1、2009 年中考数学分类汇编专题测试探索规律一、选择题1.（2008 年浙江省衢州市） 32， 和 34分别可以按如图所示方式“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和， 6也能按此规律进行“分裂”，则 36“分裂”出的奇数中最大的是( )A、41 B、39 C、31 D、292（2008 湖南益阳）有一种石棉瓦(如图 4)，每块宽 60 厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为 10 厘米，那么 n(n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为A. 60n 厘米 B. 50 n 厘米 C. (50 n+10)厘米 D. (60 n-10)厘米3.(2008 江苏宿迁)用边长为 1的正方形
2、覆盖 3的正方形网格,最多覆盖边长为 1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( ) 2 4 5 64.（2008 四川 泸州）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是 5cm，4cm， 3，把它们按不同方式叠放在一起分别组成新的长方体，在这些新长方体中表面积最大的是（ ） A 2158 B 2176cm C 2164c D 2185.(2008 湖南 益阳)如图 1，骰子是一个质量均匀的小正方体，它的六个面上分别刻有16 个点.，小明仔细观察骰子，发现任意相对两面的点数和都相等. 这枚骰子向上的一面的点数是 5，它的对面的点数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 66.(2008
3、河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图 1若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左3413151719391132357右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转 90，则完成一次变换图 2，图 3 分别表示第 1 次变换和第 2 次变换按上述规则完成第 9 次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ） A上 B下 C左 D右7.(2008 山东德州)将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形( )将纸片展开，得到的图形是 8.(2008 山东德州)只用下列图形不能镶嵌的是( )A三角形 B四边形 C
4、正五边形 D正六边形 9.(2008 黑龙江黑河)为紧急安置 100 名地震灾民，需要同时搭建可容纳 6 人和 4 人的两种帐篷，则搭建方案共有（ ）A8 种 B9 种 C16 种 D17 种10.(2008 山东 聊城)如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖从里向外的第 1 层包括 6 个正方形和 6 个正三角形，第 2 层包括 6 个正方形和 18 个正三角形，依此递推，第 8 层中含有正三角形个数是（ ） A54 个 B90 个 C102 个 D114 个11.(2008 台湾)有一长条型链子，其外型由边长为 1 公分的正六边形排列而
5、成。图表示此链之任一段花纹，其中每个黑色六边形与 6 个白色六边形相邻。若链子上有 35 个黑色六边形，则此链子共有几个白色六边形？( ) 众志成城图 1成城众志图 2志成城众第 1 次变换城众志成图 3成城众志第 2 次变换A B C D(A) 140 (B) 142 (C) 210 (D) 212 。12.(2008 台 湾 ) 小 嘉 全 班 在 操 场 上 围 坐 成 一 圈 。 若 以 班 长 为 第 1 人 ， 依 顺 时 针 方 向 算人 数 ， 小 嘉 是 第 17 人 ； 若 以 班 长 为 第 1 人 ， 依 逆 时 针 方 向 算 人 数 ， 小 嘉 是 第 21 人 。
6、 求小 嘉 班 上 共 有 多 少 人 ？ ( ) (A) 36 (B) 37 (C) 38 (D) 3913.（2008 湖北孝感）一个质点在第一象限及 x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动即（0，0）（0，1）（1，1）（1，0），且每秒移动一个单位，那么第 35 秒时质点所在位置的坐标是（ ）A.（4，0） B.（5，0） C.（0，5） D.（5，5）14.（2008 贵州贵阳)根据如图 2 所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第 n个图中平行四边形的个数是（ ）A 3nB (1)nC 6nD (1)n15（20
7、08 湖北鄂州）因为 si302， si02，所以sin210si(8)in；因为 in45， 2sin5，所以i5i45si，由此猜想，推理知：一般地当 为锐角时有sn(180)sn，由此可知： n240（ ） A 2B 2C 3D 3二、填空题1（2008 年陕西省）搭建如图的单顶帐篷需要 17 根钢管，这样的帐篷按图，图的方式串起来搭建，则串 7 顶这样的帐篷需要 根钢管（图 2）（1） （2） （3）图 1 图 2 图 32（2008 年江苏省连云港市）如图所示，中多边形（边数为 12）是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由正方形“扩展”而来的， ，依此类推，则由正 n边形“扩展”而
8、来的多边形的边数为 3. （2008 年四川省宜宾市）如图，将一列数按图中的规律排列下去，那么问号处应填的数字为 4(08 山东日照)将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，如此继续下去，结果如下表：则an （用含 n 的代数式表示）5、（2008淅江金华）如图，第(1)个多边形由正三角形“扩展“而来，边数记为 3， .第(2)个多边形由正方形“扩展“而来，边数记为a 4，依此类推，由正 n边形“扩展“而来的多边形的边数记为a n（n3）.则a 5的值是 ;当 的结果是 60197时，n的值为 。6.(2008 山东烟台)表 2 是从表 1
9、 中截取的一部分，则 _.a所剪次数 1 2 3 4 n正三角形个数 4 7 10 13 an 19 ？ na115437.（2008 山东威海）如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A1是 以 原 点 O 为 圆 心 ， 半 径 为 2的 圆 与 过 点 （0，1）且平行于 x 轴的直线 l1的一个交点；点 A2是以原点 O 为圆心，半径为 3 的圆与过点（0，2）且平行于 x 轴的直线 l2的一个交点；按照这样的规律进行下去，点 An的坐标为 8（2008 年山东省临沂市）如图，以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA1，再以等腰直角三角
10、形 ABA1的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形A1BB1，如此作下去，若 OAOB1，则第 n 个等腰直角三角形的面积Sn_。9.（2008 年山东省潍坊市）下面每个图是由若干个圆点组成的形如四边形的图案，当每条边（包括顶点）上有 n（n2）个圆点时，图案的圆点数为 Sn 按此规律推算 Sn 关于 n的关系式为：_. 10.（2008 浙江杭州）如图，一个 42的矩形可以用 3 种不同的方式分割成 2 或 5 或 8 个小正方形，那么一个 53的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 （第 7 题）xyOA1A2A3 l2l1l31 42 3B1B2A1AO B11.(2008
11、 年辽宁省十二市)如图 6，观察下列图案，它们都是由边长为 1cm 的小正方形按一定规律拼接而成的，依此规律，则第 16 个图案中的小正方形有 个图 612.(2008 年浙江省绍兴市)如图中的圆均为等圆，且相邻两圆外切，圆心连线构成正三角形，记各阴影部分面积从左到右依次为 1S， 2， 3， nS，则 124:的值等于 13.(2008 年沈阳市)观察下列图形的构成规律，根据此规律，第 8 个图形中有 个圆14.2008 年乐山市)如图（9），在直角坐标系中，一直线 l经过点 (3,1)M与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，且 MAMB，则ABO 的内切圆 1oA的半径 1r ；若2o
12、与 1、 l、y 轴分别相切， 3oA与 2、 l、y 轴分别相切，按此规律，则08的半径 208r 图案 1 图案 2 图案 3 图案 4（n+1）个图第 1 个第 2 个 第 3 个 第 4 个或 或?15(2008 北京)一组按规律排列的式子：2ba，53，8，14ba，（ 0），其中第 7 个式子是 ，第 n个式子是 （ n为正整数）16 （2008 湖北咸宁）观察右表，依据表格数据排列的规律，数 2 008 在表格中出现的次数共有 次17（2008 湖北鄂州）下列给出的一串数：2，5，10，17，26，？，50仔细观察后回答：缺少的数？是 18.(2008 湖北 十堰)观察下面两行数
13、：根据你发现的规律，取每行数的第 10 个数，求得它们的和是（要求写出最后的计算结果） 19（2008 山东济南）数学的美无处不在.数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐.例如，三根弦长度之比是 15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声 do、mi、so，研究 15、12、10 这三个数的倒数发现： 120512.我们称 15、12.10 这三个数为一组调和数.现有一组调和数：x、5、3（x5）.则 x 的值是_.20（2008 江苏宿迁）对于任意的两个实数对
14、),(ba和 ,dc，规定：当 dbca,时，有 ),(ba,dc；运算“ ”为： ),(；运算“ ”为：),(ba设 p、 q都是实数，若 )4,2(,)2,1(qp，则_),2,1(qp 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 0 xyABMO1O2O32， 4， 8， 16， 32， 64， 5， 7， 11， 19， 35， 67， 21.(2008 湖北 恩施)将杨辉三角中的每一个数都换成分数 ，得到一个如图 4 所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形.若用有序实数对(，)表示第行,从左到右第个数,如(4,3)表示分数 12.那么(9,2)表示的分数是 .
15、22（2008 泰州市）让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数 n1=5 ，计算 n12+1得 a1；第二步：算出 a1的各位数字之和得 n2，计算 n22+1 得 a2；第三步：算出 a2的各位数字之和得 n3，再计算 n231 得 a3；依此类推，则 a2008=_23根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空24（2008 山西省）如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形，则第 n 层有 白色正六边形。25.(2008 广东深圳)观察表一，寻找规律表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a+b 的值为 ；表一 表二 表三0 1 2 3 1
16、3 5 7 2 5 8 11 3 7 11 15 1114a11 1317 b12 334 1556 35 8612334241 图 4第 1 行第 2 行第 3 行第 4 行26.（2008 山西太原）已知 2,mn，且 m，n 均为正整数，如果将 nm进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：（1）在 52的“分解”中最大的数是 11。（2）在 34的“分解”中最小的数是 13。（3）若 的“分解”中最小的数是 23，则 m 等于 5。其中正确的是 。27.下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第 1 个图案需 4 根小木棒，拼搭第 2 个图案需 10 根小木棒，依次规律
17、，拼搭第 8 个图案需小木棒 根28.（2008 浙江湖州）将自然数按以下规律排列，则 2008 所在的位置是第 行第 列。 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 1 2 9 10 第二行 4 3 8 11 第三行 5 6 7 12 第四行 16 15 14 13 第五行 17 29.(2008 年杭州市 16)如图，一个 42 的矩形可以用 3 种不同的方式分割成 2 或 5 或 8个小正方形，那么一个 53 的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 .或 或 第 1个第 2个第 4个第 3个30（2008 佳木斯市）如图，菱形 1ABCD的边长为 1，160B；作 21AD于点 2
18、，以 2为一边，做第二个菱形 2C，使 60；作 3于点 3，以 3为一边做第三个菱形 3BC，使 60； 依此类推，这样做的第 n个菱形 nAD的边 n的长是 31.(2008 黑龙江哈尔滨)观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 20 个图形共有 个32.(2008 山东济宁)1766 年德国人提丢斯发现，太阳系中的行星到太阳的距离遵循下表所示的规律：颗次 1 2 3 4 5 6 行星名称 水星 金星 地球 火星 谷神星 木星 距离/天文单位 0.4 0.7 1 1.6 2.8 5.2 根据表格，第 7 颗行星到太阳的距离是 天文单位三、简答题1.（2008 浙江杭州）在凸多
19、边形中，四边形有 2 条对角线，五边形有 5 条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程2.（2008 四川 泸州）如图 9， 1P,xy， 2,xy， P,nxy在函数40yx的图像上， 1POA， 2，32PA， n都是等腰直角三角形，斜边 1O、 2、 3， 1n都在 x轴上求 的坐标求 12310yy 的值3（2008 广东）（1）解方程求出两个解 1x、 2，并1D1B33AC2B2C3D3B1 D2 C1yxP1 P2 P3A3A2A1O如图 9计算两个解的和与积，填人下表方程 1x2x21x1. 2029x32x关于 x 的
20、方程 02cba（ 、 、 为常数，且 4,2）acb24acb24（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律?写出你的结论.4.（2008 江苏盐城）阅读理解：对于任意正实数 ab， ， 2()0b ， 20ab ，2ab，只有点 时，等号成立结论：在 （ ， 均为正实数）中，若 为定值 p，则 2p ，只有当 时， ab有最小值 2p根据上述内容，回答下列问题：若 0m，只有当 时， 1m有最小值 思考验证：如图 1， AB为半圆 O的直径， C为半圆上任意一点，（与点 AB， 不重合）过点 C作 D，垂足为 ， Da， Bb试根据图形验证 2ab ，并指
21、出等号成立时的条件探索应用：如图 2，已知 (30)A， ， (4)B， 为双曲线 12(0)yx上的任意一点，过A O D BC点 P作 Cx轴于点 ， POy轴于点 D求四边形 ABC面积的最小值，并说明此时四边形 ABD的形状5.（2008 资阳市）阅读下列材料，按要求解答问题：如图 91，在 ABC 中， A2 B，且 A60小明通过以下计算：由题意， B30， C90， c2 b， a 3b，得 a2 b2( 3b)2 b22 b2 bc即a2 b2 bc于是，小明猜测：对于任意的 ABC，当 A2 B 时，关系式 a2 b2 bc 都成立（1）如图 92，请你用以上小明的方法，对等
22、腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；（2）如图 93，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且 A2 B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由6（2008 年湖南省邵阳市）如图（十六），正方形 1OABC的边长为 1，以 O为圆心、1OA为半径作扇形 A1C， 与 1B相交于点 2，设正方形 与扇形 1AC之间的阴影部分的面积为 S；然后以 2为对角线作正方形 2，又以 为圆心，、2为半径作扇形 2， 与 1O相交于点 3，设正方形 2OB与扇形AC之间的阴影部分面积为 2；按此规律继续作下
23、去，设正方形 nAC与扇形nO之间的阴影部分面积为 nS图 9-1 图 9-2 图 9-3yxBAD PCO34（1）求 123S， ， ；（2）写出 08；（3）试猜想 n（用含 的代数式表示， n为正整数）7.（2008 湖南益阳市） 两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中 A=60， AC=1. 固定 ABC 不动，将 DEF 进行如下操作：(1) 如图 11(1)， DEF 沿线段 AB 向右平移(即 D 点在线段 AB 内移动)，连结DC、 CF、 FB，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图 11(2)，当 D 点移到
24、AB 的中点时，请你猜想四边形 CDBF 的形状，并说明理由.(3)如图 11(3)， DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转 DEF，使 DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连结 AE，请你求出 sin 的值.B1B2B3A1A2A3OC3C2C1图（十六）S2S1S3A B EFCD 图 11(1)A B EFCD 图 11(2)A B (E)(F)CD图 11(3) E(F)温馨提示：由平移性质可得CFAD，CF=AD8 （2008 湖南常德市）如图 9，在直线 l上摆放有ABC 和直角梯形 DEFG，且 CD6；在ABC 中：C90
25、O，A30 0，AB4；在直角梯形 DEFG 中：EF/DG，DGF90 O ,DG6，DE4，EDG60 0。解答下列问题：（1）旋转：将ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 900，请你在图中作出旋转后的对应图形A 1B1C，并求出 AB1的长度；（2）翻折：将A 1B1C 沿过点 B1且与直线 l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形A 2B1C1，试判定四边形 A2B1DE 的形状？并说明理由；（3）平移：将A 2B1C1沿直线 l向右平移至A 3B2C2，若设平移的距离为，A 3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为，当等于ABC 面积的一半时,的值是多少？9.操作与探索（2008 桂林市）正
26、方形的边长为，交的延长线于。（）如图，连结，求的面积。（）如图，设为上（异于、两点）的一动点，连结、，请判断四边形的面积与正方形的面积有怎样的大小关系？并说明理由。（）如图，在点的运动过程中，过作交于，将正方形折叠，使点与点重合，其折线与的延长线交于点，以正方形的、为轴、轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为（，），求与之间的函数关系式。探索规律答案一.选择题1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.C 9.A 10.B 11.B 12.A 13.B 14.A 15.C 二.填空题1. 83 2. (1)n 3. 28；4. 3n+1； 5. 30，199；6. 18；7. （
27、12n， n） ；8. 29. Sn =4(n-1)；10. 4 或 9 或 15 个小正方形； 11. 136；12. 97；13. 65ABC DE FG图 9l；14. 31；15. 207ba；31()n；16. 8； 17. 37；18. 2051；19. 15；20. （3，0）；21. ；22. 2623. 24. 6n；25. 37；26. （2）27. 88； 28. 18.45；29. 30. 132n；31. 60；32. 10三.解答题1. 解：通过观察凸四边形和五边形对角线的条数，可得到凸八边形的对角线条数应该是20 条.思考过程：凸 n 边形每个顶点不能和它自己以及
28、它的两个邻点作对角线，所以可做的对角线条数是（n3）, 凸 n 边形有 n 个顶点，所以可做 n（n3）条，由于对角线 AB和 BA 是同一条，所以凸 n 边形共有 1(3)2条对角线.当 n=8 时，有18()4502条对角线.2. 解：（1）由 1POA是等腰直角三角形，得 1yx，则有 214，故x=2（负舍），点 （2，2）。（2）由题意知 1343109y,y,xyxy 又 4nx，则 222解 得则 2y，故 333,2,2xxy，同理，依次得3. （1） ， 2， 0， 932， 0， 3， 0；2， 1， 3， 2；ba， c.（2）已知： 1x和 2是方程 20()x的两个根
29、，DCBAEDCBA那么， 12bxa， 12cxa. 4. 解：阅读理解：m= 1 （填 m不扣分），最小值为 2 ； 思考验证：AB是的直径，ACBC,又CDAB,CAD=BCD=90-B,RtCADRtBCD, CD 2=ADDB, CD= ab 若点D与O不重合，连OC，在RtOCD中，OCCD, 2， 若点D与O重合时，OC=CD,2ab综上所述，,2ab即，当CD等于半径时，等号成立 .探索应用：设1(,)Px, 则1(,0)(,)CxDx,123,4CAxDBx，2342ABCDS四 边 形，化简得：9(),S990, 6xxx，只有当,3x即 时 ， 等 号 成 立 S2612
30、24，S 四边形ABCD 有最小值24. 此时，P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5,四边形 ABCD 是菱形5. 解 (1) 由题意，得 A=90， c=b， a= 2b， a2b2=( b)2b2=b2=bc 3 分(2) 小明的猜想是正确的 4 分理由如下：如图 3，延长 BA 至点 D，使 AD=AC=b，连结 CD， 5分则 ACD 为等腰三角形 BAC=2 ACD，又 BAC=2 B， B= ACD= D， CBD为等腰三角形，即 CD=CB=a， 6分又 D D， ACD CBD， 7分 ACB即 bac a2=b2 bc a2b2= bc 8 分
31、(3) a=12， b=8， c=10 10 分6. 解：（1） 22114SA； 2 分图 9-32221148SA； 4 分223 46； 6 分（2） 0820791S； 8 分（3） 1nn（ 为正整数） 10 分7. 解：(1)过 C 点作 CG AB 于 G，在 Rt AGC 中， sin60= A， 23G 1 分 AB=2， S 梯形 CDBF=S ABC= 2321 3 分(2)菱形 4 分 CD BF， FC BD，四边形 CDBF 是平行四边形 5 分 DF AC， ACD=90， CB DF 6 分四边形 CDBF 是菱形 7 分(判断四边形 CDBF 是平行四边形，并
32、证明正确，记 2 分)(3)解法一：过 D 点作 DH AE 于 H，则 S ADE= 231EBAD1 8 分又 S ADE= 2321AE， )72(3或E 9 分在 Rt DHE中， sin = )14(或DH 10 分解法二： ADH ABE 8 分 AEB即： 713H 7D 9 分 sin = )142(73或DEH 10 分A B EFCD 解图 11(1)G8. 解：（1）在ABC 中由已知得：BC=2，ACABcos30= 32，AB 1=AC+C B1=AC+CB= 32.2 分(2)四边形 A2B1DE 为平行四边形.理由如下：EDG60，A 2B1C1A 1B1CABC
33、60，A 2B1DE又 A2B1A 1B1AB4，DE4，A 2B1DE,故结论成立.4 分（3）由题意可知：SABC = 3， 当 0x或 0时，0此时重叠部分的面积不会等于ABC 的面积的一半5 分当 42时，直角边 B2C2与等腰梯形的下底边 DG 重叠的长度为 DC2=C1C2-DC1=（2），则 2321xx,当= SABC = 3时，即 2，解得 2x（舍）或 x.当 时，重叠部分的面积等于ABC 的面积的一半.当 84x时，A 3B2C2完全与等腰梯形重叠，即 32y7 分A B (E)(F)CD解图 11(3) E(F)H当 108x时,B 2G=B2C2-GC2=2( x8)=10-则 2103,当= 21SABC = 3时，即 22x，解得 0x,或 10x(舍去).当 1时，重叠部分的面积等于ABC 的面积的一半.9 分由以上讨论知,当 2x或 2x时, 重叠部分的面积等于ABC 的面积的一半.10 分9. （）因为，ABCD，所以四边形 ABEC 是平行四边形，所以 CE=AB=4，所以的面积为 124（42）16；（）四边形的面积与正方形的面积相等，因为，所以PC 的面积与BC 的面积相等，所以PC 的面积CD 的面积BC 的面积CD 的面积正方形的面积；
