1、2018 届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第三次模拟考试数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）B=x|x= n,nAA. B. C. D. 1,2 1,4 2,3 9,16【答案】A【解析】由题意可得 ，选 A.B=1, 2, 3,2,AB=1,22. 若复数 在复平面内对应的点关于 轴对称，且 ，则复数 在复平面内对应的点在（ ）z1,z2 y z1=1iz1z2A. 第一象限 B. 第二象限 C. 实轴上 D. 虚轴上【答案】D【解析】由题意可得 ， ，所以
2、 ，对应点坐标(0,-1),选 D.z1=1-i z2=1+iz1z2=1i1+i=(1i)22 =i3. 角 的终边与单位圆交于点 ,则 （ ） (55,255) cos2=A. B. C. D. 15 15 35 35【答案】D【解析】由题意得 ， ， ，选 D.cos= -55 sin=255 cos2=2cos21=354. 在 中，若 ，则 （ ）ABC AB+AC=4APA. B. C. D. 34AB14AC 34AB+14AC 14AB34AC 14AB+34AC【答案】C【解析】由题意得 = ，解得 ，选 C.AB+AC=4AP4(AB+CP)14AB-34AC5. 已知 为
3、等差数列， ，则 的前 9 项和 （ ）an 2a3+a9=27 an S9=A. 9 B. 17 C. 72 D. 81【答案】D【解析】由题意得 ，而 ，选 D.2a3+a9=27=3a1+12d=3(a1+4d)=3a5 S9=9a5=816. 若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）xy2xx+y1y1 4x+yA. 2 B. 7 C. 9 D. 13【答案】B【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数变形为 y=-4x+z,即求截距的最大值，过点 C(2,-1)时，取到最大值 7.选 B.7. 命题“ ”是命题“直线 与直线 平行”的（ ）m=2 2x+my2m+4=0 m
4、x+2ym+2=0A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】C【解析】当两直线平行时， ，当 m=2 时，两直线均为 x+y=0，不符。当 m=-2 时，两直线分m2=4,m=2别为 x-y-4=0,x-y-2=0 不重合，符合。所以 m=-2 是两直线平行的充要条件，选 C.8. 函数 的部分图象如图所示，则 的值是（ ）f(0)A. B. C. D. 32 34 62 64【答案】C【解析】同图像可知 ，所以 ， 又A= 2,T4=7123=4,T=,=2 f(x)= 2sin(2x+) 00,0)(1) 的确定：根据图象的最高点和最低点
5、，即 ；A12（ y最 高 点 -y最 低 点 ）(2) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 ；h h12（ y最 高 点 +y最 低 点 ）(3) 的确定：结合图象，先求出周期 ，然后由 ( )来确定 ； T T=20 (4) 求 ，常用的方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时 已知)或代入图像与直线 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定 值时，由函数 最开始与 轴的交点的横坐标为 (即令 ， )确 y=Asin(x+)+k x x+=0 x=定 .将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点” （即图象上升时与 轴的交
6、点）为 ，其他依次类推即可.x x0+=0+2k9. 已知圆 的方程为 ，直线 与圆 交于 两点，则当 面积最大时，直线C x22x+y2=0 l:kxy+22k=0 C ABC的斜率 （ ）k=A. 1 B. 6 C. 1 或 7 D. 2 或 6【答案】C【解析】圆可化标准方程： 直线可变形为 ，即圆心为（1，0） ，半径 r=1,直线过定(x1)2+y2=1, y=k(x2)+2点（2，2） ，由面积公式 SABC=12r2sin=12sin12,(ACB=)所以当 时，即点到直线距离为 时取最大值。 ，解得 k=1 或 7,选 C.=2 22 d=|k+2|k2+1=22【点睛】本题选
7、择合适是三角形面积公式是关键，选择 ，使运算更简单，也更好理解。S=12absinC10. 己知曲线 上存在两条斜率为 3 的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数的取值范围为 （ ）A. B. C. D. (3,134) （ 3， 134 （ -， 134 （ -， 134）【答案】C【解析】由题意可知 ，即有两个解，且 均大于零。即 ，f(x)=x2x+a=3 x1,x2 x2x+a3=0，解得 ,选 A.=14(a3)0x1x2=a30 30) f(x)=2x12x2=4x-12x2 (0,14) (14,+)，即 ,又均值不等式等号成立条件当且仅当 ，所以 .选 C.f(x)min=f
8、(14) a2=4b2 e= 1+(ba)2=52【点睛】（1）双曲线上任意关于原点对称的两点 ，另一动点 ，则A(x1,y1),B(x1,y1) P(x0,y0) kPAkPB=b2a2（2）椭圆上任意关于原点对称的两点 ，另一动点 ，则A(x1,y1),B(x1,y1) P(x0,y0) kPAkPB=b2a2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 _an n Sn S2=3 S4=15 S6=【答案】63【解析】因为等比数列 ，所以 也成等比数列，即 ，填 63.an S2,S4S2,S6S4 3(S615)=144,S6=631
9、4. 抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上一点，且 不在直线 上，则 周长的最小值为y2=8x F A(6,3) P P AF PAF_【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离 PF 等于这点到准线的距离 d,即 FP=d.所以周长，填 13.l=PA+PF+AF=PA+AF+d=PA+d+513【点睛】解距离和及差最值问题常需要用到距离的转化及对称变换等。如本题就利用抛物线的定义进行距离转化。抛物线上的点到焦点的距离 PF 等于这点到准线的距离 d,即 FP=d，同时 折线段和大于或等于垂线段PA+d距离，即点 A 到准线的距离。15. 已知平面向量 满足： ， ， ，
10、，则 与 的夹角正弦a,b,c |a|=|b|=5 ab=0 =23 |ca|=23 ab cb值为 _【答案】3210【解析】由题意得 ，即求 ，如下图，所以OA=OB=5,OAOB,BCA=23,AC=23 sinCBA， ，填 。AB=52,ACsinCBA= ABsinBCA 23sinCBA=5232,sinCBA=352=3210 321016. 已知 是定义在 上的偶函数，令 ，若实数 满足是 ，则f(x) R F(x)=(xb)f(xb)+1009 b 2b=a+c_F(a)+F(c)=【答案】2018【解析】由题意可知 ,因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，所以 =ab=bc
11、 f(x) R f(ab)=f(cb) F(a)+F(c)=2018，填 2018.(ab)f(ab)+(cb)f(cb)+2018【点睛】偶函数定义域关于原点对称，且满足 f(x)=f(-x), 奇函数定义域关于原点对称，且满足 f(x)=-f(-x)。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列 的前 项和为 ,且 对一切正整数 恒成立.an n Sn an+1=2+Sn n（1）求当 为何值时 ,数列 是等比数列,并求出它的通项公式；a1 an（2）在（1）的条件下，记数列 的前 项和为 ，求 .bn=an(an+1+1)(an+1) n Tn Tn【答案】 （1
12、） ；（2）an=2n 13 12n+1+1【解析】试题分析：（1）再写一个式子，利用 可求得 。（2）由（1）可得 ，所以an=SnSn1,n2S1,n=1 an an=2n，用裂项求和求和 。Tn试题解析：（1）由 得：当 时， ，an+1=2+Sn n2 an=2+Sn-1两式相减得： ， an+1=2an因为数列 是等比数列，所以 ，an a2=2a1又因为 ，所以解得： ,得： a2=2+S1=2+a1 a1=2 an=2n（2） bn= 2n(1+2n)(1+2n+1)= 11+2n- 11+2n+1Tn=( 12+1- 122+1)+( 122+1- 123+1)+( 12n+1
13、- 12n+1+1) =13- 12n+1+1【点睛】对于递推式中有 等时，我 们常用公式， 统一成 或统一成 做。an,Sn,an1,Sn1an=SnSn1,n2S1,n=1 an Sn18. 已知 三个内角 的对边分别为 ， 的面积 满足 ABC A,B,C a,b,c ABC S 43S=a2+b2c2（1）求角 的值；C（2）求 的取值范围cos2A+cos(AB)【答案】 （1） ；（2）23 (0, 3)【解析】试题分析：（1）由余弦定理 和面积公式 代入可求角 C.(2)由（1）得a2+b2-c2=2abcosC S=12absinC，所以 ，消去角 B，变成关于角 A 的三角函
14、数，注意 ，可求的范围。C=23 A+B=3 0=- 3+0- 31+33+1+1=- 155直线 与平面 所成角的正弦值为AB ACD155【点睛】直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量 e与 n 的夹角为 ，则有 sin |cos | .|ne|n|e|20. 随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查 50 次商业行为，并把调查结果制成下表：年龄（岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75
15、）频数 5 10 15 10 5 5手机支付 4 6 10 6 2 0(1)若从年龄在 55，65）的被调查者中随机选取 2 人进行调查，记选中的 2 人中使用手机支付的人数为 ，X求 的分布列及数学期望；X(2)把年龄在15 ，45）称为中青年，年龄在 45，75）称为中老年，请根据上表完 22 列联表，是否有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？95%手机支付 未使用手机支付 总计中青年中老年总计可能用到的公式： k2= n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d独立性检验临界值表：【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：
16、（1）超几何分布列（2）根据上表填 22 列联表，根据公式算出卡方与数据 进行3.841比较。试题解析：（1）年龄在 55，65）的被调查者共 5 人，其中使用手机支付的有 2 人，则抽取的 2 人中使用手机支付的人数 X 可能取值为 0,1,2； ；P(X=0)=C32C52=310 P(X=2)=C22C52=110所以 X 的分布列为X 0 1 2P310 35 110E(X)=0310+135+2110=45（2）22 列联表如图所示手机支付 未使用手机支付 总计中青年 20 10 30中老年 8 12 20总计 28 22 50没有 以上的把握判断使用手机支付与k2=50(2012-
17、810)220302822= 50100(24-8)2203047211=50163711=8002313.463b0) 32（1）求椭圆的标准方程；（2）已知 分别为椭圆的左右顶点， , ，且 ,直线 与 分别与椭圆交于 两点，A、 B M(1,m)(m0 m32) AM BM E、 F（i）用 表示点 的纵坐标；m E、 F（ii）若 面积是 面积的 5 倍，求 的值AMF BME m【答案】 （1） ；（2 ）x24+y2=1 12【解析】试题分析：（1）由 b=2, ,可求得标准方程。 （2）设直线方程与椭圆方程组方程组，可解得e=ca=32交点坐标 E,F。三角形面积公式用 ，面积比转化为线段比，再转化为 y 坐标的比。S=12absinC试题解析：（1）由题意知 ，解得 ， a=2b=1c= 3 椭圆的标准方程为： . x24+y2=1（2 ） （i ） ， ， ，且 ， A(-2,0) B(2,0) M(1， m) m0
