1、2017 届福建省厦门外国语学校高三适应性模拟考试数学（理）试题(时间：120 分钟；满分：150 分)注意事项：1本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名2本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 （选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合214Ax， lg(1)Bxy，则 AB（ A ）A B 12 C 2x D 12x2复数51iz的共轭复数为( A ）A B i21 C 1i D i1 3. 已知
2、数列 na为等差数列，其前 n项和为 nS， 7825a，则 1S为( B ）A. 10 B. 5 C. 50 D. 不能确定4.已知函数 ()2sicofxx在 处取得最大值，则 0cosx( A )A 5B 5 C25D255. 阅读程序框图，该算法的功能是输出（ D ）A数列 12n的前 4项的和 B数列 的第 项 C. 数列n的前 5项的和 D数列 21的第 项6. 九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“ 已知直角三角形两直角边长分别为 8步和 15步，问其内切圆的直径为多少步？ ”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是
3、（ D ）A310B320C.310D31207已知函数 sin()yx在 6处取得最大值，则函数 cos()yx的图象 （ A ）A关于点06,对称 B关于点0)3,对称 C关于直线x对称 D关于直线x对称8如图，正方体 1BCDA中， E为棱 1的中点，用过点 A、E、C 1 的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是( A ) 9. 已知 0ABC， 1， 2BC， 0AD，则 B的最大值为（ C ）A. 25B. 2 C. 5 D. 2510. 实数 x， y满足1|yx时，目标函数 zxmy的最大值等于 5，则实数 m的值为（ B ）A2 B3 C4 D511
4、.已知 F是双曲线 C：21(0,)xyab的右焦点， P是 y轴正半轴上一点，以 OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点 M若点 P， ， F三点共线，且 MF的面积是 面积的 5 倍，则双曲线 的离心率为（ C ）A. 3 B. 5 C. 6 D. 712. 若至少存在一个 x，使得方程2ln()xmex成立。则实数 m的取值范围为（ B ）A. 21meB. 21eC. 1D. 1eBD1E二、填空题13随着智能手机的普及，网络购物越来越受到人们的青睐，某研究性学习小组对使用智能手机的利与弊随机调查了 10 位同学，得到的满意度打分如茎叶图所示若这组数据的中位数、平均数分别为 ,
5、ab，则 ,的大小关系是 ab 14.二项式306ax的展开式的第二项的系数为32，则2axd的值为 3 15. 一光源 P在桌面 A的正上方，半径为 2的球与桌面相切，且 PA与球相切，小球在光源 P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是 BRt，其中 ，则该椭圆的长轴长为_16. 在公差不为 0 的等差数列中， qpaa51，记91的最小值为 m；若数列 nb满足 0n，mb21， 1n是 1 与214nb的等比中项，若 2sn对于任意 *N恒成立，则 S的取值范围是 _S三、解答题17. 在 ABC中，角 ,所对的边分别是sinisin23,aAb
6、BcCca.（1）求角 ；（2）若 的中线 D的长为 1，求 BC的面积的最大值 .17.解：(1)22sinisin233,cossinaAbcabcCB，即t3,C.(2) 由三角形中线长定理得： 2224abc，由三角形余弦定理得： 22cab，消去 2c得:244,3ab（当且仅当 ab时，等号成立），即1sin2ABCS5439 97318765718. 为备战 2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拨赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得 3分，负者得 分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为
7、35，丙胜甲的概率为34，乙胜丙的概率为 p，且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为10.（）求 p的值；（）设在该次对抗比赛中，丙得分为 X，求 的分布列和数学期望.【解析】（）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为10.即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为10， 2 分31()540p， 3p. 6 分（）依题意丙得分 X可以为 ,6,丙胜甲的概率为34，丙胜乙的概率为237 分1(0)432P,125(3)P,610 分0 3 6X12512 7()0364E. 12 分19. 如图，梯形 ABCD中， /，矩形 BFED所在的平面 与平面ABC垂直，且12A（）求证：平面
8、E平面 ； （）若 P为线段 F上一点，平面 PB与平面 E所成的锐二面角为 ，求 的最小值解：（）取 AB中点 ,连接 DF,因为 AB/CD, 1.2ADBF所以四边形 CF为平行四边形, ,CB2 分依题意, D为正三角形, .3 分因为平面 BFED平面 ABCD, 平面 BFED平面 ABCD B,FCBADEP,ADB平面 ACD,所以 平面 BFED. 5 分又 平面 ADE, 平面 E平面 BF;6 分（）因为四边形 BFED 为矩形,所以 EDDB,如图建立空间直角坐标系 D-xyz.设 AD=1,则 (10),3),(013),ABPtt， ， ， ， 7 分,Pt,设 ,
9、mxyz是平面 PAB 的法向量,则 0,3.xtyz取 (3,1).t9 分又平面 ADE的一个法向量为 (0,n10 分min2cos,),2331()t. 12 分20. 已知 A为椭圆210xyab上的一个动点，弦 ,ABC分别过左右焦点 12,F，且当线段1F的中点在 轴上时， 12cos3FA（1）求该椭圆的离心率；（2）设 12,F，试判断 12是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由20.解：（1）当线段 1AF的中点在 y轴上时， AC垂直于 x轴， 12AF为直角三角形，因为 12cos3，所以 123F，易知2ba，由椭圆的定义可得 12AFa
10、，则24baA，即 22bac；即 2c，即有 2ce；（2）由（1）得椭圆方程为 xyb，焦点坐标为 1,0,Fb，当 ,BC的斜率都存在时，设 012,ABxyC，则直线 A的方程为0yxb，代入椭圆方程得：2220003bxyb，zyx FCFBADEP可得20013byyx，又20032AFybxC，同理0132bx，可得 126；（2）若 AC轴，则 21，5b，这时 126；若 Bx轴，则 1,5，这时也有 12；综上所述， 2是定值 621. 设函数 lnxfae，其中 Ra， e是自然对数的底数.（）若 是 0,上的增函数，求 的取值范围；（）若 2ea，证明： 0fx.21解
11、：（） e1lnfa， fx是 0,上的增函数等价于 0fx恒成立.令 0fx，得lx，令lexg（ ）.以下只需求 g的最大值.求导得1elnxg，令lhx，210hx， hx是 ,上的减函数，又 10，故 1 是 的唯一零点，当 ,x， hx， 0gx， x递增；当 1,， 0hx， gx， 递减；故当 1x时， gx取得极大值且为最大值eg，所以 ea，即 的取值范围是1,e.（） 0fxln0xa.令elnxaF（ 0），以下证明当 2ea时， Fx的最小值大于 0.求导得21xx 21x.当 0时， 0F， Fe0a；当 1x时，21axe1x，令e1xGa，则 exG20，又2a2
12、0，取 1,2m且使 2e1a，即2e1m，则e1ma2e0，因为 0，故 Gx存在唯一零点 0,x，即 Fx有唯一的极值点且为极小值点 01,2，又00elnxF，且00e1xGa，即0exa，故001lxx，因为0200Fx ，故 0Fx是 1,2上的减函数.所以 0x1ln，所以 .综上，当 2ea时，总有 0fx.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为2cos,3inxty（t 为参数 )， 在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2
13、的极坐标方程为8cs.3（）求曲线 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （）若曲线 1C与曲线 2交于 ,AB两点，求 的最大值和最小值.（23）（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 1fx， 2gxa.（）当 0a，解不等式 f；（）若存在 xR，使得 x成立，求实数 a的取值范围.解：（）8cos=8cosins4cos3in33，（2 分）24in，即24xyy. （4 分）即 216xy，故曲线 2C是圆. （5 分）（）将曲线 1C的参数方程代入，化简得 3sin10tt. （7 分）222=sin53sin1ABt， （8 分）当 sin时， AB取得最大
14、值 8；当 0时， AB取得最小值 23. （10 分）（23）（本小题满分 10 分）解：（）由 fxg，得 12x， （1 分）两边平方，并整理得 30， （2 分）所以不等式的解集为|1x. （4 分）（）法一：由 fxg，得 2a，即 2xa. （5 分）令 1Fx，依题意可得 maF. （6 分）11xx， （8 分）当且仅当 0时，上述不等式的等号同时成立，所以 max1F.（9 分）所以 a的取值范围是 ,1（ . （10 分）法二：由 fxg，得 2xa，即 12xa. （5 分）令 1F，依题意可得 maF. （6 分）02=31xx， （7 分）易得 F在 ,0上单调递增，在 ,上单调递减，所以当 x时， x取得最大值 1. （9 分）故 a的取值范围是 ,（ . （10 分）
