1、2-34设 。76()FijN（1）当一质点从原点运动到 时，求 所作的功；3416(m)rijkF（2）如果质点到 处时需 0.6s，试求 的平均功率；rF（3）如果质点的质量为 1kg，试求动能的变化。 分析：由功、平均功率的定义及动能定理求解，注意：外力作的功为 F 所作的功与重力作的功之和。解：（1） 0FdrrA=(76)()ijxiyjdzkr00-34，做负功5J（2） 7.6APWt（3） 0rkEmgjd= -45+ 4y= -85J235一辆卡车能沿着斜坡以 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切15kh，所受的阻力等于卡车重量的 0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，则
2、卡tan0.车的速率是多少？ 分析：求出卡车沿斜坡方向受的牵引力，再求瞬时功率。注意：F、V 同方向。解： ，且si.2tg0.4fG上坡时， sin6f下坡时， .由于上坡和下坡时功率相同，故 pFv所以 45/12./kmhs236某物块质量为 P，用一与墙垂直的压力 使其压紧在墙上，墙与物块间的滑动摩N擦系数为 ，试计算物块沿题图所示的不同路径：弦 AB，圆弧 AB，折线 AOB 由 A 移动到B 时，重力和摩擦力作的功。已知圆弧半径为 r。 分析：保守力作功与路径无关，非保守力作功与路径有关。解：重力是保守力，而摩擦力是非保守力，其大小为 。f（1）物块沿弦 AB 由 A 移动到 B
3、时，重力的功 pghr摩擦力的功 2fN（2）物块沿圆弧 AB 由 A 移动到 B 时，题图 235题图 236ABNOr重力的功 pghr摩擦力的功 A12fBN（3）物块沿折线 AOB 由 A 移动到 B 时，重力的功 。摩擦力的功pghr2fAONr2-37求把水从面积为 的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为 1.5m，水250m面至街道的竖直距离为 5m。 分析：由功的定义求解，先求元功再积分。解：如图以地下室的 O 为原点，取 X 坐标轴向上为正，建立如图坐标轴。选一体元 ，则其质量为 。dVSxdpVSdx把 从地下室中抽到街道上来所需作的功为 m(6.5)Ag故 11.
4、600(6.5)4.2310pgxJ2-38质量为 m 的物体置于桌面上并与轻弹簧相连，最初 m 处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度 向右运动，弹簧的劲度系数为 ，物体与支承面间的滑动摩擦系数为0vk，求物体能达到的最远距离。 分析：由能量守恒求解。解：设物体能达到的最远距离为 (0)x根据能量守恒，有 2201mvkxg即：20v解得 1120mgkx239一质量为 m、总长为 的匀质铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下l垂。试求铁链滑离桌面边缘时重力所作的功。分析：分段分析，对 OA 段取线元积分求功，对 OB 段为整体重力在中心求功。解：建立如图坐标轴选一线元 ，则其质
5、量为 。dxdxl铁链滑离桌面边缘过程中， 的重力作的功为OA1122001()8llAgmglOB 的重力的功为题图 2-37m0v题图 2-38题图 239214Amgll故总功 1238g2-40一辆小汽车，以 的速度运动，受到的空气阻力近似与速率的平方成正比，vi，A 为常数，且 。 （1）如小汽车以 的恒定速率行2Fvi 20.6Nsm 180kmh驶 1km，求空气阻力所作的功；（2）问保持该速率,必须提供多大的功率？ 分析：由功的定义及瞬时功率求解。解：（1） 2380/1/,09vikmhisri故 2.6()FA则 kJr3()584PvW2-41一沿 x 轴正方向的力作用在
6、一质量为 3.0kg 的质点上。已知质点的运动方程为，这里 以 m 为单位，时间 以 s 为单位。试求：（1）力在最初 内作234ttt 4.0s的功；（2）在 时，力的瞬时功率。 =1s分析：由速度、加速度定义、功能原理、牛顿第二定律求解。解： 2()38dxvtt则 419/,(0)/ss由功能原理，有 2()58kAEmvJ（2） ()38,()6dxdvttatt时，1ts62/FNms则瞬时功率 1pvW242.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内 1cm，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤两次打击铁钉时的速度相
7、同。) 分析：根据功能原理，因铁锤两次打击铁釘时速度相同，所以两次阻力的功相等。注意：阻力是变力。解：设铁钉进入木板内 时，木板对铁钉的阻力为xcm(0)fkx由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故 101xfdf所以， 。第二次时能击入 深。2(21)c243从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度 应为多大才能使卫星在距地心半0v径为 r 的圆轨道上运转？ 分析：地面附近万有引力即为重力，卫星圆周运动时，万有引力提供的向心力，能量守恒。解：设卫星在距地心半径为 r 的圆轨道上运转速度为 v, 地球质量为 M, 半径为 ,卫星质eR量为 m.根据能量守恒，有 220e11RGMmvvr又由卫星
8、圆周运动的向心力为 22NFr卫星在地面附近的万有引力即其重力，故 2eGMmgR联立以上三式，得 e0eR12vgr244一轻弹簧的劲度系数为 ，用手推一质量 的物体 A 把弹簧10Nmk 0.1kgm压缩到离平衡位置为 处，如图 2-44 所示。放手后，物体沿水平面移动距离1.x而停止，求物体与水平面间的滑动摩擦系数。 20.1mx分析：系统机械能守恒。解：物体沿水平面移动过程中，由于摩擦力做负功，致使系统（物体与弹簧）的弹性势能全部转化为内能（摩擦生热） 。根据能量关系，有所以，212kxmg0.2245一质量 的物体 A，自 处落到弹簧上。当弹簧从原长向下压缩0.8mkg2hm时，物体
9、再被弹回，试求弹簧弹回至下压 时物体的速度。 0.x 0.1分析：系统机械能守恒。解：设弹簧下压 时物体的速度为 v。把物体和弹簧看作一个系统，整体系统机械能守.1题图 244题图 245恒，选弹簧从原长向下压缩 的位置为重力势能的零点。0x当弹簧从原长向下压缩 时，重力势能完全转化为弹性势能，即.2m2001()mghxk当弹簧下压 时，.200()()gx21v所以， 3.1/vs246长度为 的轻绳一端固定，一端系一质量为 m 的小球，绳的悬挂点正下方距悬挂点l的距离为 d 处有一钉子。小球从水平位置无初速释放，欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈，试证 d 至少为 。 0.6l分析：小球
10、在运动过程中机械能守恒；考虑到小球绕 O 点能完成圆周运动，因此小球在圆周运动的最高点所受的向心力应大于或等于重力。证：小球运动过程中机械能守恒，选择小球最低位置为重力势能的零点。设小球在 A 处时速度为 v，则: 212()mglldmv又小球在 A 处时向心力为: NFgl其中，绳张力为 0 时等号成立。联立以上两式，解得 0.6dl247弹簧下面悬挂着质量分别为 、 的两个物体，开始时它们都处于静止状态。1M2突然把 与 的连线剪断后， 的最大速率是多少？设弹簧的劲度系数1M2，而 。8.9kNm1250,3g分析：把弹簧与 看作一个系统。当 与 的连线剪断后，系统作简谐振动，机械能12
11、守恒。解:设连线剪断前时弹簧的伸长为 x，取此位置为重力势能的零点。 系统达到平衡位置1M时弹簧的伸长为 ,根据胡克定律，有x题图 246 题图 24712()kxMg系统达到平衡位置时，速度最大，设为 。由机械能守恒，得v22211()kxgxM联立两式，解之： .4/vms248一人从 10 m 深的井中提水起始时桶中装有 10 kg 的水，桶的质量为 1 kg，由于水桶漏水，每升高 1 m 要漏去 0.2 kg 的水求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功 分析：由于水桶漏水，人所用的拉力 F 是变力，变力作功。解：选竖直向上为坐标 y 轴的正方向，井中水面处为原点. 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力 F 等于水桶的重量即： 00.217.896FPkgyy人的拉力所作的功为： HdA010(.)d=0J
