1、长沙市一中 2017 届高考模拟卷(二)数学(理科)第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 等于( )21iA B C-8 D88i82. 已知 , ,若 ,则实数 的取值范围为( )10,21xyAxky,1BkA B C Dkk013. 在区间1,2上任选两个数 , ，则 的概率为( )x2A B C D12lnln112ln4. 若 （ ）是偶函数,则有序实数对（ ）可以是( )4si()4si()( bxaf 0abba,A B C.(1,1) D(-1,1)3, 3,5. 朱
2、世杰是历史上最未打的数学家之一,他所著的四元玉鉴卷中“如像招数一五间” ，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”.其大意为：“官府陆续派遣 1864 人前往修筑堤坝，第一天派出 64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多 7 人，修筑堤坝的每人每天发大米 3 升，共发出大米40392 升，问修筑堤坝多少天”.在这个问题中，前 5 天应发大米( )A894 升 B1170 升 C.1275 升 D1457 升6. 平行四边形 中， ， ， ，则 的值为( )CD2A2B0CMBAA-4 B4 C
3、. -2 D27. 执行下面的程序框图，如果输入的 , ，则输出的 值分别为( )168mnmk,A4,7 B4,56 C.3,7 D3,568. 如图，某几何体的三视图为三个边长均为 1 的正方形及两条对角线，则它的表面积为( )A B C. 3 D4229. 如图，有一直角墙角、两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是 4 和，不考虑树的粗细.先用 16 场的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的图象大致是( )A B C. D10. 双曲线 的渐近线方程为 ，一个焦点为 ，点 ，点 为双曲线第一象Cxy32)7,0(
4、F)0,2(AP限内的点，则当点 的位置变化时， 周长的最小值为( )PPAFA8 B10 C. D73417311. 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如右图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是( )A B C. D2232312. 若函数 （ ， ）在 上存在零点，且 ，则 的取bxaxfsini)( R0,2120abb值范围是( )A B.-3,-2 C.-2,0 D-3,00,32第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.在 的展开式中， 项的系数是 （用数字作答） 52)1(.)(1xx2x14
5、.设不等式组 ，表示的平面区域为 ，若函数 的图象上存在区域 上063yD)1(logaxyD的点，则实数 的取值范围是 a15.直线 过抛物线 ： 的焦点 ，与抛物线交于 ， 两点，与其准线交于点 ，若lC)(2pxFAB， ，则 6AFBFD16.设数列 满足 ， ， ， ，.则数列 的前na12a2sin)cos1(2an 3,1na20 项的和是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在平面四边形 中，已知 ， ， ，在 边上取点 ，使得ABCD2A3B6ABE，连接 ， .若 ， .1BEE37EC（）求 的值；Cs
6、in（）求 的长 .D18. 如图，在多面体 中，四边形 为等腰梯形， ， ， ， 与ABCDEFABCDCDAB/42AC相交于 ，且 ，矩形 底面 ， 为线段 上一动点，满足 .BDOMEFEFM（）若 平面 ，求实数 的值；/AMEBD（）当 时，锐二面角 的余弦值为 ，求多面体 的体积.31BAM147ABCDEF19. 专家研究表明， 2.5 是霾的主要成份，在研究 2.5 形成原因时，某研究人员研究了 2.5PPPM与燃烧排放的 、 、 、 等物质的相关关系.下图是某地某月 2.5 与 和 相关性的2CON2OPO2散点图.（）根据上面散点图，请你就 ， 对 2.5 的影响关系做出
7、初步评价；CO2PM（）根据有关规定，当 排放量低于 时 排放量达标，反之为 排放量超标；当2/10mgCOCO2.5 值大于 时雾霾严重，反之雾霾不严重.根据 2.5 与 相关性的散点图填写好下PM2/0mgP面 列联表，并判断有多大的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”：2雾霾不严重 雾霾严重 总计排放量达标CO排放量超标总计（）我们知道雾霾对交通影响较大.某市交通部门发现，在一个月内，当 排放量分别是 60，120,180CO时，某路口的交通流量（单位：万辆）一次是 800，600,200，而在一个月内， 排放量是 60,120,180的概率一次是 ， ， （ ） ，求该路口一个月的交通
8、流量期望值的取值范围.p2q1p附：)(2kxP0.100 0.050 0.010 0.0012.706 3.841 6.635 10.828)()(22 dbcabnK20. 设 ， ， ， 是椭圆 ： （ ）的四个顶点，四边形 是圆 ：PQRS1C12byax0aPQRSOC的外切平行四边形，其面积为 .椭圆 的内接 的重心（三条中线的交点）为坐7362yx 31CAB标原点 .O（）求椭圆 的方程；1C（） 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.AB21. 已知函数 ， ， .)()xaf xeag)1(R（）判断直线 能否与曲线 相切，并说明理由；yy（）若不等式 有
9、且仅有两个整数解，求 的取值范围.)(xfa请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数， 为大于零的常数） ，以坐标原点为极点，xOy1Csincoryxr轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为 .x 2 015sin82（）若曲线 与 有公共点，求 的取值范围；12r（）若 ，过曲线上 任意一点 作曲线 的切线，切于点 ，求 的最大值.r1CP2CQP23.选修 4-5：不等式选讲设函数 ， .axf)(R（）当 时，解不等式： ；2526)(xf（）若关于 的不等式 的解集
10、为-1,7，且两正数 和 满足 ，求证： .x4xstats2681ts试卷答案一、选择题1-5:ADADB 6-10:ACBBB 11、12：CD二、填空题13. 35 14. 15. 3 16.2101,3三、解答题17.解：（）在 中，据正弦定理，有 ，BECBCEsinsi ， ， .3217所以 .142sinsinCEBB（）由平面几何知识，可知 ，在 中，DEARt因为 ， ，所以 ，2A5 1475sincos2所以 .72cosDE在 中，据余弦定理有C，22DEACcos 49)21(7287所以 .718. 解：（）连接 ，在梯形 中， ，OEBC/ ， .BADC 12
11、CD 平面 ，平面 平面 ， ./MEOEAM/又 ，四边形 为平行四边形， .E/ ， .32ACOF（）梯形 底面 ，平面 平面 ，ABCDEFACBD 底面 . ， 底面 .E21OMFE以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立如图所示空间直角坐标系，OABxyz设 ，易证 ，所以 ，)0(aECCBAD OAB所以 ，同理 ，2OBA2O所以 ， ， ，)0,()0,()0,(， .),0(aM),02(aA， .),2D)0,2(B设平面 的法向量为 ，,1zyxm平面 的法向量为 .AB)(2n则 ，令 ，0DmM01yxazax1得 .)2,(a，令 得 .0ABn02yxazax
12、2)2,(n所以 ，解得： .nm,cos 1478522aa所以多面体 的体积 为，CDEFV.ABAV BOSSACEFACEF331 DSACEF31232119. 解：（） 对 有正相关关系，而 对 没有相关关系.O5.2PM25PM（）列联表如下：雾霾不严重 雾霾严重 总计排放量达标C13 5 18排放量超标O2 10 12总计 15 15 30由表中数据可知 .1825)03(2K879.t故有 99.5%的把握认为“雾霾是否严重与 排放量有关”.CO（）设交通流量是 ，则得如下分布列：X交通流量 800 600 200Ppq21q因为 ，所以 .12pqEX0680 )80,31
13、7(034p即 ，即交通流量期望值在 566.7 万辆到 800 万辆之间.807.5620. 解：（）因为四边形 是圆 外切平行四边形，所以 ，PQRSOC762ba又 ，所以 ， ，3122ba12a9b故所求椭圆 的方程为 .1C92yx（）当直线 斜率不存在时，因为 为 的重心，故 为左、右顶点，ABOABC不妨设 ，则直线 的方程为 ，)0,32(3x易得 ， 到直线 的距离 ，Cd所以 .271dABS设直线 方程为： ， ， .mkxy),(1yA),(2xB由 得 ，kxy192 03648)43(22则 .)(6422mk)91(22mk即 ，91k ，2214368kmx
14、.22121 43)(ky 为 的重心， ，OABC )436,8()( 22kmOBA 点在椭圆 上，故有 ，1 196128kkm化简得 .924km .)436()438(122kAB2229143mk又点 到直线 的距离 （ 是原点到 距离的 3 倍得到）.C21mddAB .dABSC212291436mk273462综上可得， 的面积为定值 .2721. 解：（）假设存在这一的实数 使得 的图象与 相切，设切点为 ，a)(xf)(xg),(0yx由 可知， ，即 xeaxg)1() e01(0 00)10eea又函数 的图象过定点（1,0） ，因此 ，即 f x)00 00(xx联
15、立、消去 有 .a20xe设 ，则 ，所以 在 上单调递增，)(xh1)(xh)(xhR而 ， ， ，故存在 ，使得 .10e0)()1,0(0)(xh所以存在直线 能与曲线 相切.)(xfyxgy（）由 得 .gf1)xea令 ，则 .xeh1)(xxeh2(令 ，则 ，所以 在 上单调递增，201)e)(R又 ， ，所以 在 上有唯一零点， ，01)(x)1,0(x此时 在 上单调递减，在 上单调递增.xh),),(0 ，01()(0minxe01xe易证 ， .1xe0)(0xh02x当 时， ；当 时， .011)(h（1）若 ，则 ，此时 有无穷多个整数解，不合题意；a)(xh)(xa（2）若 ，即 ，因为 在 上单调递减，在 上单调递增，1)(0,所以 时， ，所以 无整数解，不合题意；Zxax1,min)(axh1)(
