1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题目是： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：
2、参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：1高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要针对问题一我们建立了两个模型：曲线拟合模型和灰色预测模型。对曲线拟合模型，我们采用了分区间分类讨论的思想，使预测精度有了很大提高；在建立灰色预测模型的的过程中，我们对经典的 GM（
3、1，1）模型进行了拓展，建立了不等时距的拓GM（1，1）模型，并对其算法进行了简化。最终得出结果：在未来一段时间内 CD4 浓度将持续增长，HIV 指标将缓慢低速下降，应继续服药。问题二可以分解为两个子问题：对四种疗法的评价和对最优疗法的预测。我们的总体思想是：先将年龄分段，再对每个年龄段进行评价和预测。在评价中，我们将疗效定义为：期望与方差的加权组合。最终结果为：适合青、中、老年的最优疗法分别为：疗法四、二、一。在预测中，我们又引进了指数平滑模型，对不同年龄段对应的最优疗法作出了合理的预测，并进确定出个疗法的最佳治疗终止时间为：青年试验结束后 135.68 周；中年试验开始后 816 周；老
4、年试验结束后 0.472 周。问题三是对问题二的进一步延伸，我们在问题二的评价基础上，引入花费效应，利用双指标评价模型，得到了不同权重下各疗法的优劣。通过对数据的趋势分析，结合实际情况，引入了比较可靠的权重作为评价参数，得出了各年龄段的最优疗法。另外我们在确定最佳治疗终止时间时，通对过金钱与疗效之间相关系数 k 的引入，将问题简化为单目标优化问题。在对数据的处理上，我们采用了化区间为点的思想，提高了计算效率；在模型的进一步讨论中，我们对模型的遗留问题与拓展方向进行了研究，使之更具有普遍性。关键字 曲线拟合 灰色预测 不等时距的 GM（1，1）模型 权变理论指数平滑 双指标评价 3问题重述艾滋病
5、是当前人类社会最严重的瘟疫之一，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称 HIV）引起的。人类免疫系统的 CD4 细胞在抵御 HIV 的入侵中起着重要作用，当 CD4 被 HIV 感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV 将迅速增加，导致 AIDS 发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内 HIV 的数量，同时产生更多的 CD4，至少要有效地降低 CD4 减少的速度，以提高人体免疫能力。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用 zidovudine（齐多夫定） ，lamivudine（拉美夫定）和 indinavir（
6、茚地那韦）3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度（每毫升血液里的数量） 。193A（见附件 2）是将 1300 多名病人随机地分为 4 组，每组按下述 4 种疗法中的一种服药，大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度（这组数据缺 HIV 浓度，它的测试成本很高） 。4 种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或 400mg didanosine（去羟基苷） ，这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine 加 2.25 mg zalcitabine（扎西他滨） ；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine；
7、600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine，再加 400 mg nevirapine（奈韦拉平） 。问题：（1）利用附件 1 的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗） 。（2）利用附件 2 的数据，评价 4 种疗法的优劣（仅以 CD4 为标准） ，并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下： 600mg zidovudine 1.60 美元，400mg didanosine 0.85 美元，
8、2.25 mg zalcitabine 1.85 美元，400 mg nevirapine 1.20 美元。如果病人需要考虑 4 种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。条件假设与符号说明（一）条件假设（1） 附件中的数据都是真实、可靠的；（2） 在测试期间，患者接受治疗是连续的；（3） 只考虑药物的正面影响，不考虑副作用；（4） CD4 与 HIV 是相对独立的，作为两个指标；（5） 在测试时刻间隙，患者的病情无急剧变化现象；（6） 参与试验的患者相对于所有艾滋病患者是随机的。（二）符号说明Pi: 第 i 种疗法 yi: 第 i 个年龄区间4Ti: 第 i 个测试时间
9、段Ci: 第 i 个测试时间段 CD4 的累加值Hi: 第 i 个测试段的 HIVRi: 第 i 种疗法的综合效应Ti: 第 i 种疗法的最佳停止时间ci: 第 i 个测试段的 CD4 hi: 第 i 个测试时间段 HIV si: 第 i 个年龄段的药效的方差li: 第 i 个疗法的加权效应（不考虑花费）pi: 第 i 种疗法的平均治疗费用ni 第 i 周检测者的个数问题分析问题一是一个典型的预测问题，我们应在对已知数据进行充分分析的基础上，建立疗效与时间的关系，进行预测。首先，由于疗效的评价标准有两个方面：CD4 及HIV。由前面的假设，这两者是相互独立的，这就从总体上讲该问题分解为两个子问
10、题。题目给出的数据量庞大的且看起来似乎无严格的规律，因此必须对数据进行预处理，可以采用加权平均或累积求和的方法进行数据的重生成。问题二也可以分解为两个子问题，即对不同的疗法的综合评价和对较优疗法的预测。对于疗法的评价，需要建立一套完整的评价理论体系，我们考虑用累积效应（期望）稳定性（方差）两个指标作为评价标准，最后需要重新定义一个统一的标准即为这两者的合成。在具体建模中，年龄与时间都是要考虑的因素，我们应对目标分层分析，固定一个来考虑另一个的变化。问题三是对问题二的扩充，在问题二的基础上又增加了费用这一指标。该问题也是两个子问题，首先对于疗法的重新评价，可以转化为双目标评价问题，通过权重的引入
11、将问题简化为单目标。对于最佳治疗终止时间的确定，我们考虑找出花费的金钱与取得的疗效的相关关系，并用简单的函数表示出来进而对疗效预测与优化。模型的建立与求解问题一该问题是一个典型的预测问题，根据需要，我们用以下两种方法建立模型并将得到的结果进行比较：模型一：曲线拟合模型根据对数据的观察，CD4 及 HIV 随时间有比较明显的变化关系，我们首先考虑运用比较简单的曲线拟合模型进行预测。首先对数据进行预处理：我们使题目所给的离散数据有序化，通过对题目所给数据的特点以及 355 名患者服药后状况的综合考虑，我们对数据进行以下处理：Step1：对不同周次检测的所有患者的 CD4 和 HIV 取平均值；将第
12、 i 周患者 CD45和 HIV 的平均值分别记为 和 。icihStep2：记患者服药后药效在第 i 周前对患者 CD4 的积累效应为 ；则：ic,i1c123Step3：将时间（周）分为： 、 和 三段。,219,364这样我们就得到了患者服药后不同时刻（周）的 HIV 平均值和药效对 CD4 的积累效应。如下表所示：表 11 积累效应随时刻变化表t 3 4 5 6 7 8 9 10 11Ci 1.6054 1.5562 1.521 1.4428 1.6986 1.7689 2.0191 1.8317 1.0924HIV 2.9566 3.2264 2.9918 3.1545 3.0803
13、 2.8856 2.4656 2.65 3.5ni 53 231 61 11 61 208 64 10 4t 21 22 23 24 25 26 27 28 29Ci 1.6546 1.9612 2.3665 2.0942 1.9757 1.8894 1.4332 1.608 1.4612HIV 2.2833 3.0625 2.7265 2 .7681 2.444 3.0308 2.5375 4.2 3.94ni 6 16 64 138 59 26 8 3 5t 36 37 38 39 40 41 42 43 44Ci 0.6409 4.5589 1.8294 2.4895 2.2837 2.
14、0371 1.037 1.5167 1.5614HIV 0 3.44 2.7667 2.5115 2.4223 2.5677 2.2875 2.9333 1.6875ni 1 6 15 52 94 34 16 6 5根据以上表格中的数据用 Matlab 可以绘出 与 的折线图：ctht图一a b c a b c（ ） （ ）ct ht上面的折线图规律性较差，对此我们采用以下两种方案：方案一：剔除异常点近似曲线拟合6由表 11 可知：第 11，28，29，36，44 周的检测者较少，这几周的数据没有普遍性，不能真正反映药物的药效。因此我们剔除这几组数据，然后再用 Matlab 得到下面的折线图：
15、图二a b c a b c（ ） （ ）ct ht图二（ ）-a 近似的是一条三次曲线；设其方程为： 用t 3210ctatMatlab 求得该方程为：如图三（ ）-a 所示。32c-0.156t.08t-1.39t4.85t3,10t用同样的方法可以得出其他五组数据对应的方程：(图三（ ）-b)2-.7t.4t-7.6t,2ct(图三（ ）-c)c09161380374 (图三（ ）-a)32h.t-.5t+.t.1t,0ht(图三（ ）-b)8 4629218(图三（ ）-c)20.6 t-.97t138.0t37,4 t图三a b c a b c（ ） （ ）ct ht方案二：变量累加后
16、曲线拟合虽然方案一剔除了异常数据，但有的拟合曲线依然很粗糙。在此我们考虑：将7CD4 和 HIV 累加几次后再拟合曲线,得到其累加值与时间的函数关系。累加即令： ； （1）1Cc1Hhi ii ik1kCcHh其中 i 表示某区间内的第 i 周。结果累加一次后得到表 12 的数据。表 12t 3 4 5 6 7 8 9 10 11Ci 1.6054 3.1616 4.6826 6.1254 7.824 9.5929 11.612 13.444 14.536HIV 2.9566 6.183 9.1748 12.329 15.41 18.295 20.761 23.411 26.911t 21 2
17、2 23 24 25 26 27 28 29Ci 1.6546 3.6158 5.9823 8.0765 10.052 11.942 13.375 14.983 16.444HIV 2.2833 5.3458 8.0723 10.84 13.284 16.315 18.853 23.053 26.993t 36 37 38 39 40 41 42 43 44Ci 0.6409 5.1998 7.0292 9.5187 11.802 13.84 14.877 16.393 17.955HIV 0 3.44 6.2067 8.7182 11.141 13.708 15.996 18.929 20.
18、617由表 12 易得出 CD4 和 HIV 的累加值与时间近似的是线性关系。用 Matlab 拟合出各时间段 CD4 和 HIV 的累加值与时间的图像如图四所示：图四a b c a b cCtHt由图四容易看出 CD4 和 HIV 的累加值与时间是较为严格的线性关系。用 Matlab得到函数关系为：1.649t -3.586t3,1C70292.t.t,42 -H.983t6.5t1,512363由（1）式可知： htHthctCt1因此，由（2）式和（3）可得：8（4） （5）i1.649t3,10c85282.07t6, i2.940t3,10h828.5t6,4（4）式和（5）式反映的
19、是各个区间内 CD4 和 HIV 的平均水平。由方案一中图三可以看出 CD4 和 HIV 随时间上下波动。也就是说该药的药效不稳定。记 CD4 的第一个极小值点的函数值为： ；HIV 的第一个极大值点的函数值为：minc。由图三可以看出在大部分时间段都有： ； 。由此可见：患者maxh i()tmax()ht同时服用 zidovudine，lamivudine 和 indinavir 总体上效果是比较明显的。由（1）式可知：按我们的累加规则得到的 。故由（4）式可知：服药后总体1c上患者的 CD4 在大幅度持续增长。这说明 zidovudine，lamivudine 和 indinavir 在
20、提高患者免疫力方面有较好的效果。 由（5）式可知总体上患者的 HIV 浓度先上升后下降，这与方案一中得到的药效的不稳定性恰好吻合。同时也反映出其药效慢的特点。尽管由（5）式我们可以得知在后一段时间内总体上患者的 HIV 浓度在下降，但是图三中 最后一段 HIV 浓度呈hta上升趋势。即患者在服药四十几周 HIV 浓度会在一段时期内呈上升趋势。这说明该种药物组合在总体上可以控制 HIV 浓度但在短时间内波动性较强，稳定性较差。综上所述：同时服用 zidovudine，lamivudine 和 indinavir3 种药物在总体上可以提高患者免疫力（即提高患者的 CD4 值）可以控制 HIV 的浓
21、度。但在短时期内病情会出现反弹现象；而且 HIV 浓度降低的速度较慢。但总体上有一定的效果，应继续服用该种药物组合。模型二：不等时距的 GM（1,1）模型由上面的分析可以知道，这是一个只有部分数据的预测问题。从个体的角度来考虑，每个人的数据是较少的，因而我们考虑运用灰色预测系统进行建模求解。我们对问题的重新讨论及简化处理如下：1、对时间的简化。在该问题中，每个病人的测试时间是不相同的，这给我们对个体进行统计、综合处理带来了麻烦。但经过对数据的研究，我们找出了测试时间的几个集中点，即 0、4、8、24、40、56，我们分别记为 t1、t 2、t 3、t 4、t 5、t 6。我们把符合（其中 的值
22、根据不同的时间集中点适度取值，一般不超过 ，ijt 12ii=1，2 ，3， 4，5，6，j=j|0j60,j Z的时间 tj 对应的数据均视为 ti 对应的数据。由于我们是运用加权平均的思想和化区间为点的方法，这种简化对预测趋势和精度影响不大。因此我们将问题转化为通过加权平均后的 ti 对应的数据，可以进行一定区间内的灰度预测。2、对数据的处理。在上面的模型中我们采用了加权平均的方法，在本题中，由于灰度预测适合较少数据的情况，我们仍然采用加权平均，我们设 tj 时刻第 k 个人 CD4及 HIV 分别为 Cj，k 、H j，k ，则有9j= j= (n 为所有试验的人数)Cnj,k1Hnj,
23、k13、对时距的处理。在 GM（1,1）基本模型中，要求做一次累加生成。当 k 只是一个不等时距的时间序列时，这种累加无法实现。我们110kmxx考虑对原有的等时距 GM（1,1）模型进行拓展。我们不妨假设等时距的原始数据是客观存在的，只是由于某些原因是其中的一些数据缺失，因而出现了不等时距的原始数列。进一步假设，我们已得到了与这些原始数据较为符合的 GM（1,1）模型曲线，曲线的离散形式为：101akuxkxe式中，c= 。则上式改为01akuxce还原后原始数据估计值：（k=1,2,n） 111 1akak akuxkxkcecece 不等时间序列时，设初始时间序列值为 0，时间序列 T（0） （i）=0,t 2,t3,tn，则i0atixtc1e式中，t i=t2,t3,tm(m 为原始数据的序列个数） 。我们最终要确定 c 和 a 的值，就可以建立灰色系统模型。我们期望得到比较理想的预测模型，要求估计值与原始之越接近越好，对于所有的原始数据，有近似方程组： ()()23m0 at2 t30 atmxttc1exttc1e我们可以根据这 m-1 个方程确定出较为理想的 c、a 值。简化起见，我们依靠方程组 ij0ati tjxtc1e
