1、直线、平面垂直的判定和性质【考纲要求】1、掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理； 2、掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。【知识网络】【考点梳理】考点一、直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 与平面 垂直；l l2、判定定理：（1）内容：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；（2）符合语言：labl3、证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用平行线垂直于平面的传递性（3）利用面面平行的性质（4）利用面面垂直的性质。直线、平面垂直判
2、定定理性质定理线面垂直面面垂直判定定理性质定理要点诠释：当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直。考点二、直线与平面垂直的性质1、 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。2、 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面。考点三、平面与平面垂直的判定1、二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。2、平面与平面垂直（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个
3、平面互相垂直；（2）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；（3）符号语言： a3、证明面面垂直的主要方法是：利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论。用定义证明。只需判定两平面所成二面角为直二面角。客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。考点四、平面与平面垂直的性质1、判定定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 2、符号语言： =,laa，要点诠释：立体几何中垂直问题的证明，通常是从线线垂直切入，然后向线面垂直或面面垂直
4、延伸。【典型例题】类型一、直线与平面垂直的判定例 1、如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，B 1C1=A1C1，AC 1A 1B，M、N 分别是A1B1、 AB 的中点 .（1）求证：C 1M平面 A1ABB1；（2）求证：A 1BAM；（3）求证：平面 AMC1平面 NB1C；（4）求 A1B 与 B1C 所成的角.（1） 【证明】方法一 由直棱柱性质可得 AA1平面 A1B1C1，又C 1M 平面 A1B1C1，AA 1MC 1.又C 1A1=C1B1，M 为 A1B1中点，C 1MA 1B1.又 A1B1A 1A=A1，C 1M平面 AA1B1B. 方法二 由直棱柱性质得：平面
5、AA1B1B平面 A1B1C1，交线为 A1B1，又C 1A1=C1B1，M 为A1B1的中点，C 1MA 1B1于 M.由面面垂直的性质定理可得 C1M平面 AA1B1B.（2） 【证明】由（1）知 C1M平面 A1ABB1，C 1A 在侧面 AA1B1B 上的射影为 MA.AC 1A 1B，MC 1A 1B，MC 1AC 1=C1，A 1B平面 AMC1，又 AM 平面 AMC1，A 1BAM.（3） 【证明】方法一 由棱柱性质知四边形 AA1B1B 是矩形，M、N 分别是 A1B1、AB 的中点，AN B1M.四边形 AMB1N 是平行四边形./AMB 1N.连接 MN，在矩形 AA1B
6、1B 中有 A1B1 AB./MB 1 BN，四边形 BB1MN 是平行四边形.BB 1 MN.又由 BB1 CC1，知 MN CC1./ /四边形 MNCC1是平行四边形.C 1M CN.又 C1MAM=M，CNNB 1=N，/平面 AMC1平面 NB1C.方法二 由（1）知 C1M平面 AA1B1B，A1B 平面 AA1B1B，C 1MA 1B.又A 1BAC 1，而 AC1C 1M=C1，A 1B平面 AMC1.同理可证，A 1B平面 B1NC.平面 AMC1平面 B1NC. (4)【解析】 方法一 由（2）知 A1BAM，又由已知 A1BAC 1，AMAC 1=A，A 1B平面 AMC
7、1.又平面 AMC1平面 NB1C，A 1B平面 NB1C.又 B1C 平面 NB1C，A 1BB 1C.A 1B 与 B1C 所成的角为 90.方法二 由直棱柱的性质有平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，又 CA=CB=C1A1，N 为 AB的中点，CNAB.CN平面 AA1B1B.CB 1在侧面 AA1B1B 上的射影是 NB1.又由（2）知 A1BAM，由（3）知 B1NAM，A 1BB 1N，CNA 1B，A 1B平面 B1NC，又 B1C 平面 B1NC，A 1BB 1C.A 1B 与 B1C 所成的角为 90.【总结升华】证明线面之间的垂直关系，要注意在各个阶段以某一直线
8、为主线进行推理，以使推理过程清晰、明朗.举一反三：【变式】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明：(1)CDAE；(2)PD平面 ABE.证明 （1）在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，CD 平面 ABCD，PACD.ACCD,PAAC=A，CD平面 PAC.而 AE 平面 PAC，CDAE.（2）由 PA=AB=BC， ABC=60，可得 AC=PA.E 是 PC 的中点，AEPC.由(1)知，AECD,且 PCCD=C,AE平面 PCD.而 PD 平面 PCD，AEPD.PA底面 AB
9、CD，PAAB.又ABAD 且 PAAD=A,AB平面 PAD，而 PD 平面 PAD，ABPD.又ABAE=A,综上得 PD平面 ABE.类型二、直线与平面垂直的性质例 2、如图所示， 平面 ，点 C 在以 AB为直径的O 上，PAB， ，点 E 为线段 PB 的中点，点 M 在30CB=2=上，且 AOMC（）求证：平面 平面 PAC；（）求证：平面 PAC 平面 ；（）设二面角 的大小为 ，求 的值 BPcos【解析】（）证明：因为点 E 为线段 PB 的中点，点 为线段 的中点，OAB来 所以 . OA因为 平面 ， 平面 ，CPC所以 平面 PAC. 因为 ，M因为 平面 ， 平面
10、，APA所以 平面 PAC. O因为 平面 ， 平面 ， ，EOMEO=所以 平面 平面 PAC. （）证明：因为 点 C 在以 AB 为直径的O 上，所以 ，即 . 90AB=AC因为 平面 ， 平面 ，PB所以 . 因为 平面 ， 平面 ， ， CPPA=所以 平面 .BA因为 平面 ， 所以 平面 PAC 平面 . B（）解：如图，以 为原点， 所在的直线为 轴， 所CxCB在的直线为 轴，建立空间直角坐标系 yyz因为 ， ，30BA=2PA=所以 ， .2cos1延长 交 于点 .MOCD因为 ，所以 .33, 1,22BCB=+=Dzyx MEBOCAP所以 ， ， ， .(1,0
11、2)P(,0)C(,30)B3(,0)2M所以 ， .,=,=设平面 的法向量 .B()xyzm因为 0,.CP=所以 即(,)1,2,03)xyz 20,3.xzy+=令 ，则 .=,-所以 . (21)m同理可求平面 的一个法向量 n . PMB1,3所以 .cos,5n所以 . 15=【总结升华】 （1）当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。（2）已知面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线
12、面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明书的最常用方法。举一反三：【变式】如图所示，在四棱锥 中， 平面PABCD， ， ， 是 的中点， 是PAD/BCEF上的点且 ， 为 中 边上的高.12FH（1）证明： 平面 ；（2）若 ， ， ，求三棱A1FC锥 的体积；EBC（3）证明： 平面 .PB【解析】 （1）证明：因为 平面 ，所以 。ABPDHAB因为 为 中 边上的高，所以 。PH因为 ，所以 平面 。ABDC（2）连结 ，取 中点 ，连结 。GE因为 是 的中点，所以 。E/P因为 平面 ，所以 平面 。PCABD则 ， 。12GH11332EBFCFVSEG21（3）证明：取 中点
13、 ，连结 ， 。AM因为 是 的中点，所以 。EP/A因为 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以1/2DFBEDFMEDF。/因为 ，所以 。AP因为 平面 ，所以 。AB因为 ，所以 平面 ，所以 平面 。PBMEFPAB类型三、平面与平面垂直的判定例 3、如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，ABC 为正三角形，D、E 分别是BC、CA 的中点.（1）证明：平面 PBE平面 PAC；（2）如何在 BC 上找一点 F，使 AD平面 PEF？并说明理由.【解析】（1）证明 因为 PA底面 ABC，所以 PABE.又因为ABC 是正三角形，且 E 为 AC 的中点，所以 BEC
14、A.又 PACA=A，所以 BE平面 PAC. 因为 BE 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAC.（2）取 CD 的中点 F，则点 F 即为所求.因为 E、F 分别为 CA、CD 的中点，所以 EFAD.又 EF 平面 PEF，AD 平面 PEF，所以 AD平面 PEF.【总结升华】证明线面、面面平行与垂直问题注意要转化为线线的平行与垂直问题。如图所示，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯 形，BAD=FAB=90,BC AD,BE FA,G、H 分别为 FA、FD/21/的中点.（1）证明：四边形 BCHG 是平行四边形；（2）C、D、F、E 四点是
15、否共面？为什么？（3）设 AB=BE，证明：平面 ADE平面 CDE.方法一 (1)证明 由题设知,FG=GA,FH=HD,所以 GH AD./21又 BC AD,故 GH BC./所以四边形 BCHG 是平行四边形.(2)解 C、D、F、E 四点共面.理由如下：由 BE AF，G 是 FA 的中点知，/21BE GF，所以 EFBG.由（1）知 BGCH，所以 EFCH，故 EC、FH 共面.又点 D 在直线 FH 上，所以 C、D、F、E 四点共面.（3）证明 如图，连接 EG，由 AB=BE，BE AG 及BAG=90知 ABEG 是正方形,故 BGEA.由题设知,FA、AD、AB 两两
16、垂直，故 AD平面 FABE，因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影，根据三垂线定理，BGED.又 EDEA=E,所以 BG平面 ADE.由(1)知,CHBG,所以 CH平面 ADE.由(2)知 CH 平面 CDE,得平面 ADE平面 CDE.方法二 由题设知,FA、AB、AD 两两互相垂直.如图，以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴正方向，以射线 AD 为 y 轴正方向，以射线 AF 为 z 轴正方向，建立直角坐标系 Axyz.（1）证明 设 AB=a，BC=b，BE=c，则由题设得A（0，0，0） ，B（a，0，0） ，C（a，b，0） ，D（0，2b，0） ，E（a，0，
17、c） ，G（0，0，c） ，H（0，b，c）.所以， =（0，b，0） ， =（0，b，0） ，于是 = .GHBC又点 G 不在直线 BC 上，所以四边形 BCHG 是平行四边形.（2）解 C、D、F、E 四点共面.理由如下：由题设知 F（0，0，2c） ，所以 =（-a，0，c） ， =（-a，0，c） ， = .CHEFC又 C EF，HFD，故 C、D、F、E 四点共面.（3）证明 由 AB=BE，得 c=a，所以 =（-a，0，a） ， =（a，0，a）.A又 =（0，2b，0） ，因此 =0， =0.ACAD即 CHAE，CHAD.又 ADAE=A，所以 CH平面 ADE.故由 C
18、H 平面 CDFE，得平面 ADE平面 CDE.【总结升华】本题考查线面垂直、平行、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力. 高考中,立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直、平行有关的线面关系的证明;二、考查空间几何体的体积与表面积;三、考查异面角,线面角,二面角等角度问题.举一反三：【变式】【解析】类型四、平面与平面垂直的性质及应用例 4 如图，在三棱锥 A-BOC 中， 底面 BOC, , AB=AC=4,AO03ABOC,动点 D 在线段 AB 上.2BC()求证:平面 COD平面 AOB；()当点 D 运动到线段 AB 的中点时,求二面角 D-CO-B 的大
19、小；()当 CD 与平面 AOB 所成角最大时，求三棱锥 C-OBD 的体积.证明()： 底面 BOC, OC， OB。AOAO ,AB=AC=4, OC=OB=2。2 分03BC ,OCOB,OC 平面 AOB。4 分2OC平面 COD，平面 COD平面 AOB。5 分解()：由()知 OC平面 AOB，OC OB，OCOD, DOB 是二面角 D-CO-B 的平面角。 7 分D 为 AB 的中点，OD=2,BD=2,又 OB=2，DOB=60，二面角 D-CO-B 的大小为 60。9 分解()：OC平面 AOB，CD 交平面 AOB 于 D, CDO 是 CD 与平面 AOB 所成角。10 分tanCDO= ，据正切函数的单调性知，当 OD 最小时，CDO 最大， 取 ODAB, 2OCDOD= 为最小值，此时，BD=1.12 分3
