1、2018 届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）第卷 （选择题, 共 60 分）一.选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设集合 ，集合 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于集合 , ,对于集合 ， ，故 .选 .2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 内单调递减的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】 和 为非奇非偶函数， 而 在 内递增，故选 .3. 设 是等差数列 的前 n 项和,若 ,那么 等于A. 4 B. 5 C. 9 D. 18【答案】B【解析】设等差数列的公
2、差为 d,则 = , = ,所以 d=2,a1= ,则故选 B.4. 已知 ，则 =A. 2 B. C. D. 1【答案】D【解析】.故选 .5. 过原点且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为A. B. 2 C. D. 【答案】D【解析】 ，即 。依题意可得，直线方程为 ，则圆心 到直线 的距离 ，所以直线被圆所截得的弦长为 ，故选 D6. 设 l,m 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出 的是A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 【答案】B【解析】由 ， ， 可推出与 平行、相交或异面，由 可推出 .故选 B7. 函数 （ 且 ）的图像恒过定点
3、，若点 在直线 上，其中 ，则 的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意有 ，代入直线得 ，所以，故选 .8. 设 是数列 的前 n 项和，若 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 时， ，解得 .当 时， ， ，则 ，即 .数列 是首项为 ，公比为 的等比数列故选 C.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图的俯视图可知，三棱锥的底面为等腰直角三角形，故体积为 .故选 .10. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚
4、实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：年 份（届） 2014 2015 2016 2017学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数51 49 55 57被清华、北大等世界名校录取的学生人数103 96 108 107根据上表可得回归方程 中的 为 1.35，我校 2018 届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为 63 人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故 ，即 ，将 代入上式，求得，所以选 . 【点睛】本小题主要考查变量间的相关关系，考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程过样本中心
5、点这个性质，并用哦个回归直线方程进行预测. 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线11. 已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 为双曲线 右支上一点，直线 与圆相切，且 ，则双曲线 的离心率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 与圆相切于点 ，则因为 ，所以 为等腰三角形，设 的中点为 ，由 为 的中点，所以 ，又因为在直角 中， ，所以又 ， 故由 得， ，故本题选 C点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到 ，由双曲线定义有 ，列方程即可求离心率的值 .12.
6、 设函数 ，若 是函数 的极大值点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数的定义域为 ， ，依题意有 ，所以 ，若 ，则 ，函数在 递增，在 递减，在处取得极大值，符合题意，故排除 两个选项.当 时， ，无极值点，排除 选项，故选 .【点睛】本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法和选择题的解法.涉及函数导数的问题，首先要求函数的定义域，然后对函数求导，将 作为消去 的条件，然后将函数的导数因式分解，利用选项找特殊值来选择答案.第卷 （非选择题, 共 90 分）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，
7、将答案填在答题卡相应的位置上 ）13. 已知正方形 边长为 2, 是 的中点,则 =_.【答案】2【解析】根据题意 .故正确答案为 .14. 若实数 满足 ，则 的最大值为_.【答案】5【解析】作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的 及其内部：其中 ， ， ，设 ，将直线 进行平移，当经过点 时，目标函数达到最大值，此时 .故答案为 .点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求” ：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就
8、是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 直线与抛物线 相交于不同两点 ,若 是 中点，则直线的斜率 _.【答案】【解析】设 ，直线与抛物线 相交于不同两点 ， ，则两式相减得 是 中点故答案为 .16. 已知锐角 的三个内角的余弦值分别等于钝角 的三个内角的正弦值，其中 ，若，则 的最大值为_.【答案】【解析】由于 ，且 为钝角，故 ，由正弦定理得 ，故.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17. 已知函数 .（1）当 时，求 的值域；（2）已知 的内角 的对边分别为 , ，求 的面积.【答案】(1) (2) .【解析】
9、试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合 ，即可求得 的值域；（2）由求得 的值，利用余弦定理求得 的值，可得 的面积.试题解析：（1）由题意知，由 .（2） ，由余弦定理可得18. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间/分钟总人数 20 36 44 50 40 10将学生日均课外体育锻炼时间在 的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的 列联表；课外体育不达标 课外体育达标 合计男女 20 110合计（2）通过计算判断
10、是否能在犯错误的概率不超过 的前提下认为 “课外体育达标”性别有关？参考公式 ,其中0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0011.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】 【试题分析】 （1）根据题目所给数据可填写好表格.（2）通过公式计算 ，所以在犯错误的概率不超过 的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.【试题解析】(1)课外体育不达标 课外体育达标 合计男 60 30 90女 90 20 110合计 150 50 200(2) 所以在犯错误的
11、概率不超过 的前提下不能判断“课外体育达标 ”与性别有关.19. 如图，直三棱柱 中， 且 ， 是棱 上的动点， 是 的中点.（1）当 是 中点时，求证： 平面 ；（2）在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角为 ，若存在，求 的长，若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】 【试题分析】 （1）取 中点 ，连结 ，利用三角形中位线证得四边形 为平行四边形，由此证得线面平行.（2）假设存在这样的点 ，以 点为原点建立空间直角坐标系，利用平面 和平面的法向量，结合它们所成锐二面角的余弦值，可求得这个点的坐标.【试题解析】（1）取 中点 ，连结 ，则 且 .因为当
12、 为 中点时， 且 ，所以 且 .所以四边形 为平行四边形， ，又因为 ， ，所以 平面 ；（2）假设存在满足条件的点 ，设 .以 为原点，向量 方向为 轴、 轴、轴正方向，建立空间直角坐标系.则 ， ， ，平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， ，解得 ，所以存在满足条件的点 ，此时 .20. 已知 是椭圆 的右焦点，过 的直线与椭圆相交于 ， 两点.（1）若 ，求 弦长；（2） 为坐标原点, ,满足 ，求直线的方程.【答案】(1) ;(2) 详见解析 .【解析】试题分析：（1）由题意可知过 的直线斜率存在，设直线的方程为 ，联立直线与椭圆的方程，得关于 的一元二次方程，由 及韦达定理可得 的值，从而求出 弦长；（2）由可得 ，即 ，设直线的方程为 ，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理即可求出 的值， 从而求出直线的方程.试题解析：(1)由题意可知过 的直线斜率存在，设直线的方程为联立 ，得 ，则(2) ，即设直线的方程为 ，联立 ，得
