1、 锐角三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 、 的平方和等于斜边 的平方。 abc22abc2、如下图，在 RtABC 中，C 为直角，则A 的锐角三角函数为(A 可换成B)：定 义 表达式 取值范围正弦 斜 边的 对 边Asin 1sin0A(A 为锐角)余弦 斜 边的 邻 边co co(A 为锐角)正切 的 邻 边的 对 边Atan0tanA(A 为锐角)3、任 意 锐 角 的 正 弦 值 等 于 它 的 余 角 的 余 弦 值 ； 任 意 锐 角 的 余 弦 值 等 于 它 的 余 角 的正 弦 值 。BAcosini )90cos(inAi4、0、30、45、60、90特殊角的三角
2、函数值(重要)三角函数 30 45 60sincota5、正弦、余弦的增减性：当 0 90时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。6、正切、余切的增减性：当 0 90时，tan 随 的增大而增大 注意：一定要记住上面的公式与特殊三角函数的值。90得由 B 对边邻边斜边A CBbac解直角三角形1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系： ；22cba角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义。 斜 边的 对 边Asin斜 边的 邻 边Acos 的 邻 边的 对 边Atan2、应用举例：(1)仰角 ：视线在水平线上方的角；俯角：
3、视线在水平线下方的角。 仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰:ihll (2)坡面的铅直高度 和水平宽度 的比叫做坡度(坡比) 。用字母 表示，即 。坡hl iil度一般写成 的形式，如 等。1:m1:5i把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角) ，那么 。tanhil3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3， OA、 OB、OC 、OD 的方向角分别是： 45、135、225。4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30（东北方向） ， 南偏东 45（东南方向） ，南偏西 60（西南方向
4、） ， 北偏西 60（西北方向） 。45的直角三角形:口诀（1）斜边是直角边的 2倍，（2）直角边是斜边 倍300的直角三角形:口诀(1)斜边是短直角边的 2倍（2）长直角边是短直角边的 倍（3）短直角边是长直角边的 3 倍23基础练习：1在 RtABC 中， C =90，sinA = ，则 cosB 的值等于( )45A B C D35 3452. 在 中， 则 的值为B,132sin,90AtanA B C D 13253在 ABC 中，C=90 ，cosA= ，那么 tanB 的值等于A B. C. D. 54534434.一人乘雪橇沿坡度为: 的斜坡滑下，滑下距离（米）与时间 t（秒）
5、之间的关系为 210t,若滑动时间为 4 秒，则他下降的垂直高度为 （ ）A、 72 米 B、36 米 C、 36米 D、 318米 5如图，在 RtABC 中，ACB =90，CD AB，垂足为 D已知 AC= ， BC=2，那么 sinACD （ ） 5A B C D32526如图，小阳发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量得 CD=8 米，BC=20 米，CD 与地面成 30 角，且此时测得 1 米杆的影长为2 米，则电线杆的高度为( ) A 9 米 B28 米 C 米 D 米733247如果 是锐角，且 ，则 （ ） 。54sin)90cos(A. B. C
6、. D.54353518在ABC 中，A，B 为锐角，且有 ，则这个三角形是 （ ）BAcosinA.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形9.当 时，下列不等式中正确的是（ ） 。00945A. B. sincotanAsintacosC. D.Atsi coitn10如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为 ，关于 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ） 。A 的值越大，梯子越陡 B 的值越大，梯子越陡sin csC 的值越小，梯子越陡 D陡缓程度与 的函数ta A11如图，沿 AE折叠矩形纸片 ABCD，使点 D落在 BC边的点 F处。已知 AB8，BC
7、10，则 tanEFC 的值为（ ） 。A B C D3443354512.如图，已知直线 ，相邻两条平行直线间的1l23l4距离都是 1，如果正方形 ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 sin13.如图，将两张宽度都为 1的纸条叠放成如图所示的图形， 如果所成四边形的锐角为，那么这个四边形的面积是（ ）A 1 1.tan.tan.cos sinBCDABCDA1l324l14如图，是一张宽 的矩形台球桌 ，一球从点 （点 在长边 上）出发沿mABCDMCD虚线 射向边 ，然后反弹到边 上的MNBC点. 如果 ， .那么 点与PnNP点的距离为 .15.如图，在正方形网格中， AOB的正切
8、值是 16.如图 ，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 AD 和 BC 相交于点 P，那么 等于（ ）CDABAsinBPD Bcos BPD Ctan BPD D1/ tanBPD17在半径为 1 的O 中，弦 AB、AC 分别是 2、 3，则BAC 的度数为 _ .18如图，在 RtABC 中，CAB=90，AD 是CAB 的平分线，tanB= ，则 CDDB= 2119将直角边为 12cm 的等腰直角三角形 ABC 绕点 A 顺时针旋转 15 后得到ABC，那么图中阴影部分面积是_cm 2BCBC AABCDN20.已知：如图，在ABC 中， A =30, tanB= ，AC =18，求
9、 BC、AB 的长.3421.如图，某同学在测量建筑物 AB 的高度时，在地面的 C 处测得点 A 的仰角为 30，向前走 60 米到达 D 处，在 D 处测得点 A 的仰角为 45，求建筑物 AB 的高度.22.已知：如图，等腰ABC 中，AB= BC，AEBC 于点 E， EFAB 于点 F，若 CE=1，求 EF 的长. 4cos5AEF23如图，AD 是ABC 的角平分线，且 AD= ，C=90，AC=8 ，求 BC及 AB16355CBA AB CD45 3024.如图，已知电线杆 AB直立于地面上， 它的影子恰好照在土坡的坡面 CD和地面 BC上如果 CD与地面成 45，A=60，
10、CD=4m，BC=（4 2 ）m，求电线杆 AB6的长25.日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估如图上午 9时,海检船位于 A处，观测到某港口城市 P位于海检船的北偏西 67.5，海检船以 21海里/时的速度向正北方向行驶，下午 2时海检船到达 B处，这时观测到城市 P位于海检船的南偏西 36.9方向，求此时海检船所在 B处与城市 P的距离？（参考数据：sin36.9 ，tan36.9 ，sin67.53534 ，tan67.5 ）123125 67.536.9A
11、CBP创新练习：1.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5的角的正切值是 ECDA BFA. 3+1 B. 2+1 C. 2.5 D. 52. 在 RtABC 中，ACB= 90，BCAC，若 ，则A= 214BC3.在 中，A、B、C 的对边分别为 、 、 三边， 它的外接圆半径为 R。abc求证： =2Rcbasinisin4观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角ABC 中，A、 B、C 的对边分
12、别是 a、b、c ，过 A 作 ADBC 于 D(如图)，则 sinB= ，sinC= ，即 AD=csinB，AD=bsinC ，cAD于是 csinB=bsinC，即 .同理有： ， ，bsiniCsinibasini所以 CBAasini即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边） ，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.（1）如图，ABC 中，B =450， C=750，BC=60 ，则A= ；AC= ； （2）如图，一货轮在 C 处测得灯塔 A 在货轮的北偏西 30的方向上，随后货轮以 60 海
13、里时的速度按北偏东 30的方向航行，半小时后到达 B 处，此时又测得灯塔 A 在货轮的北偏西 75的方向上 (如图)，求此时货轮距灯塔 A 的距离 AB.综合练习1.如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点 M）位于海滨城市（记作点 A）的南偏西 15，距离为 612千米，且位于临海市（记作点 B）正西方向 603千米处台风中心正以 72 千米/时的速度沿北偏东 60的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变） ，距离台风中心 60 千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭（1 ）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由（2 ）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续
14、时间有多少小时？2.当 ，下列关系式中有且仅有一个正确。60A. 3sin)3sin(2B. 2C. cosii（1 ）正确的选项是_（2 ）如图 1， 中， ， ， ，请利用此图证明（1）中的ABC130BA结论。（3 ）两块分别含 和 的直角三角板如图 2 方式放置在同一平面内， ，4530 28BD求 ADCSAB C DABC图 1 图 2反馈与提高：1.如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为A 12B 5 C 10 D 252.如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，若 EF=2，BC=5，CD=3，则 tanC等于A. B. C.
15、 D. 435343.如图，直径为 10 的 A 经过点 C(0,5)和点 O (0,0)， B 是 y 轴右侧 A 优弧上一点,则 OBC 的余弦值为( ).A B C D12343245CBA3.如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，以 E 为圆心，EC 为半径的半圆与以 A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则 的值为（ ）sinABA、 B、 C、 D、43344535D CA B4、如图，已知O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，A=75 o，C=45 o，那么 sinAEB 的值为（ ）A. B. C. D. 2132235.如图，将 45的AOB 按下面的方式放置在
16、一把刻度尺上：顶点 O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合.OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读书恰为 2 厘米，若按相同的方式将 37的AOC 放置在该刻度尺上，则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数为 厘米.（结果精确到 0.1 厘米，参考数据 sin3700.60,cos37 00.80,tan37 00.75）ECBAO43216.如图，已知ABC，AB=AC=1，A=36，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，则 AD 的长是 ，cosA 的值是 .7.已知：如图，在 中， 于点D， 于点E， ，且ABCABCAE2， ，求CE 的长。62AD31sinE8.某校初三课
17、外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图 7所示，测得树底部中心 A到斜坡底 C的水平距离为 8. 8m在阳光下某一时刻测得 1米的标杆影长为 0.8m，树影落在斜坡上的部分 CD= 3.2m已知斜坡 CD的坡比 i=1： ，求树高 AB。 （结果保留整数，3参考数据： 1.7）39.某市规划局计划在一坡角为 16的斜坡 AB 上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示.已知支架 AC 与斜坡 AB 的夹角为 28，支架 BDAB 于点 B，且 AC、BD 的延长线均过O 的圆心，AB=12cm，O 的半径为 1.5m,求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离.（结果精确到 0.01m）(参考数据：co
18、s280.9,sin62 0.9, sin440.7, cos46 0.7)_D_C_B_Ai=1：3图 7APCB36.967.510.如图 10，2012 年 4 月 10 日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东 60o方向的 B 地，有一艘某国军舰正以每小时 13 海里的速度向正西方向的 C 地行驶，企图抓捕正在 C 地捕鱼的中国渔民。此时，C 地位于中国海监船的南偏东 45o方向的 10 海里处，中国海监船以每小时 30 海里的速度赶往 C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？（ 21.41， 31.73， 62.45）11.如图某天上午 9 时,向阳号轮船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于轮船的北偏西 67.5，轮船以 21 海里/时的速度向正北方向行驶，下午 2 时该船到达 B 处，这时观测到城市 P 位于该船的南偏西 36.9方向，求此时轮船所处位置 B 与城市 P 的距离？（参考数据：sin36.9 35，tan36.9 34，sin67.5123，tan67.5 125）图 10
