1、第 二 章 Lebesgue 测 度从 本 章 开 始 ，我 们 将 逐 步 介 绍 实 变 函 数 理 论 的 核 心 内 容Lebesgue 测 度 与 积 分 19 世 纪 的 数 学 家 们 已 经 意 识 到 仅 有 连 续 函 数 与 积 分 的古 典 理 论 已 经 不 足 以 解 决 数 学 分 析 中 的 许 多 问 题 为 克 服Riemann 积 分 在 理 论 上 的 局 限 性 ，必 须 改 造 原 有 的 积 分 定义 大 家 知 道 ，对 于 a,b上 的 正 值 连 续 函 数 f (x)，其 积 分 的几 何 意 义 是 平 面 曲 边 梯 形G( f ) (
2、x, y): xa,b, 0 y f (x)的 面 积 因 此 ，积 分 的 定 义 以 及 一 个 函 数 的 可 积 性 ，是 与 相应 的 下 方 图 形 面 积 如 何 确 定 以 及 面 积 是 否 存 在 密 切 相 关 从这 一 角 度 看 问 题 ，过 去 我 们 所 说 的 不 可 积 函 数 f ，就 反 映 在平 面 点 集 G( f )的 “面 积 ”不 存 在 的 问 题 上 于 是 ，如 果 我 们想 要 建 立 能 够 应 用 于 更 大 函 数 类 的 新 的 积 分 理 论 ，自 然 希 望把 原 有 面 积 概 念 加 以 推 广 ，以 使 更 多 的 点
3、集 能 够 具 有 类 似 于面 积 性 质 的 新 的 度 量 总 之 ，我 们 希 望 对 于 一 般 的 n 中的点集 E 给 予 一 种 度量 ，它 是 长 度 、面 积 以 及 体 积 的 概 念 的 推 广 如 果 记 点 集 E的 这 种 度 量 为 m(E)，那 么 自 然 应 要 求 它 具 有 某 些 常 见 的 性 质或 满 足 一 定 的 条 件 此 时 ，称 度 量 m(E)为 E 的 测 度 ，以 为1例 ，我 们 提 出 条 件 ：（1）m(E) 0；山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林（2）可 合 同 的 点 集 具 有 相 同 的 测 度 ；（3）若
4、 E1, E2, ,E ,是 互 不 相 交 的 点 集 ，则n m( E ) m(E )i ii1 i1条 件 （3）称 为 可 数 可 加 性 ，正 是 这 种 可 数 可 加 性 使 建 立 在测 度 论 基 础 上 的 积 分 有 了 新 的 功 能 21 外测度与可 测集教学目的 本 节 在 集 合 外 测 度 的 基 础 之 上 ，结 合 Caratheodory条 件 ，构 造 出 一 个 重 要 的 测 度 ，即 欧 氏 空 间 n 上的 Lebesgue测度L ebesgue 测 度 的 建 立 ，为 定 义 Lebesgue 积 分 打 下 基础本节要点 利 用 外 测 度
5、 的 定 义 和 Caratheodory 条 件 ，可 以 较快 的 构 造 出 Lebesgue 测度 进 过 验 证 ，Lebesgue 测 度 具 有基 本 的 运 算 性 质 同 学 们 应 利 用 较 多 的 例 题 ，习 题 和 几 何 直观 逐 步 加 深 对 Lebesgue 测 度 的 理 解 大 家 知 道 ，用 古 典 积 分 计 算 下 方 图 形 G( f )的面积，基本 上 是 从 其 内 部 小 矩 形 的 面 积 出 发 来 逐 步 进 行 计 算 的 显然 ，这 种 计 算 方 法 只 是 对 具 有 内 点 的 点 集 有 效 为 了 对 一 般点 集 也
6、 能 度 量 出 某 种 “面 积 ”来 ，我 们 放 弃 从 点 集 内 部 扩 张的 做 法 ，而 从 其 外 部 挤 压 的 方 针 ，即 用 矩 形 去 覆 盖 点 集 然后 来 计 算 这 些 矩 形 的 面 积 总 和 当 然 ，这 种 覆 盖 方 式 多 种 多样 一 般 说 来 ，这 样 的 覆 盖 所 盖 住 的 点 集 要 比 原 点 集 的 “面山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林积 ”大 因 此 ，在 这 里 ，取 一 切 这 种 覆 盖 所 求 出 矩 形 面 积 总和 的 下 确 界 来 代 表 它 的 某 种 度 量 是 很 正 常 的 另 外 还 有
7、一 个问 题 ：每 次 覆 盖 所 用 的 矩 形 是 多 少 个 ？ 若 只 允 许 有 限 个 ，则由 此 建 立 的 度 量 就 是 所 谓 的 Jordan 容 度 这 种 度 量 在 数 学 史上 占 有 一 定 地 位 ，但 因 有 严 重 缺 陷 而 被 改 造 也 就 是 说 ，现在 采 用 的 覆 盖 ，允 许 有 可 数 个 矩 形 参 加 这 一 革 命 性 举 措 正是 Lebesgue 所 创 ，使 得 由 此 所 建 立 的 点 集 的 度 量 理 论 呈 现 崭新 的 面 貌 ，也 使 Lebesgue 积 分 论 称 为 进 入 现 代 分 析 的 大 门 一
8、外测度的定义1. 方体的体积我 们 将 要 定 义 的 Lebesgue 测 度 是 熟 知 的 长 度 ，面 积 和体 积 概 念 的 推 广 ，因 此 我 们 先 对 n 上 的 方 体 的 体 积 作 一 些 规定 设 I 是 直 线 上 的 一 个 有 界 区 间 (开 的 ，闭 的 或 半 开 半 闭 的 )，用 I 表 示 区 间 I 的 长 度 ，即 I 的 右 端 点 与 左 端 点 之 差 若 I是 无 界 区 间 ，则 规 定 I 又 规 定 空 集 也 是 区 间 ，并 且 0 设 I I I 是 直 线 上 的 n 个 区 间 称 n 的 子 集1, 2, ,nI I
9、I I 为 n 中 的 一 个 方 体 若 I I I 都 是 开 区1 2 n n1, 2, ,间 ，则 称 I 为 n 中 的 开方体 类 似 可 定 义 n 中 的 闭 方 体 和半 开 半 闭 方 体 设 I I I I 为 n 中 的 一 个 方 体 ，称1 2 nI I I1 n为 I 的 体 积 2. 外测度山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林定义 1 设 E n ， nI 是 中 覆 盖 E 的 任 一 列 开 长 方 体 ，i即 E I u I ，记 （u 可 以 取 +），显 然 所 有 这 样 的 ui ii1 i1构 成 一 个 有 下 界 的 数 集 ，则
10、它 的 下 确 界 称 为 E 的 Lebesgue 外测度， 记 为 m*E，即 m* E infu u I , I E, I 为开长方 体 i i ii1 i1注 根 据 外 测 度 的 定 义 可 知 ，任 意 E n 都 有 外 测 度 ； 定 义 1 中 并 没 有 限 制 E 是 有 界 集 ，所 以 m* E 可 能 取 +二外测度的性质定 理 1 外 测 度 具 有 如 下 性 质 ：（1）对 任 意 E ，都 有 m* E 0 ，且 m* 0（非 负 性 ）；n（2）设 B A ，则 m*B m* A（单 调 性 ）；n（3）设 A ，则ni m*( A ) m* A （次
11、可 加 性 ）；i ii1 i1（4）设 A,B ，若 (A,B) 0，则nm*(A B) m* A m* B （隔 离 性 ）证明 （1）显 然 成 立 下 面 只 证 （2）（3）（4）（2） 因 为 对 任 意 覆 盖 A 的开长方体列 I ，即iA I ，ii1由 于 B A，所以 B I m*B I ，从而有 ，且 m* Bi ii1 i1 ，inf I m* Aii1A I ii1山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林(3) 由 外 测 度 的 定 义 知 ，对 任 意 给 定 的 正 数 ，存 在 覆 盖 A 的i开长方体列 I 使得(i)m (i)I m* A , i
12、1,2,m i i2m1显然 ，(i)( I ) Am ii1 m1 i1且 ，(i) (i)I ( I ) (m* A ) m* A m m i i i2i1 m1 i1 m1 i1 i1 i 所以 ( )m*( A ) I m* A i m ii1 i1 m1 i1（4） 仅 在 上 证 明 对 任 意 0，存 在 开 区 间 列 1I ，使n得A B I ，并 且nn1 根 据 已 知 条I m*(A B) nn1件 (A,B) d 0，若I d ，则nI 保 留 ；若nI d ，则 用 分n点 将 I 分 成 有 限 个 小 的 开 区 间nJ J J ， 使 得1, 2 ,kJ d(
13、i 1,2k)，并 且 各 分 点 再 用 k 1个 长 度 小 于 d 的开区i间k1 n ，用 上 述 得 到 的L1,L2 L 1 盖 住 ，使 得 L 1,/ 2 J Jk i ki1及 L1, L 1 代替kI ，显 然nk k 1 ，把 改 造 后J L I i i n ni i1 1 2的开区间列记为 K ，则m A B I K ，且n mn1 m1 k I m*(A B) 2m n n2m1 n1 n1山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林由 于 , K d K 中 任 何m mK 不 可 能 同 时 含 有 A,B 中 的m点 ，所 以 把 K 分 为 两 类 ，含
14、有 A中 点 的mK 作 为 一 类 记 为mK ，含 有 B中点的 nK 作 为 一 类 记 为 K ，则m nA K ，nB K 所以n* * * ，m A m B K K K m (A B) 2n n“ mm1再 让 0得m* A m*B m*(A B)，证毕例 1 设 E 为 0，1中 的 全 体 有 理 数 ，则 m*E 0证 明 因 为 E 为 可 数 集 ，故 记 E r ,r ,.,r ,.，现 对 任 意1 2 n 0，取 1 , 1 I r rn n n n n 2 2，n 1,2,显 然 E I ，nn1 且 0 m* E I ，令 0得n n2n1 n1m*E 0，证
15、毕 思考题 若 E 为 中 的 可 数 点 集 ，则 m*E ？n例 2 若 m* A 0，则对任意E n ，总 有 m*(E A) m*E 证明 由 外 测 度 的 性 质 （2）、（3）得m*E m*(E A) m* E m* A m* E ，所以 m*(E A) m*E 例 3 对 任 何 区 间 I ，总 有 m*I I n证明Step1 证 明 m I I *山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林对 任 意 0 ，存 在 开 矩 形 I ，使 得 I I * ，且 有|I* | |I |+ ，由 外 测 度 的 定 义 知 m*I I* I ，再 让 0，于 是 得 m I
16、I *Step2 证 明 m I I *对 任 意 0，作 闭 矩 形 I ，使 得 I I ，且 |I |0 0I |+02 又 由 外 测 度 的 定 义 知 对 上 述 I 及 ，存 在 开 矩 形 列 I 使0 iI0 ，且 ，由 Borel 有 限 覆 盖 定 理 知 ，I | I | m* I i i 02i1i1在 I 中 存 在 有 限 多 个 开 矩 形 ，不 妨 设 为iI I ，使 得1, ,kI0k ，所 以Iii1kI I ，从而0 ii1I I 0 2k | I |i2i1 I | | 2ii1 m*I 02 2 m*I m* I ，0让 0，得 I m I ，故*
17、I m I ，证毕*思考题 若 I 为 无 穷 区 间 ，如 何 证 明 ?注 在 例 3 的 证 明 中 ，根 据 外 测 度 的 定 义 ，用 到 了 以 下 两 条 ： 对 于 E 的 任 一 开 方 体 覆 盖 I ，有 m E In nn1 对 任 意 0，存 在 E 的 一 个 开 方 体 覆 盖 I ，使得n I m E nn1这 两 条 在 证 明 点 集 的 测 度 问 题 时 常 常 用 到 ，必 须 注 意 从 例 3 中 可 以 得 知 ，我 们 所 定 义 的 集 合 的 外 测 度 是 “体山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林积 ”（“长 度 ”、“面 积
18、 ”）的 一 种 拓 广 ，这 种 拓 广 是 否 为 通 常意 义 下 “体 积 ”的 拓 广 呢 ? 在 通 常 意 义 下 ，有 体 积 的 集 合 有这 样 一 个 性 质 :“对 两 个 有 体 积 的 不 交 集 合 A,B，总 有 A B的 体 积 =A的 体 积 +B的 体 积 ，即 体 积 具 有 可 加 性 ”，对 外 测 度而 言 ，当 (A,B) 0 时 ，m*(A B) m* A m*B ，但 仅 当A B 且 (A,B) 0时 ，有 例 子 可 以 说 明 m*(A B) m* A * 并 不 一 定 成 立 ，这 说 明 对 一 般 集 合 而 言 外 测 度 并
19、 非 通m B常 意 义 下 “体 积 ”的 拓 广 要 想 做 到 这 一 点 ，必 须 对 所 考 虑的 集 合 作 一 些 限 制 （正 如 通 常 意 义 下 并 非 每 个 集 合 都 有 体 积一 样 ）二 可测集及其性质外 测 度 就 是 相 当 于 用 外 切 多 边 形 面 积 来 近 似 圆 面 积 那么 ，人 们 自 然 会 想 到 用 圆 内 接 多 边 形 面 积 来 近 似 圆 面 积 的 方法 Lebesgue 根 据 这 一 思 想 提 出 了 “内 测 度 ”概 念 ，如 内 外测 度 相 等 就 称 为 Lebesgue 可 测 ，且 外 测 度 即 为 L
20、ebesgue 测度 但 是 测 度 的 这 一 定 义 ，使 用 起 来 很 不 方 便 （同 时 出 现 内外 两 种 测 度 ，有 界 、无 界 要 区 别 对 待 等 ）因 此 ，我 们 采 用一 种 在 理 论 上 运 用 很 广 泛 的 定 义 方 法 德 国 数 学 家CCaratheodory 给出的定义1 可测集的定义及等价条件定义 2（Caratheodory 条 件 ）设 E n ，如 果 对 任 意 T n总有山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林m*T =m*(T E) m*(T E ) (2.1)c（图 2-1），则 称 E 为 Lebesgue 可 测 集
21、 ，或 称 E 是 可 测 的 ，此 时 E 的 外 测 度 m* E 称 为 E 的 Lebesgue 测 度 ，记 为 mE 注 与 外 测 度 不 同 ，并 非 每 个 集 都 是 可 测 的 ，即 不 是 任 何 集合 都 有 测 度 图 2-1 卡 氏 条 件下 面 用 一 个 定 理 给 出 可 测 集 的 等 价 条 件 命题 1 设 E ，则 下 列 两 种 说 法 是 等 价 的n（1）E 是 可 测 集 ；（2）对 任 意 A E,B E ，总有cm*(A B) m* A m* B (2.2)证 明 先 证 “ ”，若 E 可 测 ，则 对 任 意 A E,B E ，令cT
22、 A B，则有m*(A B) m* A B E m*(A B) E ) c m* A m* B，再 证 “”，对 任 意 T ，令 A T E E,B T Ec Ec n因 为 T A B，所以有山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林m*T m*(A B) m* A m* B c m*(T E) m*(T E )从 而 E 为 可 测 集 ，证 毕 2. 可测集的基本性质有 了 可 测 集 的 定 义 后 ，我 们 就 要 来 讨 论 两 个 基 本 问 题 ： 具 体 的 哪 些 集 合 是 可 测 集 ？ 可 测 集 具 有 哪 些 性 质 ？定 理 1 （可 测 集 的 基 本
23、性 质 ）（ ）设 E n 是 可 测 集 当 且 仅 当 Ec 是 可 测 集 ；（ ）若 m* E =0(即 E 为 零 测 集 )，则 E 可 测 ；（ ）, 是 可 测 的 n证明（ ）事 实 上 ，若 E 可 测， 对 任 意 T ，总 有 m*T m*(T E) m*(T Ec )，n 对 任 意 T ，有 m*T m*(T Ec ) m*(T （Ec )c）n E 可测 c（ ）若 m* E =0，则 对 任 意 T ，有 m (T E) mE 0，n于是由 Cm T m (T E) m (T E )及 ，Cm (T E ) m T知 m*T m*(T E) m*(T E )，即
24、 E 可测c山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林定理 2 若 E1,E2 都 可 测 ，则 E1 E2 ,E1 E2 ，E E 也可测1 2证明 对 于 T n ，如 图 2-2 示图 2-2 集 合 T 的分解T =(T (E E ) T (E E )1 2 2 1 ( ) ( )T E E T E E1 2 1 2 A B C D因为 A C E1,B D E1 ，而cE 可 测 ，由 命 题 1（2）得1* *( ) *( )m T m A B C D m AC B D*( ) *( ) m AC m B D同理 m*(AC B) m*B m*(AC)又因为 E 可 测 ，所
25、以 m*(B D) m*B m*D，2所以 m*T m*(AC) m*B m*D m*(A B C) m*D* * m (T (E E ) m (T (E E )1 2 1 2 m (T (E E ) m (T (E E ) )，* * c1 2 1 2所以 E E 可测1 2山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林又 cE E = E c E c 由命题 1 及 上 述 已 证 并 集 的 可 测1 2 1 2性知， E E 也可测1 2再 利 用 E1 E2 E1 E 2 ，则cE1 E2 也可测n n 都可推 论 1 若 E （i=1，2，n）都 可 测 ，则 E , Ei i i
26、i1 i1测 ，并 且 当 E 两 两 不 交 时 ，有in n m( E ) mEi ii1 i1n n 与 的可测 性 下 证 当证明 由 定 理 2 及 归 纳 法 立 得 E Ei ii1 i1E 两 两 不 交 时 ，有in nm( E ) mE i ii1 i1记n1E E E E ，于 是 利 用 命 题 1 中 （2.1）式 ，得 ，则Ci ni1 n1 n ，* * *m E m (E ) m E i n i i1 i1类似地， n 1 n 2 n 1 ，* * * m E m E m (E ) m E i i n1 i i1 i1 i1n n 故 有 m( E ) mEi
27、ii1 i1 也 是 可 测 的 ，定 理 3 若 E （i 1,2,）都 是 可 测 的 ，则 Ei ii1并且当 E 两 两 不 交 时 ，有i m( E ) mE ， (2.3)i ii1 i1山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林证明 由于 2 i1 ，E E (E E ) (E E ) (E E ) i 1 2 1 3 j i ji1 j1 j1 可 测 即 可 所 以 只 须 证 明 当 E 两 两 不 交 时 ， Ei ii1Step1 先 证 当 E 两 两 不 交 时 ，对 于 T ，有ni n n )* *m T ( E ) m (T E ) i i i1 i1只
28、证 两 个 集 合 E1,E2 的 情 形 ，一 般 情 形 利 用 归 纳 法 立 即 可得因为T (E E ) (T E ) (T E )A B，1 2 1 2其中 A E1,B E2 E1 而cE 可 测 ，由 命 题 1 得1* * * *m (T (E E ) m (A B) m A m B1 2 m (T E ) m (T E )* *1 2Step2 再 证 对 于 T ，有nc * * *m T m (T E ) m (T E )i i i1 i1根 据 外 测 度 的 次 可 列 可 加 性 立 得 上 式 ，且 有 m (T S) m (T ( E ) m (T E ) *
29、 * *n nn1 n1Step3 证 明 若 E 两 两 不 交 ，对 于 T ，有nic * * *m T m T E m T E ( ) ( )i i i1 i1山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林由推论 1，对 于 任 意 自 然 数 n，有n n * *m (T E ) m (T ( E )j jj1 j1所以n nm T m (T ( E ) m (T ( E ) ) * * * cj jj1 j1n * * cm (T E ) m (T ( E )j ij1 i1c ci ）（因为 E E j i j1 i1让 n 得 * * * cm T m (T E ) m (T
30、( E ) i ii1 i1c (2.4)* * m (T E ) m (T E )i i i1 i1由 step2 以及 step3 可 得 ，c ，* * *m T m (T E ) m (T E )i i i1 i1 可测 故 Enn1Step4 证 明 当 E 两 两 不 交 时 ，有i m( E ) mE i ii1 i1 ，则得在（2 .4）中 取 T 为 Eii1山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林 Cm( E ) mE m ( E ) ( E ) i i i ii1 i1 i1 i1 = mE m( E )i ii1 i1即 ，证 毕 m( E ) mEi ii1 i
31、1注 定 理 3 中 式 （2.3）称 为 测 度 的 完 全 可 加 性 ，它 表 明 测 度确 为 通 常 意 义 下 “体 积 ”的 拓 广 推论 2 若 E 可 测 ，n=1，2， 则n 也 可 测 ；（1） Enn1（2）limnE ，limnnE 也可 测n证明c （1）因 为 E Ecn nn1 n1 （2）lim E E ,limE E n k n knn n kn n kn1 1综 合 以 上 定 理 及 推 论 知 ，可 测 集 对 集 合 的 至 多 可 数 并 、交 、差 （余 ）及 极 限 运 算 是 封 闭 的 因 此 ，如 果 将 n 中的可测 集 全 体 放 在
32、 一 起 构 成 n 的 一 个 子 集 簇 ，则 显 然 这 个 子 集 簇是 一 个 域3. 可测集的极限性质下 面 我 们 再 给 出 单 调 可 测 集 列 的 测 度 性 质 定理 4 设 E ,n 1,2,为 单 调 上 升 的 可 测 集 列 ，则 limnnEn可山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林测，且limmE m E m(lim E ) n n nn nn1证明 因为 E 单 调 上 升 ，记nE ，所以0 ，E (E E )n n n1n1 n1其 中 E E 两 两 不 交 ，由 定 理 3 得n n 1 n m( E ) m(E E ) lim m(E E
33、 )n n n1 i i1nn1 n1 i1nlimm( (E E ) limmE i i1 nn n i1定理 5 设 E ，n 1,2为 单 调 下 降 的 可 测 集 列 ，则 limnnEn可测 若 存 在 某 个 n ，使 mE ，则有0 n0m(lim E ) limmE n nn n证明 不 妨 设 mE ，则1E E 单 调 上 升 且1 n (E E ) (E E ) E ( E )c c1 n 1 n 1 nn1 n1 n1 E ( E ) E E E Ec1 n 1 n 1n1 n1由定理 4 知 ，m(E E) limm(E E )，1 1 nn又 mE ， 1 ( 1
34、 ) ( 1 )mE m E E E m E E mE1mE m E E E m E E mE1 ( 1 ) ( 1 )n n n n所以 m(lim E ) limmE ，证 毕 n nn n注 定 理 5 中 存 在 某 个 E 使 mE 不 能 去 掉 ，否 则 结 论 不n n0 0一 定 成 立 ，比 如 取 E (n,)，n 1,2,，显 然nE 单 调 下 降 ，n山 东 农 业 大 学 数 学 系 于 瑞 林 ，E mE ，但 limmE 0 mn n nnn1定 理 6 设 E ，n 1,2是 可 测 集 列 ，若 limnn ，则集 也 可 测 ；若 有 K ，使 m( E
35、 ) 0 nnK0En存 在 ，则 极 限m(lim E ) limmE n nn n证明略小 结 本 节 利 用 从 外 部 挤 压 的 方 针 定 义 了 集 合 的 外 测 度 的概 念 由 于 外 测 度 仅 只 满 足 次 可 列 可 加 性 ，因 此 利 用Caratheodory 条 件 ，构 造 出 一 个 重 要 的 测 度 ，即 欧 氏 空 间 n上 的 Lebesgue 测度同学们应熟悉掌握 Lebesgue 测度的一些基本性质，并通过一些练习加深对 Lebesgue 测度的直观上 的 理 解 和 认 识 习题 P46 1-30作业 P46 2,3,7,9,11,12,25
