1、2018 届广东省江门市高三 3 月模拟（一模）考试数学理试题（解析版）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 是实数集， ， ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】 , ,所以 ,选 .2.为虚数单位，复数 的共轭复数为，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , ,所以所求式子 ,故选 .3. 已知命题 ： ， 则命题 的否定 为A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题,故选 .4. 已知向量 ， ，若与 的夹角为 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】 , ,故选
2、.5. 某程序框图如图 1 所示，该程序运行后输出的A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断否,退出循环,输出 ,故选 .6. 若实数 ， 满足不等式组 且 的最大值为 ，则实数A. B. C. D. 【答案】A【解析】画出可行域如下图所示,由于目标函数 ,要使目标函数存在最大值,则需 .由 ,解得 ,代入目标函数得 ,解得 .故选 .7. 若， 都是正整数，则 成立的充要条件是A. B.， 至少有一个为 1 C. D
3、. 且【答案】B【解析】 ,当 时,不等式成立,故排除 三个选项,所以选 .8. 在 中，若 ， ，且 的面积 ，则 的边 的长为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由正弦定理得 ,由三角形面积公式得 , ,解得 ,由余弦定理得 .9. 6 件产品中有 件合格品， 件次品。为找出 件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验出最后一件次品的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】次正正次,正次正次,正正次次,以上三种可能,概率为,故选 .10. 某几何体的三视图如图 2 所示，则该几何体的体积A. B. C. D. 【答案】C【解析】原图为下图所示的几何体 ,所以体
4、积为 .选 .11. 已知函数 ，若实数满足 ，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【点睛】本小题主要考查指数与对数运算,考查函数的单调性和奇偶性的应用,考查了化归与转化的数学思想方法.要解出本题,首先要熟悉指数和对数的运算公式: ,和 ,然后要判断准确函数的奇偶性,最后根据奇偶性可以将原不等式进行转化,由此解得不等式的解集.12. 、 是抛物线 上关于直线 对称的两点，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 , ,两式相减并化简得 ,由于直线 与直线对称,故斜率为 ,即 ,设 中点为 ,代入直线 解得 ,故 中点坐标为,由点斜式写出直线 方程为 ,化简得 ,代入抛物线
5、方程,解得 ,由两点间距离公式求得 .故选 .【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系,考查两点关于一条直线的对称点,考查两点间的距离公式和直线方程的形式.由于涉及两点关于一条直线对称,故可考虑点差法来解决,即设出 两点的坐标,代入抛物线方程,作差后化为斜率和中点,结合题目所给已知条件可求得中点的坐标.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13. 已知随机变量 ，且 ，则 _【答案】0.34【解析】 .14. 若 ， ，则 _【答案】【解析】 , ,解得 ,两式相除得.15. 设 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则_【答案】92【解析】 ,故原式 .【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解
6、,考查对数运算等式知识. 表示不超过 的最大整数，这是一个很常见的新定义的条件,结合本题中的对数运算的性质 可以得到,第一项到第九项是零,第 到第 项都是 ,最后一项是 ,由此可求得最后的值.16. 若、 都是 之间的均匀随机数，则方程 有实根的概率为_【答案】【解析】方程有实数根,判别式为非负数,即 ,即 ,画出图象如下图所示,根据几何概型的知识可知,概率为 .【点睛】本小题主要考查一元二次方程有解的充要条件,考查了二元一次方程组线性规划的可行域的图象画法,考查了几何概型的计算公式.首先根据题目一元二次方程有解,判别式是非负数,利用平方差公式进行因式分解,将 看成 画出可行域 ,利用面积比求
7、得概率.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列 的前 项和 （ 为正整数） （）求证： 为等差数列；（）求数列 的前 项和公式 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【试题分析】(I)利用 ,可求得 ,即证明了数列为等差数列.(II) 由(I)求得 的表达式,并利用错位相减求和法求其前 项和 .【试题解析】（） （方法一）当 时， 解得由 得，当 时，有 代入上式得 整理得，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列（方法二）当 时， 解得 ，设 ，则 ， 当 时，有 代入得整理得 所以 即 是以 为首项， 为公差的等差数列（）由（）得 ，依题意 上式两边同乘以 ，得
8、-得，所以18. 如图 3， 是一个直角梯形， ， 为 边上一点， 、 相交于 ， ， 将 沿 折起，使平面 平面 ，连接 、 ，得到如图 4 所示的四棱锥 （）求证： 平面 ；（）求直线 与面 所成角的余弦值【答案】(1)见解析(2)【试题解析】（）在 中， ， ，所以 同理 ，从而 ，又因为 ，所以 是平行四边形，因为平面 平面 ，平面 平面 =AE， ，所以 平面 又 平面 ，所以，所以 （） （方法一）由（）可知，直线 OA、OB、OD 两两互相垂直，因此，以 O 为原点，OA 、OD、OB 所在直线分别为 轴、 轴、轴建立空间直角坐标系 (如图所示 ) 则 ， ， ，设平面 的一个法
9、向量为 ，则解得 ， ，取 所以直线 与面 所成角的余弦值为 （方法二）由（）可知，四边形 的面积 连接 ，则 的面积 ，三棱锥 的体积 的面积 设 到平面 的距离为 ，则 ， 直线 与面 所成角的正弦值为 ，余弦值为19. 某市一批养殖专业户投资石金钱龟养殖业，行业协会为了了解市场行情，对石金钱龟幼苖销售价格进行调查。2017 年 12 月随机抽取 500 户销售石金钱龟幼苖的平均价格，得到如下不完整的频率分布统计表：（）完成统计表。（）为了向石金钱龟养殖户提供更好的幼苖销售参考，协会决定 2018 年 1 月份从第 1，3，5组中用分层抽样方法取出 7 户出售幼龟价格跟踪调查，求第 1，3
10、，5 组 1 月份接受调查的户数。（）在（）的前提下，协会决定从选出的 7 个养殖户中随机抽取 3 户总结销售经验为了鼓励养殖户支持调查工作，协会决定：发给第 1 组被抽到的每户幸运奖奖金 210 元，第 3 组被抽到的每户幸运奖奖金 70 元，第 5 组被抽到的每户幸运奖奖金 140 元记发出的幸运奖总奖金额为元,求的分布列和数学期望 【答案】(1)见解析(2) 第 1，3 ，5 组接受调查的户数分别为 1，4，2 （3）见解析【解析】 【试题分析】(I)用 乘以频率得到频数,由此填写好表格 .(II)利用分层抽样各层的比例计算得每组抽取的人数.(III)的所有可能取值为 210,280,350,420,490.利用古典概型的计算公式计算出概率,并求出期望值.【试题解析】（）（）按分层抽样，可得第 1 组抽取的户数： ，第 3 组抽取的户数： ，第 5 组抽取的户数： .因此，第 1，3，5 组接受调查的户数分别为 1，4，2（）依题意，的所有可能取值为 210，280，350，420，490，则所以的分布列为：所以的数学期望为：20. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，动点 不在 轴上，直线 、 的斜率之积（）求动点 的轨迹方程；（）经过点 的两直线与动点 的轨迹分别相交于 、 两点。是否存在常数，使得任意满足
