1、2016-2017学年云南省蒙自市第一高级中学高三下学期临门一脚理科数学试卷 第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 A=x| y=lg（x1），集合 2|Byx，则 AB 等于 A （1，2） B （1，2 C1，2） D 1，22. 复数2()iz（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 若等边 C的边长为 3，平面内一点 M 满足 132CBA，则 MB的值为A. 2 B. 152 C. 52 D.4. 在两个变量 y 与 x 的回归
2、模型中，分别选择了 4个不同的模型通过计算得相关指数 R2的值如下，其中拟合效果最好的模型是( )A模型 1的 R2为 0.98 B模型 2的 R2为 0.80C模型 3的 R2为 0.50 D模型 4的 R2为 0.255. 已知 1,9a成等差数列， 1239,b成等比数列，则 21ba的值为A. 8 B. 8 C. 8 D. 986. 函数 ln()xfe的大致图象为7. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a、 b分别为 5、 2，则输出 的 nA.2 B.3 C.4 D.
3、8. 已知数列 na满足 243n，若从 na中提取一个公比为 q的等比数列 nka，其中1,k且 *12.,kN，则满足条件的最小 的值为A. 43 B. 54 C. 5 D.29. 长为 2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A. 314 B.4 C. 310 D.310. 已知在三棱锥 PA中， PB， 2A， BC，平面 PAB平面BC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A 32 B 3 C 3 D 211. 已知双曲线2:1(0,)xyab的右顶点为 A， O为坐标原点，以 A为圆心的圆与双曲线 C的某渐近线交于
4、两点 P， Q，若 60，且 3QP，则双曲线 C的离心率为（ ）A 74 B 73 C 72 D 712.已知函数 2()gxa， （ 1xe， 为自然对数的底数）与 ()lnhx的图象上存在关于 x轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）A 21,e B 2, C 21,e D2)第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 如果实数 ,xy满足条件021xy,则 12zyx的最大值为 14. 若nx+的展开式中各项的系数之和为 81，且常数项为 a，则直线 6ayx=与曲线2yx=所围成的封闭区域面积为 15. 珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一
5、人说真话，只有一人偷了珠宝，甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷，根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是_16. 已知圆 2:9Oxy，点 2,0A，点 P为动点，以线段 AP为直径的圆内切于圆 O，则动点 P的轨迹方程是_三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. （本小题满分 12分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，且 asin A( bc)sin 2 2B( cb)sin C2（I）求角 A 的大小；（II）若 a ，cos B ，D 为 AC 的中点，求 BD 的长102 5518. （本小题满
6、分 12分） “大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(,)ixy（ i1,2，6） ，如表所示：试销单价 （元） 4 5 6 7 8 9产品销量 （件） q84 83 80 75 68已知61iy80 （）求出 q的值；（）已知变量 x， y具有线性相关关系，求产品销量 y（件）关于试销单价 x（元）的线性回归方程 yba；可供选择的数据：61305ix，6217ix（）用 Ai表示用（）中所求的线性回归方程得到的与 i对应的产品销量
7、的估计值当销售数据 (,)ixy对应的残差的绝对值 A|iy时，则将销售数据 (,)ixy称为一个“好数据”现从 6个销售数据中任取 3个，求“好数据”个数 的分布列和数学期望 ()E（参考公式：线性回归方程中 b， a的最小二乘估计分别为 12niixyb,aybx)DC BAEDCBA EDCBA19. （本小题满分 12分） 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC ，ABBC ，BDDC , 点E是 BC 边的中点, 将 ABD沿 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE,AC,D, 得到如图 2所示的几何体.() 求证： 平面 C；() 若 1，二面角 的平面角的正切值为
8、6，求二面角 B的余弦值.图 1 图 220. （本小题满分 12分）已知动圆 P过定点 (3,0)M且与圆 N： 2(3)16xy相切，记动圆圆心 P的轨迹为曲线 （）求曲线 C的方程；（）过点 (3,0)D且斜率不为零的直线交曲线 C于 A， B两点，在 x轴上是否存在定点 Q，使得直线 AQ， B的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由21. （本小题满分 12分）设函数 lnxfae，其中 Ra， e是自然对数的底数.（）若 fx是 0,上的增函数，求 的取值范围；（）若 2ea，证明： 0fx.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
9、一题记分22选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10分）在直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程 1cos(inxy为参数）以 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求 的极坐标方程；（）直线 l的极坐标方程是2sin()3记射线 M： 3与 C分别交于点 ， P，与 交于点 Q，求 P的长23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10分）已知函数 12)(xxf（）求不等式 2)(xf的解集 M；（）对任意 ),a，都有 axf)(成立，求实数 a的取值范围2016-2017学年云南省蒙自市一中高三下学期临门一脚理科数学试卷答案及评分标准一、选择题BBAA ACCD BBC
10、B二、填空题13. 12;14.32; 15. 甲; 16. 1592yx17. 【解】 （I）由 asin A( bc)sin B( cb)sin C ， 根据正弦定理 得2 2 2a2( bc)b( cb)c，整理得， a2b 2c 2 bc2 分2 2 2 2由余弦定理 得 cosA 4分b2 c2 a22bc 22又 A(0， ) ，所以 A 5分4（II）由 cos B ，可得 sin B 255 1 cos2B 55cos Ccos(A B)sin Asin Bcos Acos B 7分22 55 22 255 1010又 a ，由正弦定理，可得 b 210asin Bsin A1
11、05522CD AC1 9 分12在BCD 中，由余弦定理 得BD2BC 2CD 22BCCDcosC( )21 22 1( )13 11 分10 101010所以 BD . 12分1318. 解：（）6180iy，可求得 90q 2 分（）612356.74271.5()iixnb，4 分8046.5ayx，所以所求的线性回归方程为 4106yx 6分（）利用（）中所求的线性回归方程 410yx可得，当 14x时， A190y；当25x时， A286y；当 3x时， A382；当 7时， A48y；当 5时， 574；当69时， 70与销售数据对比可知满足 |1iy（ i1,2，6）的共有
12、3个 “好数据”： (,90)、(,83)、 (,5) 8 分于是 的所有可能取值为 0， ， 2， 3361(0)2CP；1369()0CP；21369()0CP；361()20CP， 的分布列为： 0 1 2 3P1292090120于是 193()020E12 分19. 解：() 因为平面 ABD平面 C，平面 ABD平面 CBD，又 BD C，所以 平面 . 1分因为 平面 ，所以 . 2分又因为折叠前后均有 ， , 3分所以 A平面 . 4分() 由（）知 平面 ，所以二面角 B的平面角为 CAD. 5分又 DC平面 ， AD平面 B，所以 .依题意 6tan. 6分因为 1A，所以
13、 . 设 0x，则 12xB.z yx EDCBA依题意 ABD C，所以 ABD，即 162x. 7分解得 2x，故 22,3, 3C. 8分法 1：如图所示，建立空间直角坐标系 yz，则 )0,(, ),(B, )0,6(C，36,0E， 6,03A， 所以 ,2D， 3,D.由（）知平面 B的法向量 )0,1(n.9分设平面 AE的法向量 ,(zyxm由 0,mD得3620.xz令 6x，得 3,y,所以 ),(m. 10分所以 21|,cosmn. 11分由图可知二面角 BADE的平面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 . 12分法 2 ：因为 C平面 ，过点 E作 F/ 交 于 F，则
14、 平面 . 因为 AD平面 B，所以 . 9分过点 作 G 于 ，连接 GE，所以 平面 ，因此 AD . 所以二面角 的平面角为 F. 10分由平面几何知识求得 261CDEF， 21BF， 所以 2G. 所以 cos = 1E. 11分所以二面角 BAD的余弦值为 2. 12分20. 解：（）设动圆 P的半径为 r，由 N： 2(3)16xy及 (3,0)M知点 在圆 N内，则有 |,4rPMr从而 |4|2PMN，所以 的轨迹 C是以 ， 为焦点，长轴长为 4的椭圆，设曲线 的方程为21(0)xyab，则 2a， 23cab，所以 a， 1b，故曲线 C的轨迹方程为24xy4 分（）依题
15、意可设直线 AB的方程为 3xmy， 1(,)Axy， 2(,)By，由21,43xym得 2(4)650y，所以22122(6)5(),4,my则 121224()6xmym，2211123643()9xmyy， 6 分假设存在定点 ,0Qt，使得直线 AQ， B的斜率之积为非零常数，则212121()()xtxtxt22364mtt22(4)364mt，所以 120AQBykxt 2225(4)364tt225()364tt，要使 AQB为非零常数，当且仅当220,tt解得 t，8 分当 2t时，常数为 536481，当 时，常数为 102，所以存在两个定点 1(2,)Q和 2(,)，使直
16、线 AQ， B的斜率之积为常数，当定点为1(2,0)Q时，常数为 54；当定点为 2(,0)Q时，常数为 120 12 分21. 解：（） e1lnxfa， fx是 ,上的增函数等价于 0fx恒成立.令 fx，得 lx，令 lexg（ ）.以下只需求 g的最大值.求导得 e1lnxg，令 1lhx， 210hx， hx是 0,上的减函数，又 0，故 1是 的唯一零点，当 ,x， x， g， 递增；当 1,x， 0hx， gx， x递减；故当 1时， 取得极大值且为最大值 eg，所以 ea，即 的取值范围是 1,e.（） 0fxeln0xa. 6分令 lxF（ ） ，以下证明当 2ea时， Fx
17、的最小值大于 0.求导得 21exax 21x.当 0时， 0F， Fe0a；当 1x时， 21axe1x，令 e1xGa，则 exG20a，又 2Ga20，取 1,2m且使 2e1，即2e1m，则 e1mGa2e0，因为 0，故 x存在唯一零点 0,x，即 Fx有唯一的极值点且为极小值点 01,2，又 00elnxF，且 00e1xGa，即 00e1xa，故 001lnFxx，因为 0200Fx ，故 0F是 ,2上的减函数.所以 0x1ln，所以 x.综上，当 2ea时，总有 fx. 12分22. 解：（）消去参数 ，得到圆 的普通方程为 ，令 代入 的普通方程，得 的极坐标方程为 ，即 5分（）在 的极坐标方程中令 ，得 ，所以 在 的极坐标方程中令 ，得 ，所以 所以 10分23.解：（） ，当 时， ，即 ，所以 ；当 时， ，即 ，所以 ；当 时， ，即 ，所以 ；综上，不等式 的解集为 5分（）令 ，当直线经过点 时， ，所以当 即 时成立；当 即 时，令 ，得 ，
