1、梅 河口 市第 五 中学 2018 届 高三 第 一 次 模拟数 学试 卷（ 理科 ）第卷（ 选择 题 共 60 分）一、选 择题 ：本 大题 共 12 小 题 ，每 小题 5 分 ，在 每小 题 给 出的 四 个 选项 中 ，只 有一 项是 符合题 目要 求的1.集合 A 1, 2, 3, 4 ， B 3, 4, 5, 6 ，则图中阴影部分表示的集合为A B 1, 2 C 3, 4 D 5, 62.已知 i 为虚 数单 位，则 复数 3 4i 的虚 部为1 iA. 7 B. 72 2 C. 7 i2 D. 7 i23若向量 a, b 的夹角 为 ，且 a3 2, b 1 ，则向量 a 与向量
2、 a 2b 的夹角为A. 6 B. C. 23 3 D. 564已知等差数列 an 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列 , 则 a3 A. 10 B 6 C 8 D. 45 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨） 的几组对应数据 ， 根据下表提供的数据， 求出 y 关于x 的 线 性 回 归 方 程 为（ ）y 0.7 x 0.35 ， 则 下 列 结 论 错 误 的 是x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A线性回归直线一定过点 (4.5, 3.5)B产品的生产能耗与产量呈正相关C t 的取值是 3
3、.15D A 产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加 0.7 吨6.下列 命题 中，真 命题 是A. x R, 2x x 2 B. x R, e x 0C. 若 a b, c d ， 则 a c b d D. ac2 bc2 是 a b 的充 分不 必要条 件7 某几何体的三视图如图所示， 且该几何体的体积是 3， 则正视图中的 x 的值是A. 2 B. 92 y 1C. 32 D. 38.知实数 x、 y 满足 y 2 x 1， 如果目标函数 z x y 的最小值为-1， 则实数 m x y m（ ）A6 B5 C4 D39如图所示的程序框图，若输出的 S 88 ，则判断框内应填入的条
4、件是（ ）A k 3? B k 4 ? C k 5? D k 6 ?10.已知函数 f ( x) sin(x )( 0, ) 的最小正周期为 4 ，且对 x R ，2有 f ( x) f ( ) 成立，则 f ( x) 的一个对称中心坐标是3A. ( 2 , 0)3 B. ( , 0)3 C. ( 2 , 0)3 D. ( 5 , 0)311 已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点 ， 且左、 右焦点分别为 F1 , F2 ，这 两 条 曲 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P, PF1 F2 是 以 PF1 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 。 若PF1 10 ，椭圆与双曲线的离
5、心率分别为 e1 , e2 ，则 e1e2 的取值范围是A.(0, ) B. 1 , C. 1 , D. 1 , 3 5 9 ，12 一矩形的一边在 x 轴上， 另两个顶点在函数 y 2 x1 x2( x 0) 的图像上， 如图 ，则此矩形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）A B C D 3 4 2第卷（非选择题 90 分）二、填空题( 本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分 ,把答案填在答题 纸的相应位置 上)x+y 113.记 集合 A x, y x 2 y2 1, B x, y x 0y 0， 构成 的平 面区 域分 别为 M， N，现随机地向M 中抛一粒豆子（
6、大小忽略不计），则该豆子落入 N 中的概率为 .14. 已知 (1 2 x)5 (1 ax)4 的展开式中 x 的系数为 2，则实数 a 的值为 15. 设数列 an 满足 a2 a4 10 ，点 Pn (n, an ) 对任意的 n N ，都有向量Pn Pn 1 (1,2) ，则数列 an 的前 n 项和 S n .816. 已知两条直线 l1 ： y m 和 l2 : y 2m 1(m 0), l1 与函数 y log2 x 的图像从左 到 右 相 交 于 点 A, B , L2 与 函 数 y log2 x 的 图 像 从 左 到 右 相 交 于 点 C , D, 记 线段 AC 和 B
7、D 在 x 轴 的 投 影 长 度 分 别 为 a,b.当 m 变化 时b 的 最 小 值 为 .a三、 解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) D17、(本小题满分 12 分)如图，平面四边形 ABCD 中，CAB 5 ， AD 2 2 ， CD 3 ， CBD 30 ， BCD 120 ，求 （） ADB ；（） ADC 的面积 S .A B18 (本小题满分 12 分)如图， ABC 中， O 是 BC 的中点， AB AC ， AO 2OC 2 ，将 BAO 沿 AO 折起，使 B 点到达 B 点（1）求证：
8、AO 平 面 BOC ；（2） 当三棱锥 B AOC 的体积最大时， 试问在线段 BA 上是否存在一点 P ， 使 CP与 平 面 BOA 所 成 的 角 的 正 弦 值 为请说明理由.6 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 P 的 位 置 ； 若 不 存 在 ，319.(本 小 题 满 分 12 分 )第 31 届 夏 季 奥 林 匹 克 运 动 会 将 于 2016 年 8 月 5 日 21 日在 巴西里 约热内 卢举行. 下表 是近五 届奥运 会中国 代表团和 俄罗斯 代表团 获得 的金牌数的统计数据（单位：枚）.第 30 届伦敦 第 29 届北京第 28 届雅典第 27 届悉尼第 26 届
9、亚特兰大中国 38 51 32 28 16俄罗斯 24 23 27 32 26（） 根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度 （不要求计算出 具体数值，给出结论即可） ；（） 甲、 乙、 丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的 哪一个获得的金 牌数 多（假 设两国 代表团 获得的金 牌数不 会相等 ） ，规 定甲、 乙、丙 必须在 两个代表团中选一个， 已知甲、 乙猜中国代表团的概率都为 4 ， 丙猜中国代表团的概5率 为 3 ， 三人 各自 猜哪 个代 表团 的结 果互 不影 响. 现 让甲 、乙 、丙 各
10、猜 一次 ，设5三人中猜中国代表团的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望 EX .中国 俄罗 斯1234520.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C : y 2 2 px 经过点 M (2, 2) ， C 在点 M 处的切 线交 x 轴于点 N ，直线 l1 经过点 N 且垂直于 x 轴.（）求线段 ON 的长；（）设不经过点 M 和 N 的动直线 l2 : x my b 交 C 于点 A 和 B ，交 l1 于点 E ， 若 直 线 MA 、 ME 、 MB 的 斜 率 依 次 成 等 差 数 列 ， 试 问 ： l2 是 否 过 定 点 ？ 请 说明理由.21.(本小题满分 12 分
11、)已知函数 f ( x) ln(2 x) x（1）求 f ( x) 在 1, a (a 1) 上的最小值；（2） 若关于 x 的不等式 f 2 ( x) mf ( x) 0 只有两个整数解 ， 求实数 m 的取值范围请 考 生在 第 22， 23， 24 题 中 任选 一 题 做答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所做 的 第 一题 计 分 ， 做答 时请 写清题 号22.（本 小题 10 分） 选修 4-1:几何 证明 选讲已知 A, B, C, D 为圆 O 上的四点，过 A 作圆 O 的切线交 BD 的延长线于点 P ，且PA PE , ABC 450 , PD 1, BD 8 .（ I
12、）求弦 AB 的长；（I I)求圆 O 的半径 R 的值23 （本 小题 10 分） 选修 4-4:坐标 系与 参数方 程已知圆 O : x 2 y 2 4 ， 将 圆 O 上每一点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的 1 ，2得到曲线 C （I ）写出曲线 C 的参数方程；（I I） 设直线 l : x 2 y 2 0 与曲线 C 相交于 A, B 两点， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 m 过线段 AB 的中点，且倾斜角是直线 l 的 倾斜角的 2 倍，求直线 m 的极坐标方程24.（本 小题 10 分） 选修 4-5:不等 式选 讲（ I） 若关于 x 的不等
13、式 x 1 x 2 a 3 的解集是空集， 求实数 a 的取值范围；（I I）对任意正实数 x, y ，不等式 2x 值范围3 y k 8x 6 y 恒成立，求实数 k 的取参考答案一选择题 1-6 BAADCD 7-12 DBCABA二、填空题13. 14. 3 15. 16.8 (17) 【解析】 （）在 中，由正弦定理BCD得： 3sin1si 2BD， 2 分在 中，由余弦定理得：A22cosBDA()3(5)4 分所以 AB6 分（）因为 ， ，30CD120B所以 因为 6sinsi(45)48 分所以 1in2SAC623341218.试题解析：（1） 且 是ABO的中点， ，
14、，由BCC折叠知 ，O又 ， 面 ；（2）不存在，证明如下：当面 BOA面 C时，三棱锥 BAO的体积最大，面 BA面 OC， ， B面 ACO，法 1：连结 P， COB， A， ，C面 BA， P即为与平面 BA所成的角，在直角三角形 中，CPO， ， ，126sin3，而 中， ，36PAB5A，设 到直线 的距离为 ，则由h，得 ，115252CBS35 , 满足条件的点 不存在，PhP法 2：在直角三角形 中， ，O1C， ，tan2,2P易求得 到直线 的距离为 ，AB25满足条件的点 不存在；法 3：已证得 ， ， 两两垂直 ，如OC图建立空间直角坐标系 ，xyz则 ， ， ，设
15、(2,0)(,1)(0,)，则，2,P又平面 的法向量 ，依题意 (0,1)n得， ，63|n得 ，化简得，2158，此方程无解，满足条件0670的点 不存在.19.【解析】 （）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下中国 俄罗斯12345682 814 3 7 62 3 分通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散。 6 分（）解： 的可能取值为 ，设事件X0,123分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，ABC、则 24(0)()()(1)55PPBC1XA224339()(1)55C(2)(
16、)()()PXABCPABC124343565512()()(281故的X分布列为0123P2159255614812510 分 219564812355EX12分(20) 【解析】（）由抛物线 2:Cypx经过点 (,)M，得 24p，故，的C方程为 2yx2 分在第一象限的图象对应的函数解析式为，则 yxyx故 在点 处的切线斜率为 ，切线的方程为M2y令 得 ，所以点 的坐标为0xN(2,0)故线段 的长为 O5 分（） 恒过定点 ，理由如下：2l(,)由题意可知 的方程为 ，因为 与 相交，1x2l1故 m由 ，令 ，得 ，2:lxybbym故 (,)设 (,AB由 消去 得：xmyb
17、x20yb则 ， 17 分直线 的斜率为 ，MA1211yxy同理直线 的斜率为B2y直线 的斜率为 E4bm因为直线 、 、 的斜率依次成等差数AM列，所以12214by即 12121() 2()4ybm10 分整理得： ， 2bm因为 不经过点 ，所以2lN所以 ，即 b故 的方程为 ，即 恒过定点2l2xmyl12 分(,0)21.试题解析：（1） ，令21n()()xf得 的递增区间为 ；()fxf0,e令 得 的递减区间为 ，0f()fx(,)22 分 ，则1,a当 时， 在 上为增函数，e()fx,的最小值为 ； ()fxln2当 时， 在 上为增函数，在2ea()fx1,e上为减
18、函数，又,，ln4()(1)2ff若 ， 的最小值为eafx，4 分若 ， 的(1)lnf 2a()fx最小值为 ，l()f综上，当 时， 的最小值为2a()fx；当 ， 的最小值为(1)lnf（2）由（1）知， 的递增区间为()fx，递减区间为 ，(0,)e,2e且在 上 ，又,2ln10x，则 又 0x()0f()2f 时，由不等式 得m0fxmf或 ，而 解集为()f()f()1(,)2，整数解有无数多个，不合题意； 0m时，由不等式 2()0fxf得 ，解集为 1(0,),)2，整数解有无数多个，不合题意； 0m时，由不等式 2()0fxf得 m或 ()0fx， ()fx解集为 无整数
19、解，1(0,)2若不等式 有两整数解，则()0fxmf，(3)f 1ln2ln63综上，实数 的取值范围是m1l2,ln6322.解（I） , 是圆045ABCP的切线，O,又 ，0PEE，又 ，9A18D由切割线定理得,2 3BPA210(II)在 中，RTE,3,PA2826EDBD由相交弦定理得 12263CAEC,由正弦定理5E.225sinRABC23.解（I）：设曲线 上任意一点C，则点 在圆 上，,Py,2QxyO， 曲线2241即 的参数方程是Ccosiny为 参 数（II）联立直线 与曲线 得lC 12,0,1,2ABABN线 段 的 中 点 的 坐 标 为，设直线 的倾斜角为 ，则l，1tan2，21ta4t 31,6102myxxy直 线 的 方 程 为 ： 即 8， sin直 线 的 极 坐 标 方 程 为 ： co24.解（I） 12123,123xxx，又原不等式的解集是空集，360aa或实数 的取值范围是,0,（II）由柯西不等式 23186342 286xyxyxy当且仅当 时312yxx即取最大值 386xy又不等式 对286kxy正实数 xy恒成立，等价于 238ykx恒成立， k。 实数k的取值范围是 ,
