1、1空间平面的性质空间直线与直线之间的位置关系一、平面及其表示法（一）平面：平的，没有厚度的，在空间无限延伸的图形叫做平面.数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果.比如平静的湖面、桌面等.平面的表示方法：（1）用大写的英文字母表示：平面 M，平面 N 等；（2）用小写的希腊字母表示：平面 ，平面 等；（3）用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示：（如图 14-1）平面 ABCD 等.CDBAMMM平面的直观图画法： 正视图 垂直放置的平面 M 水平放置的平面 M注意：看得见的线用实线，看不见的线用虚线.（二）空间点、线、面的位置关系的集合语言表示法在空间，我们把点看作元素，直线和平面看作
2、是由元素点所组成的集合，建立了如下点、线、面的集合语言表示法.1.点与线： 2. 点与平面：LQA点 A 在直线 L 上： （直线 L 经过点 A） ； 点 A 在平面 内： （平面 经过点 A） ；l点 Q 不在直线 L 上： 点 B 不在平面 内： ；B23.直线与平面：直线 L 在平面 上： 直线 L 在平面 外： 1 2 直线 L 上所有的点都在平面 上， 当直线 L 与平面 只有一个公共点 A 时，即直线 L 在平面 上，或平面 称直线 L 与平面 相交于点 A，经过直线 L，记作 . 记作 ；ll直线与平面平行 直线与直线相交： 3 4当直线 L 与平面 没有公共点时，称直 直线
3、a 与直线 b 相交于点 A，记作 . ab线 L 与平面 平行，记作 或 .l/l平面与平面： 5两平面重合：当平面 上所有的点都在平面 上时，称平面 与平面 重合；两平面相交：当不同的两个平面 与 有公共点时，将它们的公共点的集合记为 L，称平面 与平面 相 交于 L，记作 .l两平面平行：当两个平面 与 没有公共点时，称平面 与平面 平行，记作 或 ./3（三）例题解析例 1 观察下面图形，说明它们的摆放位置不同解：我们看到了这个几何体的前后两个面.说明培养学生的空间想象能力.例 2 （口答）正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面 ，分别记作 ，试用适11,ACB,当的符号填空.
4、 ,_)1(A1_B2BC,)3(11_D,_4BA1_B,)5(1BA1_A解： (),;2,;(3),;4,;(5),说明能够熟练运用集合符号来说明点、线、面间的位置关系.练习、根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形.； ； ； .(1),AB(2),lm(3)l(4),PlQl解：（1）点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内；（2）直线 L 在平面 上，直线 m 在平面 外；mL（3）平面 交平面 与直线 L； （4）点 P 在直线 L 上，不在平面 上；点 Q 在直线 L 上，也在平面 上. QP4lABC二、三个公理三个推论（一）公理 1：如果直线 上有两个点
5、在平面 上，那么直线 在平面 上.（直线在平面上） 。ll用集合语言表述： ,ABl（二）公理 2：如果不同的两个平面 、 有一个公共点 A，那么 、 的交集是过点 A 的直线 .（平面l与平面相交） 。用集合语言表述： .lA且 lA（三）公理 3:不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”. 用集合语言表述：A，B，C 不共线=A，B，C 确定一个平面 ABC推论 1：一条直线和直线外的一点确定一个平面.证明：设 A 是直线 外的一点，在直线 上任取ll两点 B 和 C，由公理 3 可知 A，B 和 C 三点能确定平面 .又因为点 ，所以由公理 1 可知
6、 B，C 所在直线 ，即平面 是由直线 和点 A 确,ll定的平面.用集合语言表述： ,Al确 定 平 面推论 2：两条相交的直线确定一个平面.用集合语言表述： ,abA确 定 平 面推论 3：两条平行的直线确定一个平面.用集合语言表述： /确 定 平 面5（四）例题解析例 1 如图，正方体 中，E，F 分别是 的中点，问：直线 EF 和 BC 是否相交？ 如果1ABCD1,BC相交，交点在那个平面内？ 解： 111EF平 面 平 面平 面又 ，则直线 EF 和 BC 共面；1BC平 面1/EFBCEF与 共 面 与 相 交设直线 EF 和 BC 相交于点 p，则 p 在直线 BC 上，即点
7、P 在平面 ABCD 上.说明利用公理 1 确定直线在平面内.例 2、若 ，求证：直线 c 必过点 P.,abcab解：PbPcc结论三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例 3 (1)空间三个点能确定几个平面？(2)空间四个点能确定几个平面？解：(1)三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.(2)四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定 1 个或 3 个平面.所以四点可以确定 1 个或 3 个或无数个平面.说明公理 3 的简单应用.练习、(1)空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？(
8、2)空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？解：(1)三条直线相交于一点可以确定 1 个或 3 个平面；(2)四条直线相交于一点可以确定 1 个、4 个或 6 个平面.说明推论 2 的简单应用.例 5 如图，AB/CD， ，求作 BC 与平面 的交点.,ABECDF解：连接 EF 和 BC，交点即为所求 BC 与平面 的交点.（公理 3 和公理 2）说明推论 3 的简单应用.（五）课内练习：1）若 ，则（ A ）B,BAC平 面 ， 平 面 直 线A、 B、 C、 D、CC2）判断若直线 a 与平面 有公共点，则称 . （） a两个平面可能只有一个公共点. （） FBCDEA6四条边都相等的
9、四边形是菱形. （）若 A、B、C ，A、B、C ，则 重合. （）,若 4 点不共面，则它们任意三点都不共线. （） 两两相交的三条直线必定共面. （）3）下列命题正确的是（ D ）A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形； B、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形.C、三条互相平行的直线一定共面. D、梯形是平面图形.4）不在同一直线上的 5 点，最多能确定平面（ C ）A、8 个 B、9 个 C、10 个 D、12 个5）两个平面可把空间分成 3 或 4 部分 ；三个平面可把空间分成 4、6、7 或 8 部分.解析：两个平面将空间分成 3、或 4 部分。三个平面将空间分成 4、
10、6、7、8 部分（图 81-12） 。图 14.1-12（六）应用与证明1、共面问题例 1 已知直线 两两相交，且三线不共点.求证：直线 在同一平面上.123,l 123,l和证明：设 1213,AlBlClA13213123,lClBll（ 推 论 ） 可 确 定 平 面 平 面同 理 平 面（ 公 理 ） 平 面 即 平 面直 线 在 同 一 平 面 上【说明】证明共面问题的基本方法是归一法和同一法.归一法：先根据公理 3 或其推论确定一个平面，然后再利用公理 1 证明其它的点或直线在这个平面内.练习、 234 1234, ,l l已 知 ： 两 两 相 交 且 无 三 线 共 点 ， 求
11、 证 ： 在 同 一 平 面 上 .l3 l2BCl1Al4DFEl3l2BCl1A71231234242112334 42,lAlBlClDlECl ABllDEl3证 ： 设 与 确 定 平 面平 面又 ， 平 面 四 线 共 面例 2、已知直线 与三条平行直线 a,b,c 都相交，求证： 与 a、b、c 共面.l l解题策略：同一法证明：如图设 ,adAbdBcdC可确定一个平面|,b、 A, ,BA， 即|, .c、 可 确 定 一 个 平 面 ； 同 理 可 证 dbabc、 均 过 相 交 直 线 、 d， 、 重 合 ， 、 、 、 共 面【说明】同一法：可先由已知条件分别确定平
12、面，然后再证它们是重合的2、三点共线 1 13 ,OABCDPRABCPQR例 在 正 方 体 中 ， 、 、 分 别 在 棱 上 ，且 相 交 于 。求 证 ： 、 、 三 点 共 线 11, BCADOBCOBC证 ： 直 线 平 面又 平 面又 直 线 平 面 平 面 又 平 面 平 面、 、 三 点 共 线【说明】要证明空间三点共线的方法：将线看做两平面的交线，只需证明这三点都是两个平面的公共点，则公共点必定在两平面的交线上，因此三点共线.练习、已知 在平面 外， .ABC,ABPCQBR求证：P、Q、R 三点共线 .证： PPAC直 线 直 线直 线 、 确 定 平 面BBCR 直
13、线直 线 直 线， AB CR P QQ ROP B1 C1D1A1 BD CA 图（例 3）BC Aabcd8RPQR、 、 三 点 共 线3、三线共点 ABCD例 4、 空 间 四 边 形 中 ， E、 F、 G、 H分 别 是 AB,CD上 的 点 ，已 知 F与 H相 交 于 点 .求 证 ： 、 、 三 点 共 线EQACDBCACBGQAFH平 面 平 面 平 面 平 面证 ： 同 理 平 面 平 面 平 面 平 面即 、 、 三 线 共 点【说明】先确定 2 条直线的交点，再证另一直线也过该交点练习、已知空间四边形 ABCD，E、H 分别是 AB、AD 的中点，F、G 分别是边
14、BC、DC 的三等分点（如下图） ，求证：直线 EF 和 HG 必交于一点，且交点在 AC 上.证明：连结 GE、HF，E、G 分别为 BC、AB 的中点，GEAC.又DFFC=23，DHHA=2 3，HFAC.GEHF .故 G、E、F 、 H 四点共面.又EF 与 GH 不能平行，EF 与 GH 相交，设交点为 O.则 O面 ABC，O面 ACD，而平面 ABC平面 ACD=AC.EF、GH 、BD 交于一点.评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.三、截面的画法例 1 已知： ，画出过 A、B、C 三点的平面 的交线l,与解： 分析：
15、 AB,ABDABll、 ， 、 ， ， ， l与 不 平 行与 相 交 ， 设 交 点 为,CDD， ， 又 ,， ，又 ，AB CDEFGHQ:CABl D9练习 1：(1)画出过画出过 A、B、C 三点的平面 的交线;(2)画出过画出过 A、B、C 三点的平面 M 与,与的交线.,练习 2、下列表示相交平面的图 14.113 中，哪几个是对的，哪几个是错的?错的应如何改正? 图 14.1-13说明：本题旨在让学生懂得应从同一视角去观察哪些部分已被一个或一个以上的平面所遮住，从而学习正确识别空间图形，掌握相交平面的正确画法例 2 如图，P、Q、R 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、A
16、D、BC 上的点，且 PQ 与 BD 不平行，画出平面 PQR 与平面 BCD 的交线.A:BC: A:BC ABCDP QRO10练习、在长方体 中，画出:(1)平面 的交线;(2)平面1ABCD11BDAC与 平 面的交线。11与 平 面分析：1） OD 即为平面 的交线11ACDB =OO面 面面 面面 面 11BDAC与 平 面2） EF 即为平面 的交线11E FACBDEF面 面面 面面 面 11与 平 面例 3、在正方体 ABCDABCD中的棱 AB，BB ，DC分别有三点.1） M、P、N 过三点作截面，确定其与各平面的交线;2） 正方体中，画出过其中三条棱的重点 P、Q、R
17、的平面截正方体的截面.1AA BCD1O 11 1AA BCD1E C11DFPRQCDBACDA B11CDB ACDA BMPNQ练习、已知 M、N、P 分别为 CD，AD，CC的中点.(1)画出过 MNP 三点的正方体的截面;(2)计算截面的周长.解析：1） 截面为 MGNFE 即为所求2）111MDHEC=K236aGNFa:10GM106EFa在 RtD中 ，,2HNKDGN=F又，1103010626aGaa1022()3a周 长 +（二）小结作图主要是利用是公理 2，确定两个平面的 交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线.判定两个平面 相交，即两平面只要有一个公共点即可.判定
18、点在直线上，即点 是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条 直线上.练习1、画出过已知三点 M、N、P 的截面.FPMNCDBACDA BKHGD C B A D1 C1B1A1C12D C B A D1 C1B1A1 MPN2、如图所示过，正方体 ,E,F 为 AD、AB 上的中点. （1）求作正方体的对角线 与截面1AD 1AC的交点;（2）能分析这个截面的有关性质、结论吗？1EFD四、水平放置的平面图的直观图的画法-斜二侧画法要画空间图形直观图，首先要学会画水平放置的平面图的直观图的画法，下举例说明一种常用画法：例 1、水平放置的正六边形的直观图(如图 8120)图 8
19、1-20 图 14.1-21 图 81-22画法：(1)在已知正六边形 ABCDEF 中，取对角线 AD 所在的直线为 轴，取对称轴 GH 为 轴，画对应的xy轴， 轴，使 (如图 8121) /x/y0/45yOx(2)以点 为中点，在 轴上取 ，在 轴上取 以点 H 为中点画 平行于/ / AD/ /yG21/EF轴，并等于 FE；再以 G/为中点画 BC 平行于 ，轴，并等于 BC，x /x(3) 联结 所得的六边形 就是正六边形 ABCDEF 的直观图。/ ,FECBA /FEDCB（图图 81-22，要擦去辅助线 )上面画直观图的方法叫做斜二测画法，这种画法的规则是：(1)在已知图形
20、中取互相垂直的轴 Ox，Oy画直观图时，把它画成对应的轴 Ox/，O /y/，使 0/45x(或者 135*)它们确定的平面表示水平平面。(2)已知图形中平行于 轴或) 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴或 轴的线段xy /x/(3)已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 轴的线段，长度变为原来的一半。y例 2、水平放置的正五边形的直观图(如图 8123)13图 14.1-23 图 14.1-24 图 14.1-25解：(1)在已知正五边形 ABCDE 中，取对角线 BE 所在的直线为 轴，取对称轴 AF 为 轴分别过点xyc，D 作 CG/Oy，DH/oy，与 轴分
21、别交于 G，H ，画对应的 轴、 轴，使之 如图 8124)x/y0/135O（2）以点 O/为中点，在 轴上截取 G/H/=GH在 轴的同一侧画线段 C/G/，O /y/，D /H/O/y/，并使/ /x，在 轴的另一侧的 y/轴上取一点 A/，使 ，以 O/为中点，在DHCG21,1/ x A2/上取 。/xBE/（3）连接 即得五边形 。就是正五边形 ABCDE 的直观图。/ ,AEA /EDCB五、空间中两条直线的平行(1)公理 4:平行于同一直线的两条直线相互平行. .abcc:公理分析：要证明空间两条直线平行，要找到中间桥梁.(2)等角定理平面等角定理：如果两条相交直线与另两条相交
22、直线分别平行，那么这两组相交直线所成角相等或互补.空间等角定理：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等.注意表述上区别：平面几何合立体几何中某些理论上的不一致应引起学生掌握理论时的重视.（3）例题分析例 1：在长方体 中，E、F 分别为 ，AD 的中点，求证 ：1ABCD1BC1AFEC:证明：取 BC 中点 G，连结 ，1E为 中 点为 中 点 11:，11=ABFG:且且 11=ABFG且 11ABFG:1AFEC:例题解析：学会在空间中借助平行四边形，寻找起到桥梁作用的直线.例 2、在长方体 中，求证： .1CD11DC证明： ,1 1=AA
23、A:且,1 1BB且是锐角， .1,DC1DC说明：掌握在空间中利用直线的平行来证明角相等.（四） 、问题拓展例 3、已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边中点.A14（1）判断四边形 EFGH 形状；（答：平行四边形.通过公理 4）（2）若空间四边形中对角线 AC=BD，判断四边形 EFGH 形状；（答：菱形.平行四边形对角线相互垂直）（3）四边形 EFGH 什么情况下为矩形？（答：对角线相互垂直，即 ）ACBD（4）结合（2） 、 （3） ，可得正方形 EFGH（5）第（2） 、 （3） 、 （4）题的逆命题是否成立？该如何求证？如（2） 若四边形 EFGH 中， ，则EG
24、HFAC=BD（6）若 E、H 分别为 AB、AD 中点，F、G 为 CB、CD 三等分点，且 ，判断四边形 EFGH 1,3F形状.（梯形 EFGH）证明：E、H 分别为 AB、AD 中点 1122EHBC:且梯形 EFGH13CFGBD3:且 GEH，说明 这是空间两条直线平行公理 4 的典型应用，加以推测、证明的重要应用.2、对于平面图形的结论:有些可推广到立几图形并有完全相同的结论;有些在立几图形中有相似的结论,但不完全相同;有些在立几中则有完全不同的结论 .课后作业：1在正方体 中,点 E、F 分别是 中点，判断四边形 的形状并加以证明.1ABCD1,AC1BEDF答案：平行四边形但
25、不是矩形。2.在正方体中，点 E、F 分别在 AB、AD 上，点 G，H 分别在 上，且满足 ，联11,D11,ACGH结 ，求证：1,ACHG1AC3.空间四边形 ABCD 的各边中点依次为 E、F、G、H，连结 EG、FH.（1）求证：EG 与 HF 互相平分；（2）若BD=2，AC=4，求 的值.2E答案： =10。2GHF5.如图,A 是 BCD 所在平面外一点,M,N 分别是 ABC 和 ACD 的重心,若 BD=6,求 MN 的长. 答案：MN=2六、异面直线（1）异面直线：把不能置于同一平面的两条直线，称为异面直线.说明：与平行直线、相交直线的区别：相交直线：在同一平面内，有且只
26、有一个交点.平行直线：在同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.（2）异面直线的画法：15说明：注意分别在两个平面内的直线二条直线，不一定是异面直线.(3)异面直线的判定 ：不平行、不相交的两条直线.(4)证明异面直线反证法：假设否定的结论，从假设出发，引出矛盾与条件矛盾，或者与已知的公理、定理矛盾.例题：l 上有且只有一点 ，求证： .Al证明：假设 l 上所有的点都属于 ，与已知：l 上有且只有一点 矛盾.lAl通过例题学习如何证明异面直线.七、异面直线所成角1、异面直线 a 与 b 所成的角：在空间内任取一点 P，过 P 分别作 a 和 b 的平行线 ,则 所
27、成ab和 和的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角.问题 1: 理论依据等角定理.问题 2：为什么规定异面直线所成角只是锐角或直角？答：因为两条相交直线交出四个角，只要知道其中一个，就可以知道其它所有的角，因此我们只研究其中较简单的锐角或直角.2、异面直线所成角范围 0,2例题分析例 1 两条异面直线指的是（ D ）（A）空间不相交的两条直线； （B）分别位于两个不同平面上的两条直线；（C）某平面上的一条直线和这个平面外的一条直线； （D）不能同在一个平面上的直线。例 2判断下列命题的真伪：直线 与平面 内一条直线平行，则 . （） （平面外一条直线）aa直线 与平面 内一条直线相
28、交，则 与平面 相交. （） （平面外一条直线）若直线 与平面 平行，则 内必存在无数条直线与 平行. （） （不是任意一条直线，可利用平行的a传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （） （可能在此平面内）平行于同一个平面的两直线平行.（） （两直线可能相交或者异面） 直线 与平面 、 所成角相等，则 .（） （ 、 可能相交）la ba b16练习 1、若 a、b 是两条异面直线，且分别在平面 内，若 ，则直线 l 必定（ B ）、 lA分别与 a、b 相交； B. 至少与 a、b 之一相交； C. 与 a、b 都不相交； D. 至多与 a、b 之一相交.
29、练习 2如果 a,b 是异面直线，b,c 分别与 a,b 都相交，则 b,c 的位置关系是（ D ）.A异面； B.相交或平行； C.异面或平行； D.不平行.例 3、直线 l 与平面 相交于点 A，直线 m 在平面 上，且不经过点 A，求证：直线 l 与 m 是异面直线.证明：书第 10 页例题解析学习用反证法证明异面直线.例 4、 （1）正方体 中，哪些棱所在1BCD 直线与直线 成异面直线？答：共有 6 条棱.（2）如图所示，空间四边形 ABCD 中，H、F 是 AD边上的点，G、E 是 BC 边上的点.那么与 AB 成异面直线的直线有哪几条？那么与 CD 成异面直线的直线有哪几条？那么
30、与 EF 成异面直线的直线有哪几条？解析：与 AB 成异面直线的线段有：HG、EF、CD ；与 CD 成异面直线的线段有：AB、HG、EF；与 EF 成异面直线的线段有：HG、AB、EF、CD。3.问题拓展(1)空间内两直线所成角范围： .当空间两直线 所成角为直角时， ；0,212l、 12l当空间两直线 所成角为零角时，若 ，则 ；若 ，则12l、 12l12l:12l12l(2)异面垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则这两条异面直线互相垂直 .记法:异面直线 a,b 互相垂直,记为 ab;分类: 共 面 垂 直 （ 相 交 ）两 直 线 垂 直 异 面 垂 直(3)异面直线所成角例题
31、例 5、在长方体 中，AB=5，BC=4， =3.1ABCD1C（1） 所成角大小.（2） 所成角大小；1和 1AB和（3） 所成角大小.和解：（1） ， 为异面直线 所成角，1CD:1C11D和在 中， ，RTB14,3B4tan3BC， 异面直线 所成角大小为 .14arctn311和 arctn（2） ， 为异面直线 所成角，1:1AA和17在 中， ， , ，1RTBC:115,4ABC15tan4ACB15arctn4异面直线 所成角大小为和 arct（3） ，设 相交于 O， 为异面直线 所成角（或其补角）1D11和 111D和在 中， ,BOC:542BC，利用余弦定理， 117
32、7cos arcos25异面直线 所成角大小为1AD和 arcos5例 6、 在空间四边形 ABCD 中，AB=CD=6，M、N 分别是对角线 AC、BD 的中点且 MN=5，求异面直线AB、CD 所成角大小.解：取 AD 中点，在 中，B:1,2EAB:在 中， ， 为异面直线 AB、CD 所成角（或其补角）ADC:1,2MECD在 中， ，利用余弦定理，N53， N，异面直线 所成角大小为77cos arcos818CD和 7arcos18说明在空间四边形中，求解异面直线所成角是一种典型问题.例 7如图，三棱锥 P-ABC 三条棱 PC、AC、BC 两两垂直，E 为线段 AB 的中点， ，
33、 ，当2ABCPtt 变化时，求异面直线 PB 与 CE 所成角的取值范围.解析：作 AP 中点 D，连 DE、CD，, ， ，2tC(0,+)2+tE， ，AB1E2221cos=(0,)+42DCCEDt （ ， ）练习如图，三棱锥 P-ABC 三条棱 PC、PA、PB 两两垂直，E 为线段 AB 的中点， ， ，当2ACBPCtt 变化时，求异面直线 PB 与 CE 所成角的取值范围.解析：作 AP 中点 D，连 DE、CD，, ， ，23tC(0,)2tE， ， ，24ABt24t23tCD22214cos=(0,)+42ECDCEDt （ ， ）4、课后作业ECPBAECPBA181
34、如果 a,b 是异面直线，b,c 也是异面直线，则 a,c 的位置关系是（ D ）.A异面； B.相交或平行； C.异面或平行； D.相交，平行，异面都有可能.2若直线 a,b 都垂直于直线 c，则 a,b 的位置关系是（ D ）A平行； B.相交或平行； C.异面或平行； D.相交，平行，异面都有可能.3长方体 中，AB=2AD=3 .求异面直线 所成角大小.1BCDA1A1BCA和4长方体 中，AB=4，AD=3， ，求异面直线 所成角大小.1ABCD12A1BDAC和5 在四面体 ABCD 中，E、F 分别是 AC、BD 的中点.AB=CD=2， ，求 AB 与 CD 所成角的大小.3E
35、F6如图，三棱锥 P-ABC 三条棱 PC、PA、PB 两两垂直，E 为线段 AB 的中点， ， ，当 t2ACBPC变化时，求异面直线 PB 与 CE 所成角的取值范围.解析：作 AP 中点 D，连 DE、CD，, ， ，23tC(0,)2tE， ， ，24ABt24t23tCDECPBA1922214cos=(0,)+42CEDCEDt （ ， ）6如图，三棱锥 P-ABC 三条棱 PC、AC、BC 两两垂直，E 为线段 AB 的中点， ， ，当 tABPC变化时，求异面直线 PB 与 CE 所成角的取值范围.解析：作 AP 中点 D，连 DE、CD，, ， ，2tC(0,)2+tE， ，AB1E2221cos=(0,)+42DCCEDt （ ， ） EC P BA
