1、本 科 毕 业 论 文蛛网模型的数学解析与实际应用研究1蛛网模型的数学解析与实际应用研究摘 要：本文首先从蛛网模型的经济学定性分析出发，分析了蛛网波动的三种类型.然后分别在连续时间的条件下以时滞微分方程的形式和在离散化时间条件下以差分方程的形式两种角度建立模型，对传统的蛛网模型进行了定量分析并讨论了均衡点趋于稳定的条件.最后讨论了蛛网模型的实际应用并对其进行了改进及推广 .关键词：蛛网模型；差分方程；时滞微分方程；稳定性1 蛛网模型介绍蛛网理论(cobweb theorem)，又称蛛网模型，是利用弹性理论来考察价格波动对下一个周期产量影响的动态分析，它是用于市场均衡状态分析的一种理论模型. 蛛
2、网理论是 20 世纪 30 年代出现的一种关于动态均衡分析方法.许多商品特别是某些生产周期较长的商品(如猪肉,棉花等)，他们的的市场价格、数量会随时间的变化而发生变化,呈现时涨时跌、时增时减、交替变化的规律. 1930年美国的舒尔茨、荷兰的丁伯根和意大利的里奇各自独立提出,由于价格和产量的连续变动用图形表示犹如蛛网，1934年英国的尼古拉斯卡尔多将这种理论命名为蛛网理论.蛛网模型理论是在现实生活中应用较多、较广的动态经济模型，它在一定范围内揭示了市场经济的规律，对实践具有一定的指导作用.根据产品需求弹性与供给弹性的不同关系，将波动情况分成三种类型：收敛型蛛网（供给弹性小于需求弹性）、发散型蛛网
3、（供给弹性大于需求弹性）和封闭型蛛网(供给弹性等于需求弹性).近年来，许多学者对经典的蛛网模型进行了广泛的的研究并做了一些改进,建立了更符合实际经济意义的蛛网模型.2在这些研究中,对蛛网模型的假设基本上是基于单一商品市场上,将时间离散化后,从差分方程的角度入手, 研究蛛网模型的稳定性,并通过讨论模型平衡点的稳定性,得到了蛛网模型稳定的条件.实际上，价格是影响商品需求量、供给量因素,但并非唯一因素，例如人们对某种商品的需求量不仅与商品的价格有关,也与人们当期的可支配收入、当期价格上涨率等有关；另一方面，由于市场信息的滞后作用，生产者在进行市场价格与供给预测时，不仅会考虑前一期的价格，还会考虑到前
4、几期甚至更长一段时期商品价格的综合趋势，因此考虑时滞效应的非均衡蛛网模型更具有实际意义.本文建立了蛛网理论的数学模型,给出了相应的数学分析与论证，使蛛网理论有了一个更加完备的理论基础，同时也为这一理论的量化分析提供了新的思路.2 蛛网模型在西方经济学中的定性分析蛛网模型考察的是生产周期较长的商品.蛛网模型的基本假设条件是：商品的本期产量 决定于前一期的价格 ，即供给函数为 .商品本期的需求量stQ1tP)(1tstPfQ决定于本期的价格 ，即需求函数为 .文中用 、 、 、 分dt t )tdtgttdtQst别表示 时刻的价格、数量、需求量、供给量.蛛网模型是一个动态模型，它根据供求曲线的弹
5、性分析了商品的价格和产量波动的三种类型：“收敛型蛛网”、“发散型蛛网”和“封闭型蛛网”.第一种类型：如图 所示，相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值大于供给曲线2-1斜率的绝对值.当市场受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会恢复到原来的均衡点.相应的蛛网称为“收敛型蛛网”.由于某种原因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量由均衡水平 减少为 .根据eQ1需求曲线，消费者愿意以价格 购买全部产量 ，于是，实际价格上升为 .1p1 p3根据第一期较高的价格水平 ，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为1p；在第二期，生产者为了出售全部产量
6、 ，接受消费者支付的价格 ，于是2Q2Q2p实际价格下降为 .根据第二期较低的价格 ,生产者将第三期的产量减少为 ；2 p3Q在第三期，消费者愿意支付 的价格购买全部的产量 ,于是实际价格又上升为3p3.根据第三期的较高的价格 ，生产者又将第四期的产量调整为 .3p 4依此类推，如图 所示，实际价格和实际产量的波动幅度越来越小，最后恢复到2-1均衡点 所代表的水平.由此可见，图 中均衡点 状态是稳定的.也就是说，E2-1E由于外在的原因，当价格与产量发生波动而偏离均衡状态 时，经济体系eQP、中存在着自发的因素，能使价格和产量自动的恢复均衡状态.在图 中，产量与2-1价格变化的路径就形成了一个
7、蜘蛛网似的图形. 从图 中可以看到,只有当供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值时,2-1即供给曲线比需求曲线较为陡峭时,才能得到蛛网稳定的结果,相应的蛛网被称为“收敛型蛛网”.在这里,我们看到,除第一期受到外在原因干扰外,其它各期都不会再受新的外在原因干扰,从而前一期的价格能够唯一决定下一期的产量.按照动4态的逻辑顺序,我们还看到,生产者片面地根据上一期的价格决定供给量, 消费者被动地消费生产者提供的全部生产量,而价格则由盲目生产出来的数量所决定.第二种类型：如图 所示，相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值小于供给曲线2-斜率的绝对值.当市场受到外力干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和
8、实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越大，最后会偏离原来的均衡点.相应的蛛网称为“发散型蛛网”.假定在第一期由于某种原因的干扰，实际产量由均衡水平 减少为 .根据需求曲eQ1线，消费者愿意支付价格 购买全部产量 ，于是实际价格上升为 ，根据第1p1 p一期较高的价格水平 ，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为 ；在2第二期，生产者为了出售全部产量 ，接受消费者支付的价格 ，于是实际价2Q2格下降为 .根据第二期较低的价格 ,生产者将第三期的产量减少为 ；在第2pp3Q三期，消费者愿意支付 的价格购买全部的产量 ,于是实际价格又上升为 ；3p3 p5根据第三期的较高的价格 ，生产
9、者又将第四期的产量调整为 .3p 4Q依此类推，如图 所示，实际价格和实际产量的波动幅度越来越大，最后偏离均2-衡点 所代表的水平.由此可见，图 中均衡点 所代表的均衡状态是不稳定的.E2-E从图 可看出，当相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝2-对值时，即相对于价格轴而言，需求曲线比供给曲线较为平缓时，才能得到蛛网不稳定的结果.所以供求曲线的上述关系是蛛网不稳定的条件，当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越大，偏离原来的均衡点越来越远.相应的蛛网称为“发散型蛛网”.第三种类型：如图 所示,相对于价格轴，需求曲线
10、斜率的绝对值等于供给曲线斜2-3率的绝对值时.市场受到外力干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会按照同一幅度围绕均衡水平上下波动，既不偏离，也不趋向均衡点.相应的蛛网称为“封闭型蛛网”.对于图 中,不同时点的价格与供求量之间的解释与前两种情况类似，故从略.从2-3图 可看出，当相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值等于供给曲线斜率的绝对值时，即相对于价格轴而言，供求曲线具有相同的陡峭与平缓程度时，蛛网以相同的幅度上下波动，相应的蛛网称为“封闭型蛛网”.63 蛛网模型的数学分析3.1 连续时间条件下的蛛网模型的数学分析在连续时间的条件下,建立起微分方程7形式的蛛网模型,研究蛛网模型的稳定性,并对模型结果进行了经济解释.我们8考虑基于单一商品的市场的蛛网模型，并假设:时间是连续变量,价格、商品数9量随时间连续变化.设某商品价格是时间t的函数 ，pt供给量S由供给函
