1、概率重点第一章：事件 A 与事件 B 独立的充分必要条件： ()=()()全概率公式：()=1(|)()Bayes 公式：(|)=(|)()=1(|)()乘法公式： ()=(|)()加法原理与乘法原理。解题难点：对事件的划分。根据历年的考题，考全概率公式和 Bayes 公式的几率较大。1. 对全概率事件，先找到完备事件组，设为事件 再将所要求解的事件设(=1,2,3)为 B。！需要区分清楚 P(B|A)与 P(A)。 （B|A 表示 B 在 A 发生的条件下发生）最后运用全概率公式即可。2. Bayes 公式的一般提问形式：问在 B 发生的条件下事件 发生的概率，即 (|)一样先找到完备事件组
2、，设为事件 (=1,2,3)用全概率公式求解 ，再由 BAYES 公式求解。()第二章：各种分布1. 离散型：（1） 两点分布 B（1,p）：X 0 1P 1-p p（2）二项分布 B（n,p）：(=)=(1)（3）泊松分布( )：(=)=！ （4）超几何分布 H(n,m,N)：0,1,mnMNCPX！超几何分布在求概率的问题中很常见。典型事例：共有 N 个产品，其中有 M 个次品，随机取出 n 个产品，其中有 m 个次品的概率。（5） 几何分布：典型事例：某人射中一目标的概率为 P，设 X 为首次射中目标时的射击次数2. 连续型两个概念：概率密度函数：一般用 fx表示， 判断依据：概率分布函
3、数：一般用表示 单调不减右连续。()=,()（1）均匀分布 U(a,b)：（2）指数分布 E( )：（3）正态分布 N（ ）， 2标准正态分布 N(0,1)：考点：1,20kXqpp1,0xabbfx,0xef221expfxR21exp01()fx21dbaafxdxFftd求 y = g ( x )的概率密度：对于离散型随机变量，如果 y = g ( x )两两不相同，则可直接写出 ,1,2nnPYyXx如果 y = g ( x )有相同的项，则把这些相同的项合并（ 看作是一项 ） ，并把相应的概率相加，即可得随机变量 Y 的分布列对于连续型随机变量，1. 利用 P(Y )=P(g ( x
4、 ) ) 由 g ( x ) 解出 X 的概率，P(X 即为 Y 的概率分布。 )再利用 解得 Y 的概率密度()=,()2.运用公式条件：y = g ( x ) 处处可导，且对于任意 x , 恒有 0)(xg 或恒有 0)(xg 注意 y 的取值范围正态分布 N（ ）的标准化：， 2 (0,1)XZNbaPa第三章：主要内容是两个随机变量的情况（1）联合分布联合分布函数应满足的条件：1. 1),(0yxF2. 3. 计算：.0),(,)(1212yxFy （2）联合密度函数：0,Ydhyff 其 它),(),(yYxXP 0),(lim),(xyx ),(lim),(xFy1,(li,yx,
5、2121YXxP.),(),( ),(2yxfFyxf则 有连 续在若与一维随机变量的性质类似。（3）边缘密度函数： 对于离散型变量有边缘分布： iixXPp ,21,11 ipyxjjj ji，jjyY ,11 jYii ji，两个常见的联合分布：1. 二维均匀分布： 其 它，的 面 积,0),(1),( Dyxyxf2. 二维正态分布： 22121221 )()()()(exp),( yxxyf)., 22；，；，记 做 NYX,(),()1( 21.02件 是相 互 独 立 的 充 分 必 要 条，一个重要结论： ).,( ,).,(),(21 221NZ YXZNYXY且 有仍 然 服
6、 从 正 态 分 布则相 互 独 立 且一 般 地 ， 设最大值最小值分布：.)()(dyx,ffX dx,yffY)()(),2,1)(,21 nixFnX Xi 它 们 的 分 布 函 数 分 别 为个 相 互 独 立 的 随 机 变 量是设 的 分 布 函 数 分 别 为及则 ),min(),max( 2121 nXNM ()21a zFzFnXX )()(21min znX考点：已知(X, Y)的分布 , 求 Z = (X, Y)的分布.1. 若（X,Y）为离散型随机变量，则需根据（X,Y）的取值和联合概率列出 Z = (X, Y)的取值和对应的概率即可。 （若 Z = (X, Y)取
7、同样地值，则合并概率。 ）参考上一章考点内容。2. 若（X,Y）为连续型随机变量，则与一维变量的方法类似，只不过是由一重积分变为二重积分。请自己参考考题。第四章：1. 数学期望对离散型变量： 1)(kpxXE对连续型变量： df)(定理.设 X 的数学期望有限，概率密度 f(x)关于 对称，f( +x) = f( -x)。则 E(X)= 。随机变量函数的数学期望：对离散型随机变量：Z = g(X1 , Xn)的数学期望为 nnnjjjjpxEZ 111),)对连续性随机变量：Z = g(X1 , Xn)的数学期望为,)nnnxdxfx 111),(),(数学期望的性质：1) CXEaCXaEn
8、iinii11 )(2) 当 X ,Y 相互独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .2,方差Var (X)=E(X-E(X)2对离散型变量： 12)()(kkpXExXVar对连续型变量： dxf方差常用计算公式： )()()2ar方差的性质:1) Var (aX + b ) = a2 Var(X)2) nij jijinii EXEXVr11 )(3) 若随机变量 X1, X2, , Xn 相互独立，则)()()(11 nnVararar重要结论：则且 相 互 独 立 ，若 ,2),(iNXii .,12121 niiniin CNCXC3. 两个不等式：1) 马尔可夫不等
9、式： .0,|XEP推论：切比雪夫不等式： 22 )(|)(|1|)(| XVarE2) .|)(| 2EYXYE常见分布的期望和方差见书 P1264. 协方差与相关系数)()(),cov( YEXEYX )()(YEX)()(,Var协方差的性质：1) )()(),cov(),c( YEXXY2) ),cov(),cov(YXabYX3) ),(ZZ相关系数的性质：X,Y 相互独立 X,Y 不相关考点：已知分布函数或密度函数求期望，方差，协方差和相关系数主要结合各种性质求解，！随机变量函数的期望是基础。第五章：这一章我也没有学懂，大家就结合书凑合着看吧。考点：（考得不多）对强大数定理和弱大数
10、定理，在使用之前要先用切比雪夫不等式加以证明。！中心极限定理：可以用 N(0,1) 近似计算关于 n的概率，用 N( n , n 2) 近似计算关于 Sn 的概率。第七章：1. 点估计：1) 均值 的估计定义为 2) 总体方差2()VarX的点估计3) 4) 5)2. 矩估计（1）根据未知参数的个数求总体的各阶矩),()(21mXE ,22121nn iiX 21()niS221()niniS样 本 标 准 差 ： 1(),nkkiiAXk样 本 阶 原 点 矩 ： 1()2,3nkkiniB样 本 阶 中 心 矩 ：),()(21mmmXE（2）解方程组（即从方程组中解出未知参数） ),(2
11、11 2m),(21mm（3）用 Ai 代替上述方程组中的 i，i=1,2,m。得到 ),(21mii A作为 i的矩估计量！这里的 Ai 指的是样本 i 阶中心距。3. 最大似然估计对于离散型随机变量：其似然函数为 = ，求似然函数的极大值点，令其对 的一阶导为 0，即可得到 的估计。 利用对数似然函数 ，更为简便()=()对于连续型变量：其似然函数为 步骤与离散型一致。4. 上分位数与区间估计统计量的几个分布和上分位数的概念不用特意去记，只需要记住在区间估计中构造的那些常用分布即可。见书 P223一般规律：与正态分布和卡方分布有关的都是 和 分位数。2 2与 T 分布和 F 分布有关的都是 和 分位数。2 12！注意不同分布的自由度第八章：假设检验与区间估计其实是共通的。所构造的分布一模一样。记住了区间估计自然就能记住假设检验的分布。假设检验的原假设的设定有一定技巧。先观察所求量与标准量的关系，再按照此关系作出12,;)nLpx 1(;)iipx11(),;)(;), nniiLxfx相反原假设即可，不必太在意题目的问法。若无法推翻原假设，则得出结论是备择假设不够显著。见书 P269
