1、2017 届河南省郑州市高中毕业年级第三次质量预测数学（文）试题一、选择题1若集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 ，若 ，则 ，此时 ，反之，若，则 ，故选择 A.2为了解 600 名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 20 的样本，则需要分成几个小组进行抽取（ ）A. 20 B. 30 C. 40 D. 50【答案】A【解析】根据系统抽样的性质可知，若样本容量为 20，则需要分 20 组，故选择 A.3已知 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是（ ）A.
2、B. C. D. 【答案】B【解析】若 在复平面内对应的点在第二象限，则 ，所以，故选择 A.4中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外 ”.其中的 “筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如 6613 用算筹表示就是： ，则 5288 用算筹式可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据个位，百位数用纵式表示，十
3、位，千位用横式表示，所以 5288 可表示为，故选择 C.5已知 ，则 的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，所以 ，则，故选择 D.6已知 ，且 ，函数 的图象在点 处的切线的斜率为 3，数列 的前 项和为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意 ，所以 ，又 ，且 可得 ，则，所以 ，故选择 A.7如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体由三棱柱和半个圆柱组合而成.三棱柱底面为等腰直角三角形，高位 2，半个圆柱底面圆半径为 1，高为 1，因此该组合体的体积为，故选择 A
4、.8已知等比数列 ，且 ，则 的值为（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D【解析】由等比数列性质，故选择 D.9若实数 、 、 ，且 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由均值定理 ，当且仅当 时，等号成立，故选择 D.10椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 ， ，当 的周长最大时， 的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设椭圆右焦点为 ，则 ，当 三点共线时，等号成立，所以 的周长 ，此时，所以此时 的面积为 ，故选择 C.方法点睛：本题关键是通过图形分析，考虑到 ，当 三点共线时，等号成立，这样就可以根据椭圆定义将周长转
5、化为定值，这样就可以得出直线过右焦点，此时 为通径，于是 的面积易求.本题把直线与椭圆的位置关系巧妙的结合，考查学生分析问题，转化问题的能力.11四面体 中， ， ， ，则四面体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】将四面体 置于一个长方体中，所以四面体 的外接球即为长方体的外接球，设长方体的长、宽、高分别为 ，则根据图形可有 ，则外接球的直径 ，所以 ，则球的表面积为 ，故选择 C.方法点睛：解决关于四面体外接球的问题关键是抓住外接的特点，即四面体各个顶点在球面上，且球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用.对于特殊类型的问题，我们可以将其还
6、原为规则的几何题，如正方体、正四棱柱、长方体、正三棱柱等等，还原后可以转化为求长方体等特殊几何体的外接球，使问题变得简单、易于理解.12已知函数 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，设，则 ，所以 为奇函数，所以 ，则，因此 ，故选择 A.方法点睛：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值问题，首先通过分离常数得到，然后根据函数 ， 为奇函数，为偶函数，可以得到 为奇函数，利用奇函数关于原点对称，即 ，可以求出函数值.二、填空题13设变量 ， 满足约束条件： ，则目标函数 的最小值为_【答案】4；【解析】由下图可知，目标函数 在点 处取得最小值为 4.14已知向量 ，
7、，若向量 ， 的夹角为 ，则实数 _【答案】【解析】 ， ，根据数量积定义 ，解得.15在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ， ，则_【答案】【解析】根据正弦定理由 可得 ，又因为 ，所以 ，根据二倍角公式得 ，所以 .16在 中， ， 为平面内一点，且 ， 为劣弧 上一动点，且 ，则 的取值范围为_【答案】【解析】由题可知 为 的外接圆圆心，如图所示，则 ，所以由 有 ，即 ，由于 为劣弧 上一动点，所以 ，所以 ，即 ，又 可得： ，所以 ，则，所以 .方法点睛：平面向量中的最值或取值范围问题是考查的热点内容，多以下列角度进行考查：（1）求数量积的最值或范围；（2）求模的
8、最值；（3）球夹角的最值或范围；（4）求其他参数的取值范围或最值.这类题往往具有较强的综合性，常常与不等式、函数相结合进行考查，难度较大，通常以客观题形式考查.三、解答题17已知数列 是等差数列，首项 ，且 是 与 的等比中项.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）本问考查等差数列通项公式，根据 是 与 的等比中项可有 解方程求出公差 ，再根据等差数列通项公式可以求出的通项公式；（2）根据第（2）问 ，所以根据裂项相消法求和，即得出 .试题解析：(I)设数列 的公差为 ，由 ，且 是 与 的等比中项得：或与 是 与 的等比中
9、项矛盾，舍去.，即数列 的通项公式为 . (II)【考点】1.等差数列；2.数列裂项相消法求和.18按照国家环保部发布的新修订的环境空气质量标准 ，规定：PM2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方米，国家环保部门在 2016 年 10 月 1 日到 2017 年 1 月 30 日这 120 天对全国的 PM2.5 平均浓度的监测数据统计如下：组别 PM2.5 浓度（微克/立方米） 频数（天）第一组 32第二组 64第三组 16第四组 115 以上 8（1）在这 120 天中抽取 30 天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（2）在（1）中所抽取的样本 PM2.5 的平均浓度超过 7
10、5（微克/立方米）的若干天中，随机抽取 2 天，求恰好有一天平均浓度超过 115（微克/立方米）的概率.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）本问考查分层抽样，根据各组频数可知，比例关系为32：64：16：8=4：8：2：1，所以根据比例关系可知，若从 120 天中抽取 30 天做进一步分析，各组依次应抽取的天数分别为 8 天，16 天，4 天，2 天；（2）本问考查古典概型概率问题，PM2.5 浓度超过 75（微克/立方米）的共 6 天，其中在 的有 4 天，编号为 ，浓度在 115 以上的有 2 天，编号为 ，随机抽取 2 天，写出基本事件空间，找出恰好有一天平均浓度超过 1
11、15 所包含的基本事件个数，即可以求出概率.试题解析：（）这 120 天中抽取 30 天，应采取分层抽样，第一组抽取 天；第二组抽取 天；第三组抽取 天；第四组抽取 天.（）设 PM2.5 的平均浓度在 内的 4 天记为 ，PM2.5 的平均浓度在 115 以上的两天记为 .所以 6 天任取 2 天的情况有：共 15 种 记“恰好有一天平均浓度超过 115（微克/立方米） ”为事件 ，其中符合条件的有：共 8 种， 所求事件 A 的概率：【考点】1.分层抽样；2.古典概型.19如图，在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角形，且斜边 ，侧棱 ，点 为 的中点，点 在线段 上， （ 为实数）.（1）
12、求证：不论 取何值时，恒有 ；（2）当 时，求多面体 的体积.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）本问证明 ，想要证明线线垂直，可以先证明线面垂直，根据题中条件分析，可以证明 ，根据直三棱柱可知， ，又 ，所以可证 ，问题得证；（2）连接 ，多面体 的体积分割为三棱锥 + ，分别计算两个三棱锥的体积， ， ，两部分体积之后等于多面体 的体积. 试题解析：(I)证明： 是等腰直角三角形，点 为 的中点，又 又 (II) 是等腰直角三角形，且斜边 【考点】1.空间中的垂直关系；2.几何体的体积.20已知点 是圆 上任意一点，点 与点 关于原点对称，线段 的垂直平分线分别与 ， 交于
13、 ， 两点.（1）求点 的轨迹 的方程；（2）过点 的动直线 与点 的轨迹 交于 ， 两点，在 轴上是否存在定点 ，使以 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）本问考查曲线轨迹方程的求法，画出图形分析，根据垂直平分线的性质可知 ，再根据 ，于是得到所以点 的轨迹 为以 为焦点的椭圆，可以求出轨迹方程；（2）首先考虑当直线斜率存在时，方程可设为 ，设 ，联立直线与椭圆方程，消去 y，得到关于 x 的一元二次方程后，列出 ，假设在 轴上是否存在定点 ，使以 为直径的圆恒过这个点，则 即于是经计算可以求出 m 的值，再检验当斜率不存在时也符合上面求出的值.试题解析：(I)由题意得点 的轨迹 为以 为焦点的椭圆点 的轨迹 的方程为(II)直线 的方程可设为 ，设联立 可得由求根公式化简整理得假设在 轴上是否存在定点 ，使以 为直径的圆恒过这个点，则即
