构成三角形的形状。 方法 2：将ACE 和BCF 分别以 CE、CF 所在直线为轴折叠，则 AC、BC 的对应边正好重合与一条线段AEFBC加入 QQ 群：259
16、315766，2013 年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑7CG，连接 GE、GF，则FEG 是直角三角形。2.（深圳 2005 年 8 分）大楼 AD 的高为 10 米，远处有一塔 BC，某人在楼底 A 处测 得踏顶 B 处的仰角为 60，爬到楼顶 D 点测得塔顶 B 点的仰角为 30，求塔 BC 的高度。【答案】解：作 BEAD 的延长线于点 E，设 ED= x，在 RtBDE 中，BE= DE= ，3x在 RtABE 中，AE= BE=3x，由 AEED=AD 得：3xx=10 ， 解之得：x=5。所以 BC=5+10=15。答：塔 BC 的高度为 15 米。【考点】解直角三角形的
17、应用（仰角俯角问题） 。【分析】过点 B 作 BEAD 交 AD 延长线于点 E，构造两个直角三角形。设 DE=x，分别求解可得 AD 与 DE 的值，再利用 BC=AD+DE，即可求出答案。3.（深圳 2007 年 7 分）如图，某货船以 海里时的速度将一批24重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 的方向上该货船航行 分钟后到达 B 处，此时再测得该岛60 30在北偏东 的方向上，已知在 C 岛周围 海里的区域内有暗礁若3 9继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由【答案】解：如图，在 RtABP 中，AB=240.5=12，BAP=90 0
18、60 0=300，AP= ，BP= 。01283cos4易求，PCB=PBC=30 0，PC= BP= ，AC= 。312过点 C 作 CQAM 于点 Q，则 CQ= 。6 ，货船继续向正东方向行驶无触礁危险。936DA CBDA CBE北60 30ABM加入 QQ 群：259315766，2013 年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑8【考点】解直角三角形的应用（方向角问题） ，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，等腰三角形的判定。【分析】应用锐角三角函数求出点 C 到直线 AM 的距离，与 海里比较即可。94.（深圳 2009 年 6 分）如图，斜坡 AC 的坡度（坡比）
19、为 1: ，AC10 米坡3顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连，AB14 米试求旗杆BC 的高度 【答案】解：延长 BC 交 AD 于 E 点，则 CEAD在 RtAEC 中，AC10， 由坡比为 1 可知：CAE30，3 CEACsin3010 5，12AEACcos3010 。3在 RtABE 中，BE 11。2ABE2214(53) BEBCCE， BCBECE11-56（米） 。 答：旗杆的高度为 6 米。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题） ，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】延长 BC 交 AD 于 E 点，则 CEAD，
20、要求旗杆 BC 的高度，只要求出 BE 和 CE 的高度即可。解 RtAEC和 RtAB 即可得出结果。5.（深圳 2010 年学业 7 分）如图，AOB 和COD 均为等腰直角三角形，AOBCOD90，D 在 AB 上（1）求证：AOBCOD；（4 分）（2）若 AD1，BD2，求 CD 的长 （3 分）【答案】解：（1）证明：DOB=90AOD，AOC=90AOD，DOB=AOC。OC=OD，OA=OB，AOCBOD（SAS） 。（2）AOCBOD，AC=BD=2，CAO=DBO=45。CAB=CAO+BAO=90，CD= 。22ACD 1 5【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定
21、和性质，勾股定理。ABCDABCD EABCDO加入 QQ 群：259315766，2013 年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑9【分析】 （1）因为AOB=COD=90，由等量代换可得DOB=AOC，又因为AOB 和COD 均为等腰直角三角形，所以 OC=OD，OA=OB，则AOCBOD。（2）由（1）AOCBOD，所以 AC=BD=2，CAO=DBO=45，由等量代换求得CAB=90，则根据勾股定理 CD= 可求。 2ACD6.（深圳 2010 年招生 8 分）阅读下列材料：正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形数学老师给小明出了一道题目：在图一
22、1 正方形网格（每个小正方形边长为 1 ）中画出格点ABC ，使ABAC ，BC ；52小明同学的做法是：由勾股定理，得 ABAC ，BC ，于是画出线段 AB 21521、AC、BC，从而画出格点ABC（1）请你参考小明同学的做法，在图一 2 正方形网格（每个小正方形边长为 1 ）中画出格点ABC（A点位置如图所示） ， 使 ABAC5，BC （直接画出图形，不写过程） ；0（2）观察ABC 与ABC 的形状，猜想BAC 与B A C有怎样的数量关系，并证明你的猜想【答案】解：（1）格点ABC如图（一个即可）：（2）猜想：BAC=B A C。证明如下： ， 。 。ABC5=B2510ABC=ABCABC。BAC=B A C。【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）由勾股定理可作图形。加入 QQ 群：259315766，2013 年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑10（2）由三边对应成比例的判定可得ABCABC，从而根据相似三角形对应角相等的性质即可得到BAC=B A C。
