1、习题解答习题一1-1 与 有无不同 ? 和 有无不同? 和 有无不同?其不同在哪里?rtdrtdv试举例说明解：（1） 是位移的模， 是位矢的模的增量，即 ， ；rrr1212r（2） 是速度的模，即 .tdtdvts只是速度在径向上的分量.tr有 （式中 叫做单位矢） ，则r trtddr式中 就是速度径向上的分量，trd 不同如题 1-1 图所示. trd与 题 1-1 图(3) 表示加速度的模，即 ， 是加速度 在切向上的分量.tdvtvada有 表轨道节线方向单位矢） ，所以(tvtdd式中 就是加速度的切向分量.dtv( 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)tr与1-2 设质点的
2、运动方程为 = ( )， = ( )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求xtyt出 r ，然后根据 = ，及 而求得结果；又有人先计算速度和加速2yxvtrda2tr度的分量，再合成求得结果，即= 及 = 你认为两种方法哪一种v22tytx 22dtytx正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 ，jyixrjtyitxrav22dd故它们的模即为 222222dtytxattvyxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 2dtratrv其二，可能是将 误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明
3、 不是速度的模，2dtr与 trd而只是速度在径向上的分量，同样， 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中2dtr的一部分 。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 在径向22dtrta径 r（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 及速度 的方向随间的变化率对速度、rv加速度的贡献。1-3 一质点在 平面上运动，运动方程为xOy=3 +5, = 2+3 -4.xty1t式中 以 s计， , 以m计 (1)以时间 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和 2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算 0 s时刻到t t4s时刻内的平均速度；(4)求出质
4、点速度矢量表示式，计算 4 s 时质点的速度；(5)t计算 0s 到 4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 4s t t时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)解：（1） jtitr)4321()53(m(2)将 , 代入上式即有t2jir5.081m42jr.31(3) ijr67,540 14 sm5320jijtv (4) 1sm)3(djitrv则 jiv741s(5) ji3,4024sm1jvta(6) 2djta这说明该点只有 方向的加速度，且为恒量。y1-4 在离水面高h米的岸上，有
5、人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示当人以(m )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小0v1s图1-4解： 设人到船之间绳的长度为 ，此时绳与水面成 角，由图可知l22sh将上式对时间 求导，得t题 1-4 图tstld2 根据速度的定义，并注意到 , 是随 减少的， tsvtlvd,0船绳即 cosd0ltst船或 vhlv02/120)(船将 再对 求导，即得船的加速度船vt 32020 020)(ddsvhsl vsltsltva船船1-5 质点沿 轴运动，其加速度和位置的关系为 2+6 ， 的单位为 ， 的单x a2x2smx位为 m. 质点在 0处，速度为 10
6、,试求质点在任何坐标处的速度值1sm解： xvttvadd分离变量： )62(两边积分得 cxv321由题知， 时， ,0xv50c 13sm2x1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 4+3 ，开始运动时， 5 m，at2x=0，求该质点在 10s 时的速度和位置vt解： ttv34d分离变量，得 tvd)34(积分，得 12ct由题知， , ,0tv01c故 234tv又因为 dtx分离变量， tx)234(d积分得 2321ctx由题知 , ,0t5x2c故 523tx所以 时s1t m705120s93410 12xv1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3 ，
7、 式中以弧度计， 以秒3tt计，求：(1) 2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45t角时，其角位移是多少?解： tt18d,9d2(1) 时， s2t 2sm3618Ra2229)(n(2)当加速度方向与半径成 角时，有451tann即 R2亦即 tt18)9(则解得 923t于是角位移为 rad67.23t1-8 质点沿半径为 的圆周按 的规律运动，式中 为质点离圆周上某点的Rs201btvs弧长, ， 都是常量，求：(1) 时刻质点的加速度；(2) 为何值时，加速度在数值上等0vbt t于 解：（1） btvts0dRtvatn202)(则 24022)(bt
8、n加速度与半径的夹角为 20)(arctbtvRn(2)由题意应有 2402)(Rtba即 )(,)(402402 btvtv当 时，bvt0a1-9 以初速度 20 抛出一小球，抛出方向与水平面成 的夹角，01sm 60求：(1)球轨道最高点的曲率半径 ；(2)落地处的曲率半径 1R2R(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题 1-9 图所示题 1-9 图(1)在最高点， o016csvx2mgan又 1vn m10)60cos2(2nav(2)在落地点，,202v1s而 o6c2gan m80s10)(222nv1-10 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其
9、角加速度为 =0.2 rad ，求 2s时边缘2st上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解：当 时， s2t 4.02.t1srad则 16.04.Rv1s 064.).(22Ran 2sm840 2222 s1.).()6.( n1-11 如题 1-11 图，物体 以相对 的速度 沿斜面滑动， 为纵坐标，开始ABvgyy时 在斜面顶端高为 处， 物体以 匀速向右运动，求 物滑到地面时的速度AhuA解：当滑至斜面底时， ，则 , 物运动过程中又受到 的牵连运动影响，hyghvA2 B因此， 对地的速度为A jghighuA )sin2()cos2( 地题 1-11 图1-12 一船以
10、速率 30kmh -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率 40kmh -11v 2v沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?解：(1)大船看小艇，则有 ，依题意作速度矢量图如题 1-12 图(a)121v题 1-12 图由图可知 1212 hkm50vv方向北偏西 87.364arctnrt2(2)小船看大船，则有 ，依题意作出速度矢量图如题 1-12 图(b)，同上法，得12v50121hkm方向南偏东 o87.361-13 在河水流速 02 ms 1 的地方有小船渡河.如果希望小船以 4 ms1 的速率垂直于河岸横渡，问小船相对于河水的速度大小和方向应如何？解
11、: 设小船相对于河水的速度方向 , 如图示 .202um/s=4.4750)9tan(20u= 114.09习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 的物体，另一边穿在质量为 的圆1m2m柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度 下滑，求 ， 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩a1m2擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 ，其对于 则为牵连加速度，又知1a2m对绳子的相对加速度为 ，故 对地加速度，由图(b) 可知，为2ma21又因绳的质量不计，所以圆柱体受
12、到的摩擦力 在数值上等于绳的张力 ，由牛顿定律，f T有11amTg22联立、式，得 211212)()magTfaag讨论 (1)若 ，则 表示柱体与绳之间无相对滑动0a21a(2)若 ，则 ，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 , 均作自由g2fT 1m2落体运动题 2-1 图2-2 质量为16 kg 的质点在 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 6 xOy xfN， -7 N，当 0时， 0， -2 ms -1， 0求yftyxxvyv当 2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度t解： 2sm8316fax27fy(1) 20 1sm87216453dtavyyxx于是质点在 时的速度
13、s2 1s45ji(2) m874134)167(2)42(1220ji jijtattvryx2-3 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 ( 为常数)作用， =0时质点的kvt速度为 ，证明(1) 时刻的速度为 ；(2) 由0到 的时间内经过的距离为0vtvtmke)(0t( )1- ；(3)停止运动前经过的距离为 ；(4)证明当 时速xkmtmke)( )(0kvkmt度减至 的 ，式中 m为质点的质量0v1答: (1) tvmkad分离变量，得 v即 tk0mktevlnl0 tmkev0(2) t tt mkkvx0 )1(d(3)质点停止运动时速度为零，即 t，故有 00k
14、vtevxmk(4)当 t= 时，其速度为kmevevkm0100即速度减至 的 .0ve12-4一质量为 的质点以与地的仰角 =30的初速 从地面抛出，若忽略空气阻力，求质m0v点落地时相对抛射时的动量的增量解: 依题意作出示意图如题 2-4 图题 2-4 图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,而抛物线具有对 轴对称性，故末速度与 轴夹角亦为 ，则动量的增量为yxo30vmp由矢量图知，动量增量大小为 ，方向竖直向下0v2-5 一质量为 的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞并在抛m出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大
15、小也与抛出时相等求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?解: 由题知，小球落地时间为 因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大s5.0小为 ，小球上跳速度的大小亦为 设向上为 轴正向，则动量gtv5.01gv5.02y的增量方向竖直向上，12mp大小 mgvp)(12碰撞过程中动量不守恒这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒2-6 作用在质量为10 kg的物体上的力为 N，式中 的单位是s，(1)求4s后，itF)0(t这物体的动量和速度的变化，以及力给予
16、物体的冲量(2)为了使这力的冲量为200 Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 ms-1的物体,回j6答这两个问题解: (1)若物体原来静止，则,沿 轴正向，ititFp 10401 smkg56d)21(d xipIv11s6.若物体原来具有 初速，则61s于是tt FvmFvmp0000 d)d(, ,tpp012同理， ,1v2I这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 t ttI0210d)2(亦即 t解得 ，(
17、 舍去)s10ts2t2-7 一颗子弹由枪口射出时速率为 ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 10smvF =( )N( 为常数)，其中 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，bta,t试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量(3)求子弹的质量解: (1)由题意，子弹到枪口时，有,得0)(btaFbat(2)子弹所受的冲量t btatbI021d)(将 代入，得batbI2(3)由动量定理可求得子弹的质量 020vaIm2-8 设 (1) 当一质点从原点运动到 时，求 所作的76NFij m1643kjirF功(2)如果质点到 处时需0.6s，试求平均功率(3
18、)如果质点的质量为1kg，试求动能的r变化解: (1)由题知， 为恒力， )1643()67(kjijirFA合J5241(2) w6.0tP(3)由动能定理， JAEk2-9 一根劲度系数为 的轻弹簧 的下端，挂一根劲度系数为 的轻弹簧 ， 的下端1 2kB一重物 ， 的质量为 ，如题 2-9图求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势CM能之比解: 弹簧 及重物 受力如题 2-9 图所示平衡时，有BA、题 2-9 图 MgFBA又 1xk2xkFB所以静止时两弹簧伸长量之比为 12kx弹性势能之比为 12212kxEp2-10 如题2-10图所示，一物体质量为 2kg，以初速度 3ms -
19、1从斜面 点处下滑，它与0vA斜面的摩擦力为8N，到达 点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数B和物体最后能回到的高度解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 37sin21mgvkxsfr 21ikxfr式中 ， ，再代入有关数据，解得m52.084s2.0x-1mN39k题 2-10 图再次运用功能原理，求木块弹回的高度 h2o137sinkxmgfr代入有关数据，得 ,4.1s则木块弹回高度 84.037sinoh题 2-11 图2-11 质量为 的大木块具有半径为 的四分之一弧形槽，如题2-11图所示质量为MR的小
20、立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而m且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度解: 从 上下滑的过程中，机械能守恒，以 ， ，地球为系统，以最低点为重力mM势能零点，则有 221VvgR又下滑过程，动量守恒，以 , 为系统则在 脱离 瞬间，水平方向有mM0联立，以上两式，得 gRv22-12 一质量为 的质点位于 ( )处，速度为 , 质点受到一个沿 负方m1,yxjviyxx向的力 的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩f解: 由题知，质点的位矢为 jyixr1作用在质点上的力为 if所以，质点对原点的角动量为 vmrL0 )()(1
21、jviiyxyxkvy作用在质点上的力的力矩为 kfyifjixfrM110 )(2-13 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆它离太阳最近距离为 8.7510 10m 时的r速率是 5.4610 4ms -1，它离太阳最远时的速率是 9.0810 2ms-1 这时它离1v 2v太阳的距离 多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)2r解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有21mvr m106.508.94752221 vr2-14 物体质量为3kg， =0时位于 , ，如一恒力 作用tirsjivN5jf在物
22、体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对 轴角动量的变化z解: (1) 301smkg15djtjtfp(2)解(一) 7340tvxjaty 5.2620 即 ,ir1ji5.10xv36aty即 ,jiv1jiv2 kmrL7)(41 jijiv 5.1435.7(22 21sg8k解(二) dtzM tttFrL00d)(d30 12smkg5.8d)4(5d53162tktji2-15 飞轮的质量 60kg，半径 0.25m，绕其水平中心轴 转动，转速为mRO900revmin-1现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力 ，可使飞轮F减速已知闸杆的尺寸如题2-25图
23、所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 =0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算试求：(1)设 100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?F(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力 ?F解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)图中 、 是正压力， 、 是摩NrF擦力， 和 是杆在 点转轴处所受支承力， 是轮的重力， 是轮在 轴处所受支承xFyARPO力题 2-15 图（a）题 2-15 图(b)杆处于静止状态，所以对 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有AFlNllF121210)( 对飞轮，按转动定律有 ，式中负号表示 与角速度 方向相反IRr/ r
24、FlNFr12又 ,2mRI lIr12)(以 等代入上式，得N10F 2srad34050.26)7(4.0由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 s6.4690t这段时间内飞轮的角位移为rad21.53 )49(3021496020t可知在这段时间里，飞轮转了 转(2) ，要求飞轮转速在 内减少一半，可知10srad629ts200rad152tt用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为 NlmRF172)75.0.(4.0216212-16 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 转动设大小圆柱O体的半径分别为 和 ，质量分别为 和 绕在两柱体上的细绳分别与
25、物体 和RrMm1m相连， 和 则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示设 0.20m, 0.10m，2m12 Rr4 kg， 10 kg， 2 kg，且开始时 ， 离地均为 2m求：M1 12h(1)柱体转动时的角加速度；(2)两侧细绳的张力解: 设 , 和 分别为 , 和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图 b)1a21m2题 2-16(a)图 题 2-16(b)图(1) , 和柱体的运动方程如下：1m222amgT11amTgIrR2式中 aT 1221,而 22mrMI由上式求得 2 22221srad13.6 8.91001.40. grmRI(2)由式 8.20.913.6022
26、gmrTN由式 1.7.8.911 R2-17 计算题2-17图所示系统中物体的加速度设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为，半径为 ，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设Mr50kg ， 200 kg,M15 kg, 0.1 m1m2r解: 分别以 , 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示对 , 运用牛顿定律，有1 12aTg22m1对滑轮运用转动定律，有)2(12MrTr又， a联立以上 4 个方程，得 221 sm6.721508.9mga题 2-17(a)图 题 2-17(b)图题 2-18 图2-18 如题2-18图所示，一匀质细杆质量为 ，长为 ，可绕过一端 的
27、水平轴自由转动，mlO杆于水平位置由静止开始摆下求：(1)初始时刻的角加速度；(2)杆转过 角时的角速度 .解: (1)由转动定律，有 )31(22lg l(2)由机械能守恒定律，有 2)31(sin2mlg li题 2-19 图2-19 如题2-19图所示，质量为 ，长为 的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴 无Ml O摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上现有一质量为 的弹性小球飞来，正好在棒的下m端与棒垂直地相撞相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度 30处(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速 的值；0v(2)相撞时小球受到多大的冲量?解: (1)设小球的初速度为 ，棒经小球碰撞后得到的
28、初角速度为 ，而小球的速度变为0v ，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，v可列式：mvlIlv022211上两式中 ，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖231MlI直位置上摆到最大角度 ，按机械能守恒定律可列式：o0)30cos1(22lgI由式得 2121)()30cos( lgIMl由式mlIv0由式I202所以 22001)(mvlIv求得 glMlIl312(6)()20(2)相碰时小球受到的冲量为 0dmvtF由式求得 llIvt 310gM6)2(负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反题 2-20 图2-20 一质量为
29、 、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转m动另一质量为 的子弹以速度 射入轮缘(如题2-20图所示方向)00v(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?(2)用 , 和 表示系统( 包括轮和质点)最后动能和初始动能之比0解: (1)射入的过程对 轴的角动量守恒O200)(sinRmvR )(sin0(2) 02202sin1)(i20 mvmREk 习题三3-1 惯性系S相对惯性系 以速度 运动当它们的坐标原点 与 重合时， = =0，SuOt发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程解: 由于时间和空间都
30、是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波波阵面方程为： 22)(ctzyx题 3-1 图3-2 设图3-5中车厢上观测者测得前后门距离为 2 试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测l到同一光信号到达前、后门的时间差解: 设光讯号到达前门为事件 ，在车厢 系时空坐标为 ，在车站 系：1)(S ),(,(1cltx )(S)()()(2121 uclulxcut 光信号到达后门为事件 ，则在车厢 系坐标为 ，在车站 系：S,ltx )(S)1()(22clct于是 1u或者 lxtt 2,012)()(cc3-3 惯性系S相对另一惯性系 沿 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计Sx时起点在S
31、系中测得两事件的时空坐标分别为 =6104m, =210-4s，以及11t=12104m, =110-4s已知在S系中测得该两事件同时发生试问：(1)S系相对S2x2t系的速度是多少? (2) 系中测得的两事件的空间间隔是多少?解: 设 相对 的速度为 ，)(Sv(1) )(121xcvt2由题意 01t则 )(122xcvt故 81205.xcv 1sm(2)由洛仑兹变换 )(),(22vtxvt代入数值， 0.5412x3-4 长度 =1 m 的米尺静止于 S系中，与 轴的夹角 =30，S系相对S系沿 轴运0l x动，在S系中观测者测得米尺与 轴夹角为 45 试求：(1)S系和S系的相对运
32、动速x度.(2)S系中测得的米尺长度解: (1)米尺相对 静止，它在 轴上的投影分别为：Syx,，m86.0cos0Lx m5.0sin0Ly米尺相对 沿 方向运动，设速度为 ，对 系中的观察者测得米尺在 方向收缩，而vSx方向的长度不变，即y yxLcL,12故 2tancvxyyx把 及 代入45yxL,则得 86.0512cv故 (2)在 系中测得米尺长度为 S m70.45sinyL3-5 一门宽为 ，今有一固有长度 ( )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长a0la度方向匀速运动若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率 至少为多少?u解: 门外观测
33、者测得杆长为运动长度， ，当 时，可认为能被拉进门，20)(1cula则 20)(la解得杆的运动速率至少为： 20)(1lcu题 3-6 图3-6两个惯性系中的观察者 和 以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则 测得两者经过多少时间相遇 ?O解: 测得相遇时间为OtcvLt6.02测得的是固有时t vt201 ，s89.8，60c，8.1或者， 测得长度收缩，O vLtLL,.06.12020s189.3.6.88ct3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系 和 中，甲测得在同一地点发生的两事件的S时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间
34、隔为 5s求：(1) 相对于 的运动速度S(2) 乙测得这两个事件发生的地点间的距离解: 甲测得 ,乙测得 ，坐标差为 0,s4xts5t 12x(1) tcvtxcvtt 22)(1)(5412tcv解出 ct3)(1)(280.1sm(2) 0,45,xttvx m1938c负号表示 012x3-8 一宇航员要到离地球为5 光年的星球去旅行如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?解: 2220 153,1 则ll cv493-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时证: 设在 系 事件在
35、 处同时发生，则 ，在 系中测SBA、 ba, BAabttx,S得)(2cvtttAB，0,x t即不同时发生3-10 试证明：(1) 如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短(2) 如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短解: (1)如果在 系中，两事件 在同一地点发生，则 ，在 系中，SBA、 0xS，仅当 时，等式成立， 最短tt0vt(2)若在 系中同时发生，即 ，则在 系中， ，仅当 时等式StSxv成立， 系中 最短x3-11 6000m 的高空大气层中产生了
36、一个 介子以速度 =0.998c飞向地球假定该 介子v在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命210 -6s试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和 介子静止系中观测者来判断 介子能否到达地球解: 介子在其自身静止系中的寿命 是固有(本征)时间，对地球观测者，10260t由于时间膨胀效应，其寿命延长了衰变前经历的时间为 s.31520cvtt这段时间飞行距离为 m947tvd因 ，故该 介子能到达地球m60d或在 介子静止系中， 介子是静止的地球则以速度 接近介子，在 时间内，地球 v0t接近的距离为 m590tvd经洛仑兹收缩后的值为：60 m379120cvd，故 介子能到达地球0d3-12
37、设物体相对S系沿 轴正向以 0.8c运动，如果S系相对S系沿x轴正向的速度也是x0.8c，问物体相对S系的速度是多少?解: 根据速度合成定理， ,cu8.0vx. cccxx 98.0.801.223-13 飞船 以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船 以0.6c的速度相对地球向正西方AB向飞行当两飞船即将相遇时 飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹在 飞船的AB观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?解: 取 为 系，地球为 系，自西向东为 ( )轴正向，则 对 系的速度BSxAS， 系对 系的速度为 ，则 对 系( 船)的速度为cvx8.0 cu6.0ASccvxx 946.08.
38、12发射弹是从 的同一点发出，其时间间隔为固有时 ，As2t题 3-13 图 中测得的时间间隔为：Bs17.694.0122cvttx3-14 (1)火箭 和 分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+ 和- 方向飞行试求由火箭ABx测得 的速度(2)若火箭 相对地球以0.8c的速度向+ 方向运动，火箭 的速度不B yB变，求 相对 的速度解: (1)如图 ，取地球为 系， 为 系，则 相对 的速度 ，火箭 相对aSBS cu6.0A的速度 ，则 相对 ( )的速度为：Scvx8.0A ccvcuxx 946.0)8.(601.22 或者取 为 系，则 ， 相对 系的速度 ，于是 相对 的速度
39、AS8.0BSvx.BA为： ccvcuxx 946.0).(8.01622 (2)如图 ，取地球为 系，火箭 为 系， 系相对 系沿 方向运动，速度bSBSSx， 对 系的速度为 , , ,由洛仑兹变换式 相对 的速度为：cu6.0Axy. ABcvcuxx 6.01).(012 cvcuvxyy 64.0)8.(1122 相对 的速度大小为ABcyx8.02速度与 轴的夹角 为x 7.1tanxyv8.46题 3-14 图3-15 静止在S系中的观测者测得一光子沿与 轴成 角的方向飞行另一观测者静止于x60S系，S系的 轴与 轴一致，并以 0.6c的速度沿 方向运动试问 S系中的观测者x
40、x观测到的光子运动方向如何?解: 系中光子运动速度的分量为S ccvx50.6osy8in由速度变换公式，光子在 系中的速度分量为S ccvcuxx 143.05.601.22 ccvcuvxyy 90.5.0618.122 光子运动方向与 轴的夹角 满足x 69.0tanxyv在第二象限为 2.98在 系中，光子的运动速度为S正是光速不变cvyx23-16 (1)如果将电子由静止加速到速率为 0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功?解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得 )1()1(2202020 cvmcmcEk )1.0()1
41、3(1.9228J= 602.4eV57.3(2) )()( 20120212 cmcmEkk)212cvc)8.019.(1031.9 2262J4.5eV.53-17 子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命 =210-6s，若它在实验 0室参考系中的平均寿命 = 710-6s，试问其质量是电子静止质量的多少倍 ?解: 设 子静止质量为 ，相对实验室参考系的速度为 ，相应质量为 ，电子静0mcvm止质量为 ，因e0 271,022即由质速关系，在实验室参考系中质量为： 2020emm故 751720e3-18 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?解: 设静止质量为 ，运动质量为 ，0m由题设 10.0m2由此二式得 10.12 .在运动方向上的长度和静长分别为 和 ，则相对收缩量为：l0 %1.90.1.120 l3-19 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.110 -31kg解: 由质能关系 104.20cmE
